《2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第11讲柱、锥、台的体积含详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第11讲柱、锥、台的体积含详解.pdf（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 11 讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）名称 几何体 体积 柱 体(棱柱和圆柱)VS底h 锥 体(棱锥和圆锥)V13S底h 台 体(棱台和圆台)V13(S上S下S上S下)h 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 题型一：柱体体积的有关计算 一、填空题 1（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习
2、）九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为 3，1AA垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为2，弧 AD 长度为弧 BC长度的 2 倍，且 CD=2，则该曲能力拓展 方法技巧 考点考向 池的体积为 _.2（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）若圆柱的底面半径是 1，母线长为 2，则这个圆柱的体积是_.3（2021上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数2(0)12xyxx的图象上，则此矩形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为_ 4（2021上海市宝山中学高二阶段练习
3、）圆柱的母线长为 4cm，底面半径为 2cm，则体积为_3cm.5（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为 2，高为 4，则该正四棱柱的体积为_ 6（2021上海闵行中学高二期中）底面半径为 3，高为 4 的圆柱体积为_ 二、解答题 7（2021上海浦东新高二期中）一张 A4 纸的规格为：21cm29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积.（精确到30.0001cm）8（2021上海市进才中学高二期中）正四棱柱1111ABCDABC D，的底面边长2AB，若异面直线1A A与1BC所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCDABC D的侧面
4、积和体积.题型二：锥体体积有关计算 一、填空题 1（2021上海市建平中学高二阶段练习）若一个四面体各棱长为 2 或 4，且该四面体不是正四面体，在所有可能的四面体中，计算四面体的体积，请写出两个符合条件的四面体的体积_（不必写出所有符合条件的四面体的体积）2（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱111ABCABC中，点 M、N 分别为1BB、11BC中点，由点 A、M、N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为 _.3（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为 1，则它的体积为_ 4（2021上海格致中学高二期
5、中）如图，已知斜三棱柱111ABCABC的体积是 12，点 P为棱1AA上任意一点，则四棱锥11PBB C C的体积为_ 5（2021上海中学高二期中）ABC的三边10AB，12BC，14CA，D、E、F 分别是 AB、BC、CA的中点，沿 DF、EF、ED将ADF，CEF，BED折起，使得 A、B、C重合于 P，则四面体 PDEF的体积为_ 二、解答题 6（2022上海市行知中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知2ACBC，132AA，2 2AB.(1)求四棱锥11ABCC B的体积；(2)求直线1AC与平面11ABB A所成的角的余弦值.7（2021上海市嘉定区安亭高级中
6、学高二阶段练习）如图为正四棱锥 P-ABCD，PO平面 ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱锥 P-ABCD的体积；(2)求正四棱锥 P-ABCD的表面积.题型三：台体体积有关计算 一、单选题 1（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A杨辉 B刘微 C祖暅 D李淳风 二、填空题 2（2021上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为 3，两底面边长分别为 2 和 4，则该四棱台的体积为_ 3（2021上海交大附中高二期中）如图，2AB，1AD，2BC，3AB，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何
7、体的体积为_.4（2021上海市行知中学高二期中）已知三棱台111ABCABC的上底面的面积是28cm，下底面的面积是218cm，高是6cm，则三棱锥11ABC C的体积是 _3cm 三、解答题 5（2021上海高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是RtAOP（及其内部）绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形11AOO A（及其内部）绕1OO所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设1O的半径为r，O的半径为R，1OOh.（1）求证：圆台的体积3313RrVhRr；（2）若2R，1r，3h，求圆台的表面积S.一、单选题 1（2021上海格致中学高二期中）定义：24 小时内降水在平
8、地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm100mm），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A小雨 B中雨 C大雨 D暴雨 2（2021上海市松江二中高二期中）已知直三棱柱111ABCABC的各棱长均相等，体积为2 3，M为1A B中点，则点M到平面11A B C的距离为（）巩固提升 A217 B4 55 C77 D2 33 二、填空题 3（2021上海市延安中学高二期中）已知长方体1111ABCDABC D，体积为 48，在棱1BABCBB、分别取中点EFG、，则三棱锥B
9、EFG的体积为_.4（2021上海市行知中学高二期中）若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为_ 5（2021上海市金山中学高二期末）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_（只需写出一个可能的值）6（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）已知三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为 1，1，2，则此三棱锥的高为_ 7（2021上海市吴淞中学高二阶段练习）若圆锥的侧面积为20，且母线与底面所成角的余弦值为45，则该圆锥的体积为_.8（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数2(0)1xyxx的图象上
10、，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为_.9（2021上海市亭林中学高二期中）设等边ABC的边长为a，P是ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为1d，2d，3d，则有123ddd为定值32a；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为1d，2d，3d，4d，则有1234dddd为定值_.10（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，EF、分别是棱ABBC、上的动点，且AEBF，则三棱锥1BBEF的体积的最大
11、值为_ 11（2021上海市亭林中学高二期末）若正三棱锥底面边长为 2，侧棱与底面所成的角为45，则其体积为_ 三、解答题 12（2021上海市金山中学高二期中）如图，有一块三棱锥形木块 ABCD，其中面 ABC 内有一点 P(1)若要在面 ABC内过点 P画一条线段 EF，其中点 E在线段 AB上，点 F在线段 AC上，且满足 EF与 AD 垂直，该如何求作？请在图中画出线段 EF并说明画法，不必证明(2)经测量，ABAC6cm，AD5cm，BAC60，BADCAD 3arccos5，若 P 恰为三角形 ABC 的重心，EF 为（1）中所求线段，求三棱锥 ADEF的体积 13（2021上海位
12、育中学高二期中）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.(1)如果老师希望得到的容器的尺寸如下如图所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；(2)当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用 24 小时内的降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度，其中小雨（10mm）中雨（10mm-25mm）大雨（25mm-50mm）暴雨（50mm100mm），勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级
13、？并请说明你的理由.14（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知四边形ABCD为直角梯形，90,/,ADCADBCABD为等腰直角三角形，平面PAD 平面ABCD，E为PA的中点，22 2,33ADBCPAPD（1）求证：/BE平面PDC；（2）求证：AB 平面PBD；（3）求三棱锥BDEP的体积 15（2021上海市延安中学高二期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图 1 所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图 2 所示.已知该圆锥的高为 2 米，圆柱的高为 3 米，底面直径为
14、 6 米.图 1 图 2（1）求该蒙古包的侧面积；（2）求该蒙古包的体积.16（2021上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）在长方体1111ABCDABC D中，已知5AB，4AD，13AA.（1）求三棱锥1CBDC的体积；（2）若点O是线段11B D上一点，且112BODO，求三棱锥1COBD的体积；（3）求三棱锥11BACD的体积.17（2021上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）如图，AB是圆柱OO的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点.已知5ABBC，3CD.（1）求该圆柱的表面积；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求ACD的
15、三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.18（2021上海市西南位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，ACBC，D为AB的中点，1D为11AB的中点，平面111ABC 平面11ABB A，异面直线1BC与1AB互相垂直.（1）求证：平面1/ADC平面11BDC；（2）若1CC与平面11ABB A的距离为x，116ACAB，三棱锥1AACD的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当1CC与平面11ABB A的距离为多少时，三棱锥1AACD的体积取得最大值？并求出最大值.19（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组
16、成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为 10m.（1）已知制作这种油罐的材料单价为 1 万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取 3.14，结果精确到 0.01 万元）（2）已知该油罐的储油量为 0.95 吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取 3.14，结果精确到 0.01 吨）第 11 讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）名称 几何体 体积 柱 体(棱柱和圆柱)VS底h 锥 体(棱锥和圆锥)V13S底h 台 体(棱台和圆台)V13(S上S下S上S下)h 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几
17、何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 题型一：柱体体积的有关计算 一、填空题 1（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为 3，1AA垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为2，弧 AD 长度为弧 BC长度的 2 倍，且 CD=2，则该曲能力拓展 方法技巧
18、 考点考向 池的体积为 _.【答案】9【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】解：不妨设弧 AD所在圆的半径为 R，弧 BC所在圆的半径为 r，由弧 AD长度为弧 BC长度的 2 倍可知2Rr，2CDRrr，即2r、4R.故该曲池的体积22()394VRr.故答案为：9 2（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）若圆柱的底面半径是 1，母线长为 2，则这个圆柱的体积是_.【答案】2【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高，则这个圆柱的体积2122V.故答案为：2 3（2021上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数2(0)12
19、xyxx的图象上，则此矩形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为_【答案】216【分析】由题意知该几何体是圆柱，1122(,),(,)A x yB xy，设2()12xf xx（0 x），则12()()f xf x，利用复合函数的单调性得出()f x的单调性，得出最大值，设12()()f xf xa，则204a，12,x x是方程()f xa的两个解，由韦达定理求得12xx，然后可用a表示出圆柱的体积，从而求得最大值【详解】如图，由题意知该几何体是圆柱，1122(,),(,)A x yB xy，记2()12xf xx（0 x），则12()()f xf x，21()1122xf xxxx，由
20、勾形函数性质知12yxx在2(0,)2上递减，在2(,)2上递增，又120yxx，所以()f x在2(0,)2上递增，在2(,)2上递减，所以12202xx，max22()()24f xf，设12()()f xf xa，则204a，由212xax，得220axxa，1212xxa，1212x x，22211212211 8()4242axxxxx xaa，圆柱体积为22422121 8822aaaVa xxaa22118()21632a，所以2116a，即14a 时，max1223216V 故答案为：216 4（2021上海市宝山中学高二阶段练习）圆柱的母线长为 4cm，底面半径为 2cm，则
21、体积为_3cm.【答案】16【分析】利用圆柱的体积公式直接计算即得.【详解】因圆柱的母线长为 4cm，底面半径为 2cm，则圆柱的体积22416V(3cm)，所以所求体积为163cm.故答案为：16 5（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为 2，高为 4，则该正四棱柱的体积为_【答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.【详解】由题可得该正四棱柱的体积为2 2 416.故答案为：16.6（2021上海闵行中学高二期中）底面半径为 3，高为 4 的圆柱体积为_【答案】36【分析】直接根据圆柱的体积公式计算可得；【详解】解：因为圆柱的底面半径为 3，高为 4，所以
22、圆柱的体积223436Vr h 故答案为：36 二、解答题 7（2021上海浦东新高二期中）一张 A4 纸的规格为：21cm29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积.（精确到30.0001cm）【分析】分以21cm的边为高，和以29.7cm的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解.【详解】解：如果以21cm的边为高，1229.7r，129.72r，此时圆柱体的体积为22311229.721211474.0843 cm4Vr.如果以29.7cm的边为高，2221r，2212r，此时圆柱体的体积为2232222129.72101042.2818
23、 cm4Vr.8（2021上海市进才中学高二期中）正四棱柱1111ABCDABC D，的底面边长2AB，若异面直线1A A与1BC所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCDABC D的侧面积和体积.【答案】3216SV，.【分析】首先根据异面直线所成的角，求1BB，再求正四棱柱的侧面积和体积.【详解】11/AABB，面直线1A A与1BC所成角是1CB B，111tan2BCCB BBB，2BCAB，14BB，正四棱柱1111ABCDABC D的侧面积4 2 432S ，体积=2 2 4=16.题型二：锥体体积有关计算 一、填空题 1（2021上海市建平中学高二阶段练习）若一个
24、四面体各棱长为 2 或 4，且该四面体不是正四面体，在所有可能的四面体中，计算四面体的体积，请写出两个符合条件的四面体的体积_（不必写出所有符合条件的四面体的体积）【答案】4 113，2 113（答案不唯一，2 143，4 113，2 113三个任写两个即可）【分析】2 和 4 可以构成的三角形有：边长为 2 的正三角形，边长为 4 的正三角形，边长为 2，4，4 的三角形，则四面体可以是：一个底面边长为 2 的正三角形，侧棱长均为 4 的正三棱锥；四个 2，4，4 的三角形拼成的三棱锥；两个边长为 4 的正三角形和两个 2，4，4 的三角形拼成的三棱锥【详解】解：若底边长为 4，4，4，侧棱
25、长为 4，4，2；设2AB，AB的中点为E，则ABCE，ABDE，AB平面CDE，224115CEDE，4CD，2227cos215CEDECDCEDCE DE，4 11sin15CED 1114 114 1115152332153CDEVSAB 若底边长为 2，2，2，侧棱长为 4，4，4；设底面中心为O，则22 3333OB，棱锥的高222 32 114()33h，21132 112 11233433BCDVSh 若底面边长为 4，4，1，侧棱长为 4，4，1，设2ABCD，其余各棱长均为 4，由可知22213cos215CEDECDCEDCE DE，2 14sin15CED，1112 1
26、42 1415152332153CDEVSAB 故答案为：4 113，2 113（答案不唯一，2 143，4 113，2 113三个任写两个即可）2（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱111ABCABC中，点 M、N分别为1BB、11BC中点，由点 A、M、N 所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为 _.【答案】2336【分析】延长MN与1CC的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交11AC为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得112ADDC，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比，即可得解【详解】解：延长MN与1C
27、C的交点为P，与CB的延长线交于点为Q，连结AP交11AC为D，连结DN，即可得到截面为DNMA，由题意得112ADDC，因为三棱柱是直三棱柱，不妨设ABBC，且12ABBCAA，1QB，1MB，1NC，11PC，棱柱体积12 2 242V ，下部分体积1PAQCP DNCMAQBVVVV下 11111123 231 2113232323 239，上部分体积2313499VVV下上，较小部分与较大部分的体积之比为：1313923239VV上下 所以较大部分的体积与原三棱柱的体积之比为232323 1336 故答案为：2336 3（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为 1，则它
28、的体积为_【答案】212【分析】求得正四面体的高，由此求得正四面体的体积.【详解】设F是正四面体ABCD底面的中心，则AF 平面BCD，且:2:1BF FE，所以323233BF,2236133AF，所以正四面体的体积为21362134312.故答案为：212 4（2021上海格致中学高二期中）如图，已知斜三棱柱111ABCABC的体积是 12，点 P 为棱1AA上任意一点，则四棱锥11PBB C C的体积为_【答案】8【分析】利用等体积法证明四棱锥11PBB C C的体积与斜三棱柱111ABCABC的体积的关系，即可得解.【详解】1 1 11 1 111 1 11 1 11111111233
29、ABCA B CA B CABCA B CABCA B CABCA B CP BB C CA BB C CAVVVVVVV 21283故答案为：8 5（2021上海中学高二期中）ABC的三边10AB，12BC，14CA，D、E、F 分别是 AB、BC、CA的中点，沿 DF、EF、ED将ADF，CEF，BED折起，使得 A、B、C重合于 P，则四面体 PDEF的体积为_【答案】2 95【分析】由折起成四面体的过程知，四面体PDEF相对棱等长，将其补形成长方体，利用割补法即可得解.【详解】因四面体PDEF相对棱等长，则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把四面体PDEF补形成长方
30、体1111D EPFDE PF，如图：5,6,7PDEFPEDFPFDE，设111,FPx FDy FFz，则有222222253649xyyzzx，解得22219630 xyz，6 95xyz，所以四面体PDEF的体积111111442 9563D EPF DE PFP PEFVVVxyzxyzxyz.故答案为：2 95 二、解答题 6（2022上海市行知中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABCABC中，已知2ACBC，132AA，2 2AB.(1)求四棱锥11ABCC B的体积；(2)求直线1AC与平面11ABB A所成的角的余弦值.【答案】(1)2；(2)175.【分析】（1）由题意可
31、证AC 面11BCC B，则四棱锥11ABCC B的体积为1 11 11=3A BCC BBCC BVSAC，即可得到答案.（2）取11AB的中点为D，连接1C D，AD，可证得1C AD为直线1AC与平面11ABB A所成的角，设为，则1cosADAC，即可得到答案.(1)由题意知，三棱柱111ABCABC为直三棱柱，故1C C 面ABC AC 面ABC 1C C AC2ACBC，2 2AB ACBC1C CBCC，1,C C BC 面11BCC B AC面11BCC B 1 13232BCC BS1 11 111=3 2233A BCC BBCC BVSAC(2)取11AB的中点为D，连接
32、1C D，AD 由题意知1AA 面111ABC，1C D 面111ABC 1AA 1C D111ABC为等腰直角三角形，D为11AB的中点 111C DAB1111111,AAABA AA AB面11ABB A 1C D面11ABB A1C AD为直线1AC与平面11ABB A所成的角，设为 22135222AC 22317222AD117cos5ADAC故直线1AC与平面11ABB A所成的角的余弦值为175.7（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥 P-ABCD，PO平面 ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱锥 P-ABCD的体积；(2)求正四棱锥 P-AB
33、CD的表面积.【答案】(1)6；(2)24.【分析】（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解；（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.(1)根据题意，得113 3 2633P ABCDABCDVSOP .(2)如图所示，作BC的中点E，连接OE，PE，则2295442PEOEOP，故正四棱锥 P-ABCD的表面积44242PBCABCDBC PESSSAB BC.题型三：台体体积有关计算 一、单选题 1（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A杨辉 B刘微 C祖暅 D李淳风【答案】C【分析】由题意可得求不规
34、则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选 C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.二、填空题 2（2021上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为 3，两底面边长分别为 2 和 4，则该四棱台的体积为_【答案】28 73【分析】根据正四棱台的性质求出高，即可由体积公式求出.【详解】如图，正四棱台1111ABCDABC D中，
35、设下底面中心为O，上底面中心为1O,则1OO即为四棱台的高，过1B作1BEBD，则11B EOO,在1RtBEB中，13,2 222BBBE，则 221327B E，又1 1 1122416,24ABCDA BC DSS，所以该四棱台的体积为128 7161644733V.故答案为：28 73.3（2021上海交大附中高二期中）如图，2AB，1AD，2BC，3AB，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为_.【答案】7【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果.【详解】直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体为圆台，且该圆台上底面圆的面积为211S，下底面
36、面积为2224S，圆台的高为3h，因此，该几何体的体积为12121173733VSSS Sh.故答案为：7.4（2021上海市行知中学高二期中）已知三棱台111ABCABC的上底面的面积是28cm，下底面的面积是218cm，高是6cm，则三棱锥11ABC C的体积是 _3cm【答案】24【分析】连接1AB、1AC、1CB，三棱台111ABCABC可分割为三棱锥111AA BC，三棱锥1BABC，三棱锥11ABC C，求出棱台111ABCABC的体积减去1 11A A B CV，再减去1BABCV即可求解.【详解】如图三棱台111ABCABC中，28cmABCS，1 1 1218cmABCS，棱
37、台的高6cmh，连接1AB、1AC、1CB，则三棱台111ABCABC可分割为三棱锥111AA BC，三棱锥1BABC，三棱锥11ABC C，由棱台体积公式可得 1 1 11 1 1118 188 1867633ABCA B CABCA B CVSSSSh，1 1 1118 6363A A B CV，118 6163BABCV，所以111 11176361624A B C CA A B CBABCVVVV，故答案为：24.三、解答题 5（2021上海高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是RtAOP（及其内部）绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形11AOO A（及其内部）绕1OO
38、所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设1O的半径为r，O的半径为R，1OOh.（1）求证：圆台的体积3313RrVhRr；（2）若2R，1r，3h，求圆台的表面积S.【答案】（1）证明见解析；（2）11.【分析】（1）根据三角形相似，得出1rhPORr，利用两个圆锥体积之差可得圆台的体积；（2）利用大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面积可得圆台的侧面积，再加上圆台的底面积即可.【详解】（1）证明：11PAOPAO，11POrPOhR，解得1rhPORr，2211133VRPOrPO 221133rhrhRhrRrRr3313RrhRr.（2）在PAO中，过点1A作1ABAO，B是垂足，则在1Rt
39、 ABA中，1ABRr，13AB，160A AB，4PA，12PA，所以该圆台的表面积 221112222SR PAr PARr82411.【点睛】本题主要考查圆台的体积公式证明及表面积的求解，明确圆台与圆锥间的关系是解题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.一、单选题 1（2021上海格致中学高二期中）定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm100mm），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）巩固提升 A小雨 B中雨 C大雨 D暴雨【答案
40、】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为200100 mm2的圆面内的降雨充满一个底面半径为20015050 mm2300，高为150 mm的圆锥，所以积水厚度22150150312.5 mm100d，属于中雨.故选：B.2（2021上海市松江二中高二期中）已知直三棱柱111ABCABC的各棱长均相等，体积为2 3，M为1A B中点，则点M到平面11A B C的距离为（）A217 B4 55 C77 D2 33【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M到平面11A B C的距离为d，利用1 11 1MA B CCA B MVV以及棱锥的
41、体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABCABC的各棱长均相等，设棱长为a，因为体积为2 3，所以2132 34ABCVSAAaa，解得：2a，设点M到平面11A B C的距离为d，因为112AB，112 2CBCA，所以11ABC中，11AB边上的高为222 217，则1 112772CA BS，取AB的中点H，连接CH，则CHAB，因为1AA 面ABC，CH 面ABC，所以1AA CH，因为1AAABA，所以CH 面11ABB A，在ABC中，3CH，由1 11 1MA B CCA B MVV，即11111133B MCA BAd SCH S，即111732 1332d，解得：217d
42、，故点M到平面11A B C的距离为217，故选：A.二、填空题 3（2021上海市延安中学高二期中）已知长方体1111ABCDABC D，体积为 48，在棱1BABCBB、分别取中点EFG、，则三棱锥BEFG的体积为_.【答案】1【分析】根据题意，结合长方体和三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】根据题意，设ABx，BCy，1BBz，因为长方体1111ABCDABC D体积为 48，所以48xyz，因此三棱锥BEFG的体积112 21332248B EFGG EBFEBFx yzxyzVVSBG.故答案为：1.4（2021上海市行知中学高二期中）若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体
43、积为_【答案】33.【分析】根据底面圆周长求出底面圆半径r，根据侧面积求得圆锥的母线l，由勾股定理可得圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥底面圆半径r，母线长为l，因为圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，所以22r，1222l，解得：1r，2l，所以圆锥的高2222213hlr，所以圆锥的体积为213 1333 故答案为：33.5（2021上海市金山中学高二期末）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_（只需写出一个可能的值）【答案】116或1412或1112(写出其中一个即可)【分析】考虑一条边为 1，两条边为 1，三条边为 1 三种情况，如图所示，分别利
44、用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为 1，其余边为 2 时，如图 1，不妨设1AD，BC中点为E，连接,AE DE，作DHAE于H，易知BCDE，BCAE，AEDEE，故BC 平面DEA，DH 平面DEA，故DHBC，又DHAE，BCAEE，故DH 平面ABC，易知3DEAE，33 15cos62 33DEA，故25333sin3166DHDEA，11133112333266ABCVSDH.当有两条边为 1 时，只能时对边为 1，如图 2，不妨设1ADBC 设对应长方体的长宽高分别为：,a b c，则222222441abbcca，解得2214222
45、abc，故22141122141442223222212V.当有三条边为 1 时，只能是底边三条边为 1，如图 3所示，E是BC中点，连接AE，故DHAE于H，易知BCDE，BCAE，AEDEE，故BC 平面DEA，DH 平面DEA，故DHBC，又DHAE，BCAEE，故DH 平面ABC，易知152DE，32AE，1534544cos15153222DEA，故21515533sin122153DHDEA，1113331113322312ABCVSDH.其他情况不满足.故答案为：116或1412或1112(写出其中一个即可)6（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）已知三棱锥PABC的三条侧
46、棱两两垂直，且它们的长度分别为 1，1，2，则此三棱锥的高为_【答案】105【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.【详解】如图 1，将三棱锥 P-ABC还原为长方体 PADB-CQRS，由题意可知，111223326C PABPABVSPC，设 P 到平面 ABC的距离为 d，如图 2，M为 BA中点，则 CMBA，由勾股定理可知，225322CM，所以1552222ABCS，所以1536P ABCABCVSdd，由5210665C PABP ABCVVdd.故答案为：105.7（2021上海市吴淞中学高二阶段练习）若圆锥的侧面积为20，且母线与底面所成角的余弦值为45，则该圆锥
47、的体积为_.【答案】16【分析】设出圆锥的母线与底面半径，通过圆锥的侧面积为20，且母线与底面所成的角的余弦值为45，求出半径与母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【详解】解：设圆锥的母线为 l，底面半径为 r，因为圆锥的侧面积为20，且母线与底面所成的角的余弦值为45，所以，420,5rrll，所以 r4，l5，圆锥的高为：3，所以圆锥的体积为：2143163 故答案为：16 8（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数2(0)1xyxx的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为_.【答案】4【分析】设矩形在21xyx上的两个项点
48、坐标为 12,x yxy，利用12,x x是关于x的方程21xyx的两根，求得12xx，然后同体积公式得212Vy xx，结合二次函数知识得最大值【详解】设矩形在21xyx上的两个项点坐标为 12,x yxy，由 2201xyyxxyx，知12,x x是方程()的两个根.121xxy，121x x，2212121221()()44xxxxx xy，2224122144Vyxxyyyy，当且仅当218y 时，max4V.故答案为：4 9（2021上海市亭林中学高二期中）设等边ABC的边长为a，P是ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为1d，2d，3d，则有123ddd为定值3
49、2a；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为1d，2d，3d，4d，则有1234dddd为定值_.【答案】63a【分析】设底面三角形BCD的中心为O，求出正四面体ABCD的体积，根据类比思想以及正四面体体积公式，结合分割法求结果，由P ABCP ABDP ACDP BCDVVVVV，即可求出结果.【详解】设底面三角形BCD的中心为O，则323233BOa，故棱锥的高2263AOABOBa.正四面体的体积31113233263212BCDVSAOaaaa.又P ABCP ABDP A
50、CDP BCDVVVVV22123412341333412addddadddd，212343311222adddda，则123463dddda.故答案为：63a 10（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，EF、分别是棱ABBC、上的动点，且AEBF，则三棱锥1BBEF的体积的最大值为_【答案】324a【分析】设AEBFx.根据体积的表达式13BBEFBEFaVS，只需求出BEFS的最大值，建立12BEFSax x，利用二次函数求出最大值，即可求解.【详解】设AEBFx.因为111=33BBEFBEFBEFaVSBBS，所以当BEFS取得最大