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1、1专题专题 4040 新信息背景下的数列问题新信息背景下的数列问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题” ，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓
2、，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加.本专题通过例题说明应对这种“新信息”背景下数列问题的方法与技巧.1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2） ， （3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2） （3）问便可寻找到处理的
3、思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基依然是我们所学的一些基知识与方法.所以在考虑问题时也要注意应用转化与化归思想，向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考查的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【经典例题经典例题】例 1.【2019 届百校联盟高三 TOP20 四月联考】已知数列中，定义，则（ ）2A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.所以故选 C.点睛：
4、“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.例 2.对于数列，定义为数列的“好数” ，已知某数列的“好数”，记数列的前 项和为，若对任意的恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于 k 的不等式组，求解不等式组即
5、可求得最终结果.3详解：由题意, ，则，很明显n2 时,，即，解得：.实数 的取值范围为.本题选择 B 选项.例 3.【2019 届山东省烟台市高三高考适应性练习（一） 】已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前 项和为_【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可详解：由题意得直线的斜率为 ，即，解得当时，直线的斜率为，4即，又满足上式，数列的前 项和为点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前 n 项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中
6、直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解例 4.【2019 届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展” 将数列进行“扩展” ，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前 项和为_【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前 n 项和得解.详解：，所以=所以，5故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前 n 项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关
7、系，并能找到关系例 5.【2019 届四川省南充市三诊】在数列中，若 (， 为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则 (， 为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为_(写出所有正确命题的序号).【答案】【解析】分析：根据等方差数列的定义an是等方差数列，则 an2-an-12=p（p 为常数） ，根据等差数列的定义，可证；验证（-1）n2-（-1）n-12是一个常数；验证 akn+12-akn2是一个常数.详解：是等方差数列,(p 为常数)得到为首项是，公差为 p 的等差数列；是等差数列；数列中,，是等方差数列
8、；故正确；数列中的项列举出来是,，6故答案为：.点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.例 6.设数列的前 项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前 n 项和，求使得成立的最小正整数 .【答案】 （1）；（2）9【解析】试题分析：（1）将点代入函数不等式，得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先裂项：，再利用裂项相消法求，解分式不等式得 n 范围，即得其最小正整数.试题解析：（1）点在函数 y = 3x2 的图象上，a1= s1 =1当（2） 因此，使得成立的最小整
9、数 n 为 97例 7 【2019 届浙江省金华十校 4 月高考模拟】已知数列，设，其中表示不大于 的最大整数.设，数列的前 项和为.求证：（）；（）当时，.【答案】 （）见解析；（）见解析.可证得.结合，可证得.则题中的命题成立.试题解析：（iii）由（i） （ii）可得，对任意，成立.8.（）易求得，于是，所以. .，有， ，.又 ，而 ，.综上，当时，.例 8. 已知是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）9整理，得，即，从而；（2）设当，显然不存在正整数，使得
10、，舍去；当，对称轴为，此时；当，开口向下，对称轴为，此时只需或，即综上，或.点睛：本题主要考查数列的递推关系求通项、二次函数的性质、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例 9.【2019 届江苏省南京市三模】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列” （1）若数列的前 项和，求证：数列
11、为“ 数列” ；（2）若公差为 的等差数列为“ 数列” ，求 的取值范围；（3）若数列为“ 数列” ，且对于任意，均有，求数列的通项公式10【答案】 （1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出 an4n2，再利用“ 数列”证明.(2)利用“ 数列”的性质求 的取值范围.(3)先证明数列an为等差数列，再转化 anaa an1，再转化为 n(2t2t)t23t1，n(t2t2)2tt21，分析得到公差 t ，求出数列的通项公式.详解：（1）当 n2 时，anSnSn12n22(n1)24n2，又 a1S12412，所以 an4n2 所以 an|an1an2|4n2
12、44(n1)2 为数列an的第 n1 项，因此数列an为“T 数列” （2）因为数列an是公差为 d 的等差数列，所以 an|an1an2|a1(n1) d|d|因为数列an为“T 数列” ，所以任意 nN*，存在 mN*，使得 a1(n1) d|d|am，即有(mn) d|d| 若 d0，则存在 mn1N*，使得(mn) d|d|，若 d0，则 mn1由 anaa an1，得 1(n1)tt2(2n1)t1nt， 整理得 n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 若 2t2t0，取正整数 N0，则当 nN0时，n(2t2t)(2t2t) N0t23t1，与式对于任意 nN*恒成立
13、相矛盾，因此 2t2t011同样根据式可得 t2t20，所以 2t2t0又 t0，所以 t 经检验当 t 时，两式对于任意 nN*恒成立，所以数列an的通项公式为 an1 (n1)点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T 数列” ，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到 n(2t2t)t23t1， ，n(t2t2)2tt21， 后如何得到公差 t 的值，这里作为恒成立问题来探究 t 的值.例 10.【2019 届北京市海淀区二模】如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数 ，使得 ” ，则称数列具有“性质 ”.已知数列是无穷项
14、的等差数列，公差为（）若，公差，判断数列是否具有“性质 ” ，并说明理由； （）若数列具有“性质 ” ，求证：且；（）若数列具有“性质 ” ，且存在正整数 ，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.【答案】 （）不具有性质 ；（）证明见解析；（）.【解析】分析：（）利用举反例的方法证明数列不具有“性质 ”. （）利用反证法证明 且. （）先通过分析得到,再分类讨论得假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！假设，则存在正整数 ，使得12设， ，则，但数列中仅有 项小于等于 0，矛盾.假设，则存在正整数 ，使得设， ，则，但数列中仅有 项大于等于 0，矛盾,综上， （）设公差为 的等差数列具有“性质
15、P” ，且存在正整数 ，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数 ，这与数列具有“性质 P”矛盾，故由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即因为，故 是的约数所以，,当时，得，故，共 2019 种可能；13当时，得，故，共 1010 种可能；当时，得，故，共 1 种可能；当时，得，故，共 1 种可能；当时，得，故，共 1 种可能综上，满足题意的数列共有（种） 经检验，这些数列均符合题意 点睛：本题的难点是第（）问，难在先要通过分析转化得到数列的特征，,这一点突破后，后面就迎刃而解了.本题主要考查学生的知识迁移转化能力，属于难题.【精选精练精选精练】1一个机器人每一秒钟前进一
16、步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进 3 步，然后再后退 2 步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1 步的距离为 1 个单位长度).令表示第 秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 14【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进 步，然后再后退 步”的步骤，发现机器人每 秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进 步，然后再后退 步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以 秒为周期的移动方式，且每 秒前进 个单位，点睛：本题主要考查了
17、数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以 秒为周期，且每秒前进 个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加” ，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力2.【2019 届山东省日照市高三 4 月校际联考】定义为 个正数，的“均倒数”.若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合新定义的概念求得数列的前 n 项和，然后利用前 n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.详解：设数列的前 n 项和为，由题意可得：，则：，15据此有：本题选择 A 选项.3如图所示，将平面直角坐标
18、系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字 0，记, 0a；点1,0处标数字 1，记为1a；点1, 1处标数字 0，记为2a；点0, 1处标数字1，记为3a；点1, 1 处标数字2；记为4a；点1,0处标数字1，记为5a；点1,1处标数字 0,，记为6a；点0,1处标数字 1，记为7a； 以此类推，格点坐标为, i j的点处所标的数字为ij（, i j均为整数)，记12nnSaaa，则2018S（ ）A. 1 B. 0 C. 250 D. 24916【答案】D【解析】分析：首先根据题意，找出对应的点的关系，将点阵看做若干个正方形点阵来处理，并且根据点的坐标以及对项的规
19、定，从而求得各层的正方形点阵的各项和为零，下一步需要确定的就是各层点阵的个数，以便于分析第 2019 个点的位置，建立关于 n 的合适的不等关系式，再者需要确定的是将比较多的值的21224 21 221848,4 22 232024TT，所以2018201920202021202220232024Saaaaaa ，再者可以确定这六个点的坐标分别是 22,22 , 21,22 , 20,22 , 19,22 , 18,22 , 17,22，故可以得到20242023202220212020201944,43,42,41,40,39aaaaaa，从而可以求得这六项和为444342414039249
20、，所以答案是249，故选 D.点睛：该题所考查的是数列的综合应用，一是将点阵看做正方形阵，找出每层的点的个数，再判断每层的点对应的项的和的值为零食解决该题的突破口，最后需要关注的就是将正方形阵补齐，将对应项的和转化为比较少项数的和的问题，并且最后一项对应的点的位置还比较好找，从而将难度降低.4定义:若211nnnnaa aa（*,nNd 为常数),则称 na为“比等差数列”.已知在“比等差数列” na中, 1231,2aaa,则20182016a a的末位数字是（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】分析：本题考查的是数列的新定义问题在解答时，首先应根据新定义获得数列1n
21、na a为等差数列，进而求的通项公式，结合通项公式的特点即可获得问题的解答17详解：由题意可知： 21111a a， 32221a a， 32212 11aa aa 数列1nna a为以 1 为首项以 1 为公差的等差数列111 1nnanna nN*2018201820172016201720162017 2016aaa aaa所以20182016a a的末位数字是 2故选：B5对于大于 1 的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： ，依此，若的“分裂数”中有一个是 2015，则_【答案】45点睛：该题考查的是有关数列的综合问题，需要从条件中提炼有关等差数列的求和问题，还需要明白，2
22、015 是第 1008 个奇数，在求解的过程中，要学会估值，不要一味的去解不等式，那样就会加大难度.6在一个数列中，如果对任意的，都有（ 为常数）,那么这个数列叫做等积数列， 叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为 8，则_.【答案】28. 【解析】分析：先根据数列是等积为 8 的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得18详解：由题意得，数列是等积为 8 的等积数列，且，即，同理可得，数列是周期为 3 的数列，点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，
23、使得求解变得简单7 【2019 届四川省攀枝花市第三次（4 月）统考】记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的“等比均值”.已知数列的“等差均值”为 2,数列的“等比均值”为 3.记数列的前 项和为若对任意的正整数 都有,则实数 的取值范围是_【答案】 所以两式相减得又由题得所以所以两式相减得19所以因为对任意的正整数 都有,所以解之得.故填.点睛：解答定义题，首先要理解原题的定义，每一个关键词都要理解清楚，再解答. 如果定义含糊，解题当然会有问题.本题实际上是一个数列的通项问题和恒成立问题.8.【2019 届上海市徐汇区二模】已知数列的前 项和满足，且，数列满足，
24、其前 9 项和为 36(1)求数列和的通项公式；(2)当 为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当 为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前 项和；(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用 表示)；若不存在，请说明理由【答案】 （1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列【解析】试题分析：(1)由题意，易知数列为等差数列，求出，再由通项公式与前 和关系，从而求出数列的通项公式；由条件，易知数列为等差数列，再由等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式；(2)由(1)可得与，根据题意，可对 进行分类，求得该数列前
25、 项和与参数 的表达式，从而问题可得解.(3)由(1)易得数列的通项公式，由等差数列的中项公式及数列通项公式的性质，从而得到其下标20的关系式，针对所得式子进行化简整理，并对其进行分类讨论，从而问题可得解，详见解析.所以 (2)数列的前 n 项和，数列的前 项和 当时，； 当时，；- 当时，；- 所以，其中-(3)由(1)可知，.若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，- 于是，所以，即，- 21则对任意的，能整除，且.综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列9 【2019 届浙江省杭州市第二次检测】已知数列满足()证明：；()若对于任意，当时，；x.kw()【答案】
26、见解析.【解析】试题分析：用数学归纳法证明当时，当时，成立，再证时，成立当时，累加得结果若，当时，得到，推得当时，成立，当时，矛盾，求得结果解析：（）因为，所以 ，22（） （）当时，所以 ，所以 ，累加得 ，所以 （）若，当时，所以所以当时，所以当时，矛盾所以 因为 ，所以10.已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满23足 （1）求数列，的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满足，求数列的前 项和.【答案】(1) .(2) 的最小值为 16.(3) .【解析】试题分析：第一问将式子变形，得到两项的比值，之后用累乘法求得通项公式，一定需要注
27、意对进行验证；第二问转化成最值来处理，第三问需要对 为奇数和 为偶数两种情况进行讨论求得结果.（1）由，即， (2) 由（1）知，则.7 分24假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 9 分所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为 16. 10 分（3）当 为奇数时，；13 分当 为偶数时，. 15 分因此 16 分11 【2019 届浙江省嘉兴市 4 月模拟】已知数列满足， .（）判断数列的单调性；（）证明： ；（）证明证明：.【答案】 （）单调递增；（）证明见解析；（）证明见解析.25简即可得结果.试题解析：（1）因为当时，假设时，所以时，从而对于一切，所
28、以，即数列单调递增 （2）证明：因为，所以又因为由（1）可知，所以时，即 （3）证明：由（2）得 所以 经验证也成立，即得证2612 【2019 届上海市虹口区二模】平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数 ，均有，则称此“向量列”为“等差向量列” ， 称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数 ，均有（） ，则称此“向量列”为“等比向量列” ，常数 称为“公比”.（1）如果“向量列”是“等差向量列” ，用和“公差向量” 表示；（2）已知是“等差向量列” ， “公差向量”，；是“等比向量列” ， “公比”，.求【答案】 （1）；（2）.试题解析：（1）设，.由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列. . （2）设 ，.由，从而，.数列是以 1 为首项，公差为 3 的等差数列，从而.数列是常数列，.由得，又，数列是以 1 为首项，公比为 2 的等比27数列；数列是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列，从而有，.10 分令.-得，得令从而点睛：本题考查数列的综合应用.本题设计了向量的背景，定义出“等差向量列”和“等比向量列” ，学生 在接触新题型的时候，要充分联系等差数列和等比数列，再结合向量的坐标法进行思考，即可得到解题思 路.