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1、1专题专题 3434 等差数列问题探究等差数列问题探究【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】等差数列的性质、通项公式和前 n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况选择题、填空题、解答题多种题型加以考查1、定义：数列 na若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 na是等差数列，这个常数称为 na的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：11naand，此通项公式存在以下几种变形：（1）nmaanm d，其中mn：已知数列中的某项ma和公差即可求出通项公式（2）nmaadnm：已知等差数列的两项即可求出公差，即项
2、的差除以对应序数的差（3）11naand：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果, ,a b c成等差数列，则b称为, a c的等差中项 （1）等差中项的性质：若b为, a c的等差中项，则有cbba即2bac（2）如果 na为等差数列，则2,nnN ，na均为11,nnaa的等差中项（3）如果 na为等差数列，则mnpqaaaamnpq注：一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.比如mnpqs，则mnpqsaaaaa不一定成立 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：478920aaaa，可得478977777420aaaaaaaa
3、a，即可得到75a ，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：111naandd nad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：0d ， na递增；0d ， na递减.5、等差数列前n项和公式：1 2n naaSn，此公式可有以下变形：（1）由mnpqmnpqaaaa可得：12pq naaSn pqn，作用：在求等差数列2前n项和时，不一定必须已知1,na a，只需已知序数和为1n 的两项即可（2）由通项公式11naand可得：11 11122naandn nSna nd作用： 这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式 2
4、 1111222nn ndSa ndnad n，即nS是关于项数n的二次函数nN，且不含常数项，可记为2 nSAnBn的形式.从而可将nS的变化规律图像化.（3）当21nkkN时，121 21212k kaaSk 因为1212kkaaa 2121kkSka 而ka是21kS的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当2nk kN时12 2122k kkkaaSkk aa，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前n项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以 4 个等差数列为例： :1,3
5、,5,7,9,11,na :7,5,3,1, 1, 3,nb : 1, 3, 5, 7, 9,nc : 9, 7, 5, 3, 1,1nd通过观察可得： na为递增数列，且10a ，所以所有的项均为正数，前n项和只有最小值，即1a，同理 nc中的项均为负数，所以前n项和只有最大值，即1c.而 nb虽然是递减数列，但因为10b ，所以直到51b ，从而前 4 项和最大，同理， nd的前 5 项和最小.由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n项和的最值会出现在项的符号分界处.（2）从2 nSAnBn的角度：通过配方可得2224nBBSA nAA，要注意nN，则可通过图像判断出nS的最
6、值7、由等差数列生成的新等差数列3（1）在等差数列 na中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在 :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,na，以 3 为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列.如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列 1212221223:,nkkkkkkkaa aa aaaaaa，设12kkSaaa，21223221223,kkkkkkkkkkSSaaaSSaaa，则相邻k项和232,kkkkkS SS SS成等差数列（3）已知 ,nnab为等差数列，则有： naC为等差数列，其中C为常数 nka为等差数列，其
7、中k为常数 nnab为等差数列 可归纳为nnabm也为等差数列8、等差数列的判定：设数列na，其前n项和为nS（1）定义（递推公式）：1nnaad（2）通项公式：naknm（关于n的一次函数或常值函数）（3）前n项和公式：2 nSAnBn注：若2 nSAnBnC，则 na从第二项开始呈现等差关系（4）对于nN ，122nnnaaa，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 1，理 4】记nS为等差数列na的前n项和若4524aa，648S ，则na的公差为（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】设公差为d，445111342724aaadadad
8、，6116 56615482Sadad，联立112724,61548adad 解得4d ，故选 C.秒杀解析：因为16 6346()3()482aaSaa，即3416aa，则4534()()24 168aaaa，即5328aad，解得4d ，故选 C.【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如na为等差数列，若mnpq，则mnpqaaaa.例 2. 【2017 课标 II，理 15】等差数列 na的前n项和为nS，33a ，410S ，则11nkkS.【答案】2 1n n【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知
9、其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实5质上造成正负相消是此法的根源与目的.例 3.【2019 届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前 项和为，若，则取最大值时 的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 13【答案】B点睛：该题考查的是有关等差数列的前 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前 项和取最大值的条件，之后就
10、是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.例 4.【2019 届浙江省模拟测试】在等差数列 na中，若981a a ，且它的前n项和nS有最小值，则当0nS 时， n的最小值为（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520aaa， 891160aaaa，由此能求出0nS 时， n的最小值详解：数列 na是等差数列，它的前n项和nS有最小值公差0d ，首项10a ， na为递增数列 981a a 890aa， 890aa 由等差数列的性质知： 811520aaa， 891160aaaa.1 2n naanS6
11、当0nS 时， n的最小值为 16故选 C.例 5.【2019 届华大新高考联盟 4 月检测】已知等差数列的前 项和为，若是一个与 无关的常数，则该常数构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据等差数列的前 项和公式计算出与，进而表达，再结合题中的条件以及分式故选 C.点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前 项和公式，以及熟练掌握分式的性质例 6.【2019 届东北师大附中四模】 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为
12、 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.7详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选 C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.例
13、7 【2019 届山西省孝义市一模】设等差数列的公差为 ，前 项和为，记，则数列的前 项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由等差数列的求和公式可得首项，tanantanan+1=1=1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和= （tana8tana7）7= （tantan）7= （tantan）7= （tan（）tan（） ）78= （）7= 故选 C点睛:解答本题的关键是化简,求和首先要看通项的特征, tanantanan+1=1=1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.例 8.
14、【2019 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷（三） 】已知等差数列的前 项和为，且，则（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.例 9.【2019 届
15、福建省三明市 5 月测试】已知正项数列的前 n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前 项和【答案】 （1）；（2）9【解析】分析：（1）由与的关系，求出数列的通项公式；（2）由，利用累加法得到，从而，利用裂项相消法求和即可.详解：（1）因为，且，所以，所以 所以 ，当时，有 ，、两式作差得， 所以，所以，点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意10裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.例 10.【2019
16、 届上海市徐汇区二模】已知数列的前 项和满足，且，数列满足，其前 9 项和为 36(1)求数列和的通项公式；(2)当 为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当 为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前 项和；(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用 表示)；若不存在，请说明理由【答案】 （1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列【解析】试题分析：(1)由题意，易知数列为等差数列，求出，再由通项公式与前 和关系，从而求出数列的通项公式；由条件，易知数列为等差数列，再由等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式；
17、(2)由(1)可得与，根据题意，可对 进行分类，求得该数列前 项和与参数 的表达式，从而问题可得解.(3)由(1)易得数列的通项公式，由等差数列的中项公式及数列通项公式的性质，从而得到其下标的关系式，针对所得式子进行化简整理，并对其进行分类讨论，从而问题可得解，详见解析.试题解析： (1)因为，于是数列是首项为 1，公差为 的等差数列，所以，即，11当时，；- 当时，；- 所以，其中-(3)由(1)可知，.若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，- 于是，所以，即，- 则对任意的，能整除，且.12由于当时，中存在多个质数，所以只能取 1 或或- 若，则，于是，符合；- 若，
18、则，矛盾，舍去；- 若，则，于是，矛盾 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列【精选精练精选精练】1 【2019 届吉林省梅河口市第五中学二模】在公差为 2 的等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于进行计算详解：由题意得故选 B点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注意整体代换的运用 2 【2019 届广东省佛山市检测二】已知等差数列 na的前n项为,2na nnS b 且132417,68bbbb，则10S ( )A. 90 B. 100 C. 110 D. 120【答案】A【
19、解析】分析：13点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如 na是等差数列，则 naa是等比数列，如 na是等比数列且均为正，则logana是等差数列.3.【2019 届广东省模拟二】已知数列的前 项和为，且满足，已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.详解：根据题意可知，式子的每一项都除以，可得，1
20、4点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果.4 【2019 届宁夏石嘴山市 4 月一模】 张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 5 尺布，现一月（按 30天计）共织 390 尺布” ，则从第 2 天起每天比前一天多织布的尺数为（ ）A. 1 2B. 16 29C. 16 31D. 8 15【答案】B【解析】依题意设每天多织d
21、尺,依题意得3030 2930 53902Sd ,解得16 29d .故选 B.5 【2019 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟（三） 】已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）A. -3 B. -5 C. -6 D. -9【答案】D【解析】分析：由，和可得，进而得公差，由可得，从而的通项公式，进而利用可得解.再通过构造函数求导，结合函数单调性及变量为正整数，即可得最值.详解：由可知，15，且，故选 D.点睛：求等差数列前 项和最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：（1）当时，满
22、足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.(3)通项公式法：求使 ()成立时最大的 值即可一般地，等差数列中，若，且，则：若为偶数，则当时，最大；若为奇数，则当或时，最大6 【2019 届浙江省宁波市 5 月模拟】已知数列与均为等差数列（） ，且，则_【答案】.【解析】分析：先设，再通过分析为等差数列得到 d=2,最后求出找到答案.详解：设，所以，16故答案为.点睛：本题的关键是对数列与均为等差数列的转化，这里利用到了等差数列的一个性质，等差数列的通项是一个关于 n 的一次函数，根据这个性质得到 d 的值，后面 就迎刃而解了.7已知等差数列 na的前n项和为nS， 10a ，
23、 912SS，当n=_时， nS有最小值.【答案】10或11【解析】分析：利用等差数列的na与nS的关系，得到当110a，进而得到110n时， 0na ，当11n 时， 110a，当12n 时， 0na ，即可得到结论详解：由912SS，则1291011120SSaaa，由等差数列的性质可得1011121130aaaa，即110a，又因为10a ，所以当110n时， 0na ，当11n 时， 110a，当12n 时， 0na ，所以大概10n 或11时， nS有最小值点睛：本题主要考查了等差数列的na与nS的关系，及前n项和nS的最值问题，解答中根据等差数列的na与nS的关系，得到110a是解
24、答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力178 【2019 届福建省三明市 5 月检测】在等差数列中，若，则_【答案】【解析】分析：由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果.详解：由题意结合和差化积公式可得：据此可得：0.点睛：本题主要考查和差化积公式及其应用，等差数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9 【2019 届安徽省合肥市三模】设等差数列的公差为 ，前 项的和为，若数列也是公差为的等差数列，则_.【答案】或【解析】分析：因为等差数列的公差为 ，前 项和为，若数列也是公差为 的等差数列，可得，时， 时列方程组可得，联立解出即可得出
25、. ，进而可得结果.详解：等差数列的公差为 ，前 项和为，若数列也是公差为 的等差数列，18故答案为或.10.【2019 届安徽省合肥市三模】已知数列的前 项和为，且数列为等差数列.若，则_.【答案】3027【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.详解：数列为等差数列，可设，化为，联立解得：，则，故答案为.11 【2019 届江苏省苏锡常镇四市高三调研二】已知公差为 的等差数列的前 项和为，若，则_【答案】2.19【解析】分析：先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得 ，故答案为：212 【2019 年 5 月 2019 届第三次全国大联考】已知函数的图象过点和点，若数列的前 项和，数列的前 项和为，则使得成立的最小正整数_【答案】11【解析】因为的图象过点和点，所以，解得，所以令，即，解得（舍去）或， 所以使得成立的最小正整数