《2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第08讲二面角含详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第08讲二面角含详解.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 08 讲二面角（核心考点讲与练）二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 题型一：二面角的概念及辨析 一、单选题 1（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设 l 是直二面角，直线 a在平面 内，直线 b在平面 内，且 ab与 l均不垂直，
2、则（）Aa与 b可能垂直，但不可能平行 Ba 与 b可能垂直也可能平行 Ca 与 b不可能垂直，但可能平行 Da与 b不可能垂直，也不可能平行 2（2021上海复旦附中高二期中）在矩形ABCD中，2 3AB，3AD，E、F 分别为边AD、BC上的点，且2AEBF，现将ABE沿直线BE折成1ABE，使得点1A在平面BCDE上的射影在四边形CDEF内（不含边界），设二面角1ABEC的大小为，直线1A B与平面BCDE所成的角为，直线1AE与直线BC所成能力拓展 方法技巧 考点考向 角为，则（）A B C D 3（2021上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面,和三条直线,m a b,若m,a且,
3、am b,设和所成的一个二面角的大小为1,直线a和平面所成的角的大小为2,直线,a b所成的角的大小为3,则（）A123 B312 C1323,D1232,二、填空题 4（2021上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面，所成的锐二面角的大小为.则称平面，成角，已知平面，成 70角.则过空间一点V且与，都成 55角的平面的个数为_个 5（2021上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是_ 6（2021上海高二专题练习）已知P为锐二面角内一点，且P到两个半平面及棱的距离之比为1:2:2，则此二面角的度数为_ 题型二：求二面角 一、填空题 1（2021上海大学附
4、属南翔高级中学高二期中）如果二面角l 的平面角是锐角，空间一点 到平面、和棱l的距离分别为2 2、4 和4 2，则二面角l 的大小为_.2（2021上海浦东新高二期中）在正方体1111ABCDABC D中，平面11ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的大小是_.二、解答题 3（2021上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD上是否存在一点F，使EF 侧面PBC，若存
5、在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.题型三：由二面角大小求线段长度或距离 一、单选题 1（2021上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角l 的大小是 60，在该二面角内有一点 P 到的距离是 3，到的距离是 5，又动点 A 和 B，A，B，则PAB 的周长的最小值是（）A3 3 B6 3 C12 D14 2（2020上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设3,2A，2,3B 沿着y轴将直角坐标平面折成120的二面角后，AB长为（）A2 11 B4 2 C2 5 D6 二、填空题 3（2021上海复旦附中高二期中）二面角l 是60，其内一点 P到,的距离分别为1cm和2cm，则点
6、 P到棱 l的距离为_ 4（2021上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角l 等于120，AB 是棱 l上两点，ACBD、分别在半平面、内，ACl，BDl，且3ABACBD，则CD的长等于_.5（2021上海市市西中学高二期中）正方形ABCD的边长是 2，,E F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直面角（如图所示），M为矩形AEFD内的一点，如果MBEMBC，MB和平面BCF所成角的正切值为12，那么点M到直线EF的距离为_ 6（2021上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直道向上
7、行走 100米后升高_米 三、解答题 7（2021高二期中）如图 1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60A，90C，2CD 把ABD沿BD折起（如图 2），使二面角ABDC的余弦值等于33对于图 2，完成以下各小题：（1）求A、C两点间的距离；（2）证明：AC 平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值 8（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是A1D1和 CC1的中点.（1）求异面直线 EF与 AB 所成角的余弦值；（2）求异面直线 EF与 AB 之间的距离（3）在棱 BB1上是否存在一点 P，使得二
8、面角 P-AC-B 的大小为 30?若存在，求出 BP 的长，若不存在，请说明理由.题型四：由二面角大小求异面直线所成的角 一、填空题 1（2021上海闵行中学高二阶段练习）已知二面角l 的大小为140，直线,a b分别在平面,内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为_.二、解答题 2（2021上海华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO的底面圆半径1OA，母线3SA.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面SOA与半平面SOP所成二面角PSOA大小为120，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值.一、单选题 1（2021上海市进才中学高二期中
9、）正三棱台侧面与底面所成角为4，侧棱与底面所成角的余弦值为（）A55 B2 55 C33 D63 2（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知四棱锥 SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是巩固提升 线段 AB 上的点（不含端点），设 SE与 BC 所成的角为 1，SE与平面 ABCD所成的角为 2，二面角 SABC的平面角为 3，则（）A123 B321 C132 D231 3（2021上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C上有一个小孔E，E点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕CD倾斜（
10、CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C与桌面所成角的正切值为（）A55 B12 C2 55 D2 4（2021上海高二专题练习）等腰直角ABC斜边 CB 上一点 P满足14CPCB，将CAP沿 AP翻折至C AP，使二面角CAPB为60，记直线C A、CB、C PCP与平面APB所成角分别为、，则（）A B C D 二、填空题 5（2020上海市金山中学高二期末）在北纬 45的线圈上有,A B两地，它们的经度差为 90，若地球半径为R，则,A B两地的球面距离为_.6（2021上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为 2，侧面与底面所成角的大小为3，则该
11、四棱锥的侧面积为_ 7（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）已知二面角CD的大小为，A为平面上的一点，且ACD的面积为 2，过 A 点的直线AB交平面于 B 点，ABCD，且AB与成60角，当变化时，BCD的面积最大为_.8（2021上海市控江中学高二期中）已知，矩形ABCD中，2AB，5BC，E，F分别为边BC，AD上的定点，且45BAE，30DCF，分别将ABE，CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E与CD F处，且满足BDAB，分别将锐二面角BAED与锐二面角DFCB记为1与2，则21cos22cos的最小值为_ 9（2021上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱柱11
12、1ABCABC的各棱长都是 4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合，设二面角CAFE的大小为，则tan的最小值为_.三、解答题 10（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）在四面体 ABCD 中，ABBDCD1，AB平面 BCD，CDBD，点 M为 AD上动点，连结 BM，CM，如图.(1)求证：BMCD；(2)若 AM2MD，求二面角 MBCD的余弦值；(3)是否存在一个球，使得四面体 ABCD的顶点都在此球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由.11（2021上海市大同中学高二阶段练习）如图，已知E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF
13、与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且4PAAB，2NC，M是线段PA上一动点.（1）求证：EF 平面PAC；（2）若/PC平面MEF，试求:PM MA的值；（3）当M是PA中点时，求二面角MEFN的余弦值.12（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，120AOP，圆O的直径4AB，圆柱的高13OO.（1）求点A到平面1APO的距离；（2）求二面角1APBO的余弦值大小.13（2021上海市七宝中学高二阶段练习）在 120的二面角l 的面，内分别有A，B两点，且A，B到棱l距离AC，BD分别是 2，4，10AB，如图所示，求：（1）直线A
14、B与棱l所成角的余弦值：（2）直线AB与平面所成角的正弦值：（3）二面角ABCD的平面角的正切值.14（2021上海华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，/,ABCD ABAD，且2CDAB（1）若ABAD，直线PB与CD所成的角为45，求二面角PCDB的大小；（2）若 E 为线段PC上一点，试确定点 E的位置，使得平面EBD 平面ABCD，并说明理由 15（2021上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱1111ABCDABC D的底面是边长为2的正方形，侧棱长为 1（1）求直线1AC与直线1AD所成角的余弦值；（2）求二面角11D
15、ACA平面角大小的余弦值；（3）在直线1AC上是否存在一个动点P，使得P在平面1D AC的投影恰好为1D AC的重心，若存在，求线段PC的长度，若不存在，说明理由 16（2021上海市第三女子中学高二期末）如图，在多面体111ABCABC中，111,AA BB CC均垂直于平面 ABC，14AA，113,2CCBBABACBC（1）求点 A到平面111ABC的距离；（2）求平面 ABC 与平面111ABC所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体111ABCABC的体积 17（2021上海市松江二中高二期中）在三棱柱111ABCABC中，1,ABBC ABAA12,3A AC点M为棱1CC的中点，
16、点T是线段BM上的一动点，122.AAACAB（1）证明：1CCBM；（2）求平面11B BCC与平面11A ACC所成的二面角的正弦值；（3）设直线AT与平面11B BCC平面11A ABB平面ABC所成角分别为123,.求123sinsinsin的取值范围.18（2019上海市民办市北高级中学高二期中）如图，AB是圆柱的直径且2AB，PA是圆柱的母线且2PA，点C是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥PABC体积的最大值；（2）当二面角PBCA的大小为3时，求点C到平面PAB的距离；（3）若1AC，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CEED的最小值.19（2018上海市张堰中学高二阶段练习
17、）如图,四棱锥PABCD的底面为菱形且ABC=120,PA底面ABCD,AB=1,PA=3,E为 PC的中点.(1)求直线 DE与平面 PAC所成角的大小；(2)求二面角 E-AD-C 平面角的正切值；(3)在线段 PC上是否存在一点 M,使 PC平面 MBD成立.如果存在,求出 MC的长；如果不存在,请说明理由 第 08 讲二面角（核心考点讲与练）二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.找二面角的平面
18、角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 题型一：二面角的概念及辨析 一、单选题 1（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设 l 是直二面角，直线 a在平面 内，直线 b在平面 内，且 ab与 l均不垂直，则（）Aa与 b可能垂直，但不可能平行 Ba 与 b可能垂直也可能平行 Ca 与 b不可能垂直，但可能平行 Da与 b不可能垂直，也不可能平行【答案】C【分析】利用空间中线面间的位置关系求解.【详解】l是直二面角，直线 a在平面 内，直线 b 在平面 内，且 ab 与 l均不垂直，当
19、/al，且/bl时，由平行公理得/ab，即 a，b可能平行，故 A 与 D 错误；当 a，b垂直时，若二面角是直二面角，则al，与已知矛盾，能力拓展 方法技巧 考点考向 a 与 b 不可能垂直，也有可能平行.故选：C.2（2021上海复旦附中高二期中）在矩形ABCD中，2 3AB，3AD，E、F 分别为边AD、BC上的点，且2AEBF，现将ABE沿直线BE折成1ABE，使得点1A在平面BCDE上的射影在四边形CDEF内（不含边界），设二面角1ABEC的大小为，直线1A B与平面BCDE所成的角为，直线1AE与直线BC所成角为，则（）A B C D【答案】D【分析】根据题意作出相应的二面角，线面
20、角，线线角，结合点1A在平面BCDE上的射影求解.【详解】过 A 作BE的垂线，分别交EB，EF，DC于 M，G，N，如图，显然AMN.因为/BC AD，所以直线AE与AD所成角即为.当A在平面BCDE上的射影为 G 时，AE平面A EF，此时2.于是当A在平面BCDE上的射影在线段GN上时，2A ED，所以A ED.由于EAEA，MAMA，进而得2EAA，2MAA.因为AM是AA在平面ABCD上的射影，所以由线面角最小性知22EAAMAA，即.再由二面角的最大性知.故选：D【点睛】关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到,是解题的关键，再根据位置
21、分析角的变化范围即可比较大小.3（2021上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面,和三条直线,m a b,若m,a且,am b,设和所成的一个二面角的大小为1,直线a和平面所成的角的大小为2,直线,a b所成的角的大小为3,则（）A123 B312 C1323,D1232,【答案】D【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案.【详解】如图,在平行六面体中,1190,90A ADA AB 不妨设面11AAD D 为,面ABCD 为,BCb.则ADm,1AAa 此时,由图可知,12390,90,90.只有 C 选项符合.故选:D.【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.
22、一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.二、填空题 4（2021上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面，所成的锐二面角的大小为.则称平面，成角，已知平面，成 70角.则过空间一点V且与，都成 55角的平面的个数为_个【答案】3【分析】过V作平面,的垂线,a b，作平面的垂线l，原问题等价于：相交于点V的直线,a b所成的角为70，过V点能且只能作几条直线与,a b所成的角都是55，然后通过,a b夹角的平分线进行分析（绕V点旋转运动）可得【详解】过V作平面,的垂线,a
23、b，作平面的垂线l，原问题等价于：相交于点V的直线,a b所成的角为70，过V点能且只能作几条直线与,a b所成的角都是55，设直线,a b确定的平面为，则l在平面上的射影必是,a b所夹角（一个是70，另一个是110）的平分线，这样的直线有 3 条：一条是大小为110的那个角的平分线，另 2 条是大小为70的那个角的平分线绕V点在的垂直平面内旋转所得 故答案为：3 5（2021上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是_【答案】0,【分析】根据二面角的定义即可得出答案.【详解】因为两个半平面所成二面角的大小为，所以的取值范围是0,.故答案为：0,.6（2021
24、上海高二专题练习）已知P为锐二面角内一点，且P到两个半平面及棱的距离之比为1:2:2，则此二面角的度数为_【答案】75【分析】画图，设锐二面角为l，作PAl，PB，PC，连接,AB AC，再分别计算正弦值可得30PAB，45PAC，进而求得此二面角的度数.【详解】设锐二面角为l，作PAl，PB，PC，连接,AB AC.易得BAC为二面角l 的平面角，又:1:2:2PB PC PA，故1sin2PAB,1sin2PAC，且锐二面角l.故30PAB，45PAC.故75BAC，即此二面角的度数为75.故答案为：75【点睛】本题考查了三角函数的运用、二面角的计算等，需要根据题意作出对应的角度求解.属于
25、基础题.题型二：求二面角 一、填空题 1（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角l 的平面角是锐角，空间一点 到平面、和棱l的距离分别为2 2、4 和4 2，则二面角l 的大小为_.【答案】75或15【分析】分点 P在二面角l 的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点 P在二面角l 的内部，如图所示：,PAPBPCl，A，C，B，P 四点共面，ACB是二面角的平面角，因为 到平面、和棱l的距离分别为2 2、4 和4 2，所以2 2142sin,sin224 24 2ACPBCP，所以30,45ACPBCP，则453075ACBBCPACP；当点 P在二面角l 的外部，如图
26、所示：,PAPBPCl，A，C，B，P 四点共面，ACB是二面角的平面角，因为 到平面、和棱l的距离分别为2 2、4 和4 2，所以所以2 2142sin,sin224 24 2ACPBCP，所以30,45ACPBCP，30,45ACPBCP，则453015ACBBCPACP.故答案为：75或15 2（2021上海浦东新高二期中）在正方体1111ABCDABC D中，平面11ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的大小是_.【答案】4【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可【详解】正方体1111ABCDABC D中，BC 平面11ABB A，又1AB 平面
27、11ABB A，所以1ABBC，又ABBC，所以1ABA是平面11ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的平面角，在直角1ABA中，14ABA，所以平面11ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的大小是4 故答案为：4 二、解答题 3（2021上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD上是否存在一点F，使EF 侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.【答
28、案】(1)60(2)2 105(3)存在，F是AD的4等分点，靠近A点的位置【分析】（1）取AD中点M，连接OM、PM，由正四棱锥的性质知PMO为所求二面角PADO的平面角，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，设ABa，求出tanPMO的值，即可得解；（2）依题意连接AE、OE，可知OEA为异面直线PD与AE所成的角，证明出AOOE，计算出AO、OE的长，即可求得结果；（3）延长MO交BC于N，取PN的中点G，连接EG、MG，易得BC 平面PMN，可得平面PMN 平面PBC，分析出PMN为正三角形，易证MG 平面PBC，取AM的中点F，连接EF，可得四边形EFMG为平行四边形，从而/MG
29、FE，可得EF 平面PBC，即可得出结论.(1)解：取AD的中点M，连接OM、PM，由正四棱锥的性质可知PO 平面ABCD，AD 平面ABCD，则ADPO，依条件可知ADMO，则PMO为所求二面角PADO的平面角.PO 面ABCD，则PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则6tan2PAO，设ABa，则22AOa，所以，3tan2POAOPOAa，则tan3POPMOMO，因为090PMO，故60PMO.(2)解：连接AE、OE，O、E分别为BD、PB的中点，则/OE PD，所以，AEO为异面直线PD与AE所成的角.PO 平面ABCD，AO 平面ABCD，则AOPO，AOBD，BDPOO，A
30、O平面PBD，又OE 平面PBD，AOOE.22115224OEPDPODOa，所以，2 10tan5AOAEOEO.(3)解：延长MO交BC于N，则N为BC的中点，取PN的中点G，连接EG、MG.因为PBPC，N为BC的中点，则BCPN，同理可得BCPM，PMPNP，故BC 平面PMN，BC 平面PBC，平面PMN 平面PBC，又2222PMPAAMPBBNPN，60PMN，所以，PMN为正三角形，G为PN的中点，则MGPN，又因为平面PMN平面PBCPN，平面PMN 平面PBC，MG 平面PMN，所以，MG 平面PBC，取AM的中点F，连接EF、EG，G、E分别为PN、PB的中点，则/EG
31、 BN且12EGBN，因为/AD BC且ADBC，M、N分别为AD、BC的中点，则/AM BN且AMBN，F为AM的中点，则/FM BN且12FMBN，故/FM EG且FMEG，所以，四边形EFMG为平行四边形，则/EF MG，故EF 平面PBC.因此，F是AD的4等分点，靠近A点的位置.题型三：由二面角大小求线段长度或距离 一、单选题 1（2021上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角l 的大小是 60，在该二面角内有一点 P 到的距离是 3，到的距离是 5，又动点 A 和 B，A，B，则PAB 的周长的最小值是（）A3 3 B6 3 C12 D14【答案】D【分析】作出P关于两个平面，对称点M
32、、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，由已知条件推导出PAB周长LPMPNMNAMMNBN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN，即为PAB周长的最小值【详解】解：如图，作出P关于两个平面，的对称点M、N，交平面，分别为E，F，过点E，F分别作EO，FO垂直直线l，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，则PAB的周长LPAPBABAMABBN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN即为PAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为 3、5，6MP，10NP，面
33、角l 的大小是 60，60EOF，120MPN，根据余弦定理有：2222212cos61026 10()1962MNMPNPMP NPMPN ，14MN，PAB周长的最小值等于14 故选：D 2（2020上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设3,2A，2,3B 沿着y轴将直角坐标平面折成120的二面角后，AB长为（）A2 11 B4 2 C2 5 D6【答案】C【分析】如图（1），设0,3,0,2,2,2DEF，则可证在图（2）中FEA为二面角FODA的平面角，结合线面垂直的性质可得ABF为直角三角形，从而可求AB的长度.【详解】如图（1），设0,3,0,2,2,2DEF，则,
34、BDOD EFOD AEOD，则在图（2）中，FEA为二面角FODA的平面角，由题设可得120FEA，所以21942 2 3192AF ，19AF，因为EFAEE，故OD 平面EFA，而/BF OD，所以BF 平面EFA，又AF 平面EFA，故BFAF，故1912 5AB.故选：C.二、填空题 3（2021上海复旦附中高二期中）二面角l 是60，其内一点 P到,的距离分别为1cm和2cm，则点 P到棱 l的距离为_【答案】2 213【分析】过P分别作,PAPB，设点 P 到棱 l的垂足为C，可得,P A B C在以PC为直径的圆上，利用余弦定理求出AB，再由正弦定理即可求出.【详解】如图，过P
35、分别作,PAPB，则1,2PAPB，设点 P到棱 l的垂足为C，则可得l 平面PACB，则,lAC lBC，所以60ACB，则120APB，在ABP中由余弦定理可得22212cos120142 1 272ABAPBPAP BP ，所以7AB，由题意可得,P A B C在以PC为直径的圆上，所以由正弦定理可得72 21sin332ABPCAPB.故答案为：2 213.4（2021上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角l 等于120，AB是棱 l上两点，ACBD、分别在半平面、内，ACl，BDl，且3ABACBD，则CD的长等于_.【答案】2 3【分析】过 D 作DE 面于 E，连结
36、CE.延长 AC 到 F，使 CF=BE，连结 BF.分别求出 DE 和 CE，利用勾股定理即可求出 CD.【详解】如图示，过 D 作DE 面于 E，连结 CE.延长 AC 到 F，使 CF=BE，连结 BF.因为二面角l 等于120，3BD，由三垂线定理得BDl，所以60DBE且BEl,所以33sin60cos6022DEBDBEBD ，.在平面内，因为BEl，ACl，所以/BEAC,即/BECF，又BECF，所以 BECF 为平形四边形，所以 22223 339324CEBFABAF,所以22223392 324CDDECE.故答案为：2 3.5（2021上海市市西中学高二期中）正方形AB
37、CD的边长是 2，,E F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直面角（如图所示），M为矩形AEFD内的一点，如果MBEMBC，MB和平面BCF所成角的正切值为12，那么点M到直线EF的距离为_【答案】22【分析】过点M作MOEF，交EF于O，过点O作ONBC，交BC于N，证明RtBEMRt BMN，进而得MEMN，设MOx，再根据几何关系得251x 21x，解得22x.【详解】过点M作MOEF，交EF于O，因为AEFC是直二面角，所以MO 平面BCFE，所以MOBC 过点O作ONBC，交BC于N，ONOMO，所以BC 平面MON，所以BCMN，即BMN为直角三角形，因为BEEF，AEFC
38、是直二面角，所以BE平面AEFD，所以BEME，即BEM为直角三角形，因为MBEMBC，所以RtBEMRt BMN，所以MEMN 设MOx，则MB和平面BCF所成角的正切值为12，由于MBO是MB和平面BCF所成角，即1tan2MOMBOOB，所以2OBx 所以在RtMBO中，225BMOMOBx，在Rt BEM中，22251EMBMEBx，在Rt BMN中，2221MNOMONx，所以251x 21x，解得22x.所以点M到直线EF的距离为22故答案为：22.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，构造辅助线将M
39、BEMBC 转化为MEMN，进而根据几何关系列式求解.6（2021上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直道向上行走 100 米后升高_米【答案】25 3【分析】设直道AB中A在二面角的棱上，过B作BC与水平面垂直，垂足为C，再作CD与棱垂直，垂足为D，连接BD，可得BDC为已知二面角的平面角然后 在直角三角形中计算可得【详解】如图，设直道AB中A在二面角的棱上，过B作BC与水平面垂直，垂足为C，再作CD与棱垂直，垂足为D，连接BD，BC与水平面垂直，则BC与水平线AD垂直，也与水平面上的直线CD垂直，
40、而CDBCC，,CD BC 平面BCD，所以AD 平面BCD，又BD 平面BCD，所以ADBD，BDC为已知二面角的平面角 由已知100AB，60BAD，则sin100sin 6050 3BDABBAD，30BDC，sin50 3sin3025 3BCBDBDC 故答案为：25 3 三、解答题 7（2021高二期中）如图 1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60A，90C，2CD 把ABD沿BD折起（如图 2），使二面角ABDC的余弦值等于33对于图 2，完成以下各小题：（1）求A、C两点间的距离；（2）证明：AC 平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值【答案】（1）2；（
41、2）证明见解析；（3）33【分析】（1）根据题意取 BD 的中点 E，容易证明AEC是二面角ABDC的平面角，进而求出结果；（2）通过勾股定理证明,ACBC ACCD，进而通过线面垂直的判定定理得到结论；（3）先通过等体积法求出点C到平面ABD的距离，进而根据线面角的定义求出线面角的正弦值.【详解】（1）由题意，BCD是以 C 为直角，直角边边长为 2 的等腰三角形，ABD是边长为2 2的正三角形.如图，取BD的中点E，连接,AE CE，由,ABAD CBCD，得：,AEBD CEBD ACE就是二面角ABDC的平面角，3cos3AEC.在ACE中，易得62AECE，由余弦定理：222+-2c
42、os4ACAECEAE CEAED 3cos3ACE，2AC.（2）由2 2ABADBD，2ACCDBC,222+ACBCAB，222+ACCDAD,009090ACBACD，,ACBC ACCD,又BCCDC AC平面BCD（3）设点C到平面ABD的距离为h，CABDA BCDVV 11112 22 2sin602 2 23232h ,2 33h.于是AC与平面ABD所成角的正弦为3sin3hAC 8（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是A1D1和 CC1的中点.（1）求异面直线 EF与 AB 所成角的余弦值；（2）
43、求异面直线 EF与 AB 之间的距离（3）在棱 BB1上是否存在一点 P，使得二面角 P-AC-B 的大小为 30?若存在，求出 BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）63；（2）3 22；（3）存在，63BP.【分析】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可；（3）假设存在，利用二面角 P-AC-B的大小为 30 求解即可.【详解】（1）取BC 中点G，连结EG，如图，又E为A D 中点，/EGA BAB，连结GF，则FEG或其补角即为异面直线EF与AB所成角，F为CC中点，正方体边长为 2，2EGA B ，22212
44、16EF，6cos3EGFEGEF，异面直线EF与AB所成角的余弦值为63（2）因为/EG AB，所以异面直线 EF 与 AB 之间的距离即为直线AB与平面EFG间的距离，即点 B与平面EFG的距离，连接BC，交FG于M,因为/FG BC,所以BMGF，又,EGBM EGFGG,所以BM 平面EFG,即BM为点 B 到平面EFG的距离.因为2212222 2,22BCMCGF,所以3 22BMBCMC，即异面直线 EF与 AB之间的距离为3 22.（3）假设棱 BB1上存在一点 P 满足题意，连接,AC BD交于O，连接PO,所以BOP为二面角PACB的平面角，设BPx，2BO，tantan3
45、0BPBOPBO 即332x，所以63x，故当存在BP长为63时，二面角PACB的大小为30 题型四：由二面角大小求异面直线所成的角 一、填空题 1（2021上海闵行中学高二阶段练习）已知二面角l 的大小为140，直线,a b分别在平面,内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为_.【答案】40【分析】根据二面角的定义可得答案.【详解】因为二面角l 的大小为140，直线,a b分别在平面,内且都垂直于棱l，所以a与b所成角的大小为40 故答案为：40 二、解答题 2（2021上海华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO的底面圆半径1OA，母线3SA.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇
46、形的面积；(2)如图，半平面SOA与半平面SOP所成二面角PSOA大小为120，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值.【答案】(1)体积为2 23，侧面展开图扇形的面积为3.(2)7 318【分析】（1）利用锥体的体积公式以及扇形的面积公式可求得结果；（2）取OP的中点E，连接AE、ME，分析可知异面直线PS与AM所成的角为AME或其补角，计算出AME三边边长，利用余弦定理可求得结果.(1)解：由题意可知，222 2SOSAOA，圆锥SO的体积为212 233VOASO，该圆锥的侧面展开图扇形的面积为3SOASA.(2)解：在圆锥SO中，SO 平面AOP，AO、PO 平面AO
47、P，SOAO，SOPO，所以，二面角PSOA的平面角为120AOP，取OP的中点E，连接AE、ME，E、M分别为PO、SO的中点，则/ME PS且1322MEPS，所以，异面直线PS与AM所成的角为AME或其补角，3SA，1OA，则222 2SOSAAO，223AMAOOM，在AOE中，12OE，1OA，120AOE，由余弦定理可得2272cos1202AEAOOEAO OE，由余弦定理可得2227 3cos218AMMEAEAMEAM ME.因此，异面直线AM与PS所成角的余弦值为7 318.一、单选题 1（2021上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为4，侧棱与底面所成角的余弦
48、值为（）A55 B2 55 C33 D63【答案】B【分析】延长侧棱交于一点P,三棱锥PABC为正三棱锥，作PO 底面ABC，根据PMO即为侧面与底面所成角，PAO即为侧棱与底面所成角，利用边长计算即可.【详解】巩固提升 如图所示，三棱台为ABCDEF,延长侧棱交于一点P,则三棱锥PABC为正三棱锥，设底面边长为a，作PO 底面ABC，则O为底面中心，所以36OMa，易知PMO即为侧面与底面所成角，所以4PMO，所以36POOMa，由PO 底面ABC，可知PAO即为侧棱与底面所成角，所以316tan2233aPOPOPAOAOOMa，所以22 5cos55PAO.故选：B.2（2021上海奉贤
49、区致远高级中学高二期中）已知四棱锥 SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE与 BC 所成的角为 1，SE与平面 ABCD所成的角为 2，二面角 SABC的平面角为 3，则（）A123 B321 C132 D231【答案】D【分析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，M为 AB中点，过 E作 BC的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O作 ON垂直 EF 于 N，由 SO垂直于底面 ABCD，得到123,SENSEOSMO求解.【详解】如图所示：设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于
50、F，过 O 作 ON垂直 EF于 N，连接 SO，SN，SE，SM，OM，OE，则 SO垂直于底面 ABCD，OM垂直于 AB，因此123,SENSEOSMO 从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM 因为SNSOEOOM，所以132tantantan,即132，故选：D.3（2021上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C上有一个小孔E，E点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C与桌面所成角的正切值为（）A55