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1、均值不等式应用均值不等式应用a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅当a b时取“=”）2a b*2.(1)若a,b R，则）ab(2)若a,b R，则a b 2 ab（当且仅当a b时取“=”222a b(当且仅当(3)若a,b R，则ab）a b时取“=”2*23.若x 0，则x1）2(当且仅当x 1时取“=”x1若x 0，则x 2(当且仅当x 1时取“=”）x若x 0，则x1 2即x1 2或x1-2(当且仅当a b时取“=”）xxx4.若ab 0，则ab 2(当且仅当a b时取“=”）ba若ab 0，则ababab）2即2或-2(当且仅当a b时取“=”
2、bababaa b2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当a b时取“=”）)22(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域112（1）y3x 2（2）yx2xx12解：(1)y3x 222x1 23x 26 值域为6，+）2x1x2；x1x=2x1(2)当 x0 时，yx2x11当 x0 时，yx=（x）2xx值域为（，22，+）解题技
3、巧技巧一：凑项例已知x.5，求函数y 4x21的最大值。44x5解：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5511x,54x 0，y 4x2 54x3 23144x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1.当时，求y x(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可。当，即
4、x2 时取等号当 x2 时，y x(82x)的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0 x 解：0 x 32x 03，求函数y 4x(3 2x)的最大值。23229 2x 3 2xy 4x(3 2x)22x(3 2x)2 22当且仅当2x 3 2x,即x 技巧三：分离330,时等号成立。42x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时，y 2（x1)45 9（当且仅当 x1 时取“”号）。x1技巧四：换元解析二：本题看似无
5、法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当，即 t=时，y 2 t5 9（当 t=2 即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)A B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g(x).技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)x例：求函数y a的单调性。xx25x 42的值域。2解：令x24 t(t 2)，则y x 5x24x24 1 t (t 2)t
6、x241因t 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为y t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 所以，所求函数的值域为,。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.1t1t1t5。252x23x1,(x 0)（1）y x（2）y 2x1,x 3x3(3)y 2sin x1,x(0,)sin x2已知0 x1，求函数y30 x x(1x)的最大值.；2，求函数y x(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足a b 2，则3 3的最小值是.ab分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3 3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解
7、：3 和3都是正数，3 32 3a3b 2 3ab 6ababab当3 3时等号成立，由a b 2及3 3得a b 1即当a b 1时，3 3的最小值是 6ababab11变式：若log4xlog4y 2，求的最小值.并求 x，y 的值xy技巧六：整体代换.多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值。xy92 xy 12故x ymin12。xy19错解：x 0,y 0，且1，x y 19x y 2xyxy错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在19 29等号成立xyxy条件是19即y
8、9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列xy出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。19正解：x 0,y 0,1，xy 19 y9xx y x y10 61016xyxy当且仅当y9x时，上式等号成立，xy19又1，可得x 4,y 12时，x ymin16。xy变式：（1）若x,y R且2x y 1，求11的最小值xy(2)已知a,b,x,y R且ab1，求x xyy的最小值技巧七y2已知 x，y 为正实数，且 x 1，求 x1y的最大值.22 2a b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。2122同时还应化简1y中 y
9、 前面的系数为，21y22 x2 2 2 2 2x1yx21y22 2下面将 x，1y分别看成两个因式：22.x1y22 2x(21y2 )222 2 2y1x 22324 2 2即 x1y2 x技巧八：21y322421已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b302b2 b 3
10、0b法一：a，abbb1b1b1由 a0 得，0b152t 34t3116令 tb+1，1t16，ab2（t）34tt16t2t168t22t1ab18y当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2ba2b22 ab30ab22 ab令 uab则 u 22 u300，52 u32ab 32，ab18，1y18点评：本题考查不等式2a bab（a,b R）的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2（a,b R）式ab a2b30出发求得ab的围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a bab（a,b R），这样将已知条件转换为含ab的不等式，
11、进而解得ab的围.2变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方.5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W3x 2y 的最值.aba b解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x 2y 2（3x）（2y）222 2 23x2y 25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W 3x2y23x 2y 1023x 2y 10(3x)(2y)10(3x2y)20W20 25变式:求函数y 2x 152x(1 x
12、5)的最大值。解析：注意到2x1与52x的和为定值。22222y2(2x 152x)2 4 2(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y 0，所以0 y 2 2当且仅当2x1=52x，即x 3时取等号。故ymax 2 2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 11118abc1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：
13、(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、b、cR，且abc 1。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又11abc2 bc，可由此变形入手。1aaaa解：a、b、cR，abc 1。12 ac111abc2 bc2 ab。同理1，1。1bbaaaacc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab。当且仅当时取等号。a b c 81113abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值围。xy.解：令x y k,x 0,y 0,191，xyx y9x9y1.kxky10y9x1kkxky1103 2。kkk 16，m,16应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a b 1,P lgalgb,Q 1a b(lga lgb),R lg()，则P,Q,R的大小关系是.22分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lga lgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab Q22RQP。.