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1、2023届高考数学专项练习导数解密36专题05含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”考点一导主一次型【例
2、题选讲】例1已知函数f(x)xalnx(aR)，讨论函数f(x)的单调性解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，得xa，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，x(0，a)时，f(x)0，综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【对点训练】1已知函数f(x)alnxax3(aR)讨论函数f(x)的单调性1解析函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得x1，当a0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0)，当a0时，f(x)a0，
3、即函数f(x)在(0，)上单调递增1当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需
4、讨论判别式0和0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是有没有在不在例2(2021全国乙节选)已知函数f(x)x3x2ax1讨论f(x)的单调性解析由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)243a4(13a)当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0，则xx1或xx2；令f(x)0，则x1xx2所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当a0讨论f(x)的单调性4解析由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28
5、.当0，即0a0都有f(x)0此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2 时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，试讨论函数f(x)的单调性 解析因为f(x)ln xax2(2a1)x，所以f(x)由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0得x1或x，若，由f(x)0得x1或0x，由f(x)0得x1，即0a0得x或0x1，由f(x)0得1x，即函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，则在(0，)上恒有f(x)0，即函数f(x)在(0，)上
6、单调递增综上可得，当0a时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增例6已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间 解析根据题意可得，当a0时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减5当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为eax0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x(1)当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增(2)当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递
7、增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当a0，试讨论函数yf(x)的单调性6解析函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1)当0a1，x(0，1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减7已知函数f(x)x2eax11a(aR)，求函数f(x)的单调区间7解析f(x)x2
8、eax11a(aR)的定义域为(，)，f(x)x(ax2)eax1 当a0时，x0，f(x)0；x0，f(x)0时，x，f(x)0；x，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，(0，)，单调递减区间为当a0时，x(，0)，f(x)0；x，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；(2)当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；8(3)当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在()上单调递增9已知函数f(x)lnx，其中常数k0，讨论f(x)在(0，2)上的单调性9解因为f(x)1(x0，k0)当0kk0，且2，所以当x(0，k)时，f
9、(x)0，所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；当k2时，k2，f(x)2时，0，所以当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数综上可知，当0k2时，f(x)在上是减函数，在上是增函数10已知函数f(x)ln(x1)，且1a1当12a30，即1a时，当1x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当2a3x0时，f(x)0，即a2时，当1x2a3时，f(x)0，则f(x)在(1，0)，(2a3，)上单调递增当0x2a3时，f(x)0，则f(x)在(0，2a3)上单调递减9综上，当1a时，f(x)在(1，2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3，0)上单调
10、递减；当a时，f(x)在(1，)上单调递增；当a0，则由f(x)0，得xln a当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln当x时，f(x)0；故f(x)在上单调递减，在上单调递增例11已知f(x)(x2ax)lnxx22ax，求f(x)的单调递减区间解析易得f(x)的定义域为(0，)，f(x)(2xa)ln xxa3x2a(2xa)ln x(2xa)(2xa)(lnx1)，令f(x)0得x或xe当a0时，因为x0，所以2xa0，令f(x)0得xe，所以f(x)的单调递减区间为(0，e)当a0时，若e，即0a
11、2e，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，当x(e，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为；若e，即a2e，当x(0，)时，f(x)0恒成立，f(x)没有单调递减区间；若e，即a2e，当x(0，e)时，f(x)0，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，10所以f(x)的单调递减区间为综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当0a2e时，f(x)的单调递减区间为；当a2e时，f(x)无单调递减区间；当a2e时，f(x)的单调递减区间为【对点训练】11已知函数f(x)exax1的定义域为(0，)，讨论函数f(x)的单调性11解析f(x)exax1，f(x)exa易知f
12、(x)exa在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xln a，当0xln a时，f(x)0，当xln a时，f(x)0，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增12已知函数f(x)(x22ax)ln xx22ax(aR)(1)若a0，求f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的单调区间12解析(1)若a0，f(x)x2ln xx2，定义域为(0，)，f(x)2xln xx2x2xln x，由
13、f(x)0可得x1，由f(x)0可得0x1，所以f(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)(2)f(x)(2x2a)ln x(x22ax)x2a(2x2a)ln x，当a0时，2x2a0，由f(x)0可得x1，由f(x)0可得0x1，此时f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当0a1时，由f(x)0可得0xa或x1，由f(x)0可得ax1，此时f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当a1时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(0，)；当a1时，由f(x)0可得0x1或xa，由f(x)0可得
14、1xa，此时f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)综上所述：当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)；当0a1时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；11当a1时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，)考点四导主正余型【例题选讲】例12(2017山东理)已知函数f(x)x22cosx，g(x)ex(cosxsinx2x2)，其中e是自然对数的底数(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)g(x)a
15、f (x)(aR)的单调性解析(1)g(x)(ex)(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2)ex(cos xsin x2x2sin xcos x2)2ex(xsin x)记p(x)xsin x，则p(x)1cos x因为cos x1，1，所以p(x)1cos x0，所以函数p(x)在R上单调递增而p(0)0sin 00，所以当x0时，p(x)0，g(x)0时，p(x)0，g(x)0，函数g(x)单调递增综上，函数g(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)因为h(x)g(x)af (x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)，所以h(
16、x)2ex(xsin x)a(2x2sin x)2(xsin x)(exa)由(1)知，当x0时，p(x)xsin x0；当x0时，p(x)xsin x0，所以x0时，h(x)0，函数h(x)单调递增；x0时，h(x)0时，令h(x)2(xsin x)(exa)0，解得x1ln a，x20若0a1，则ln a0，所以x(，ln a)时，exa0，函数h(x)单调递增；x(ln a，0)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数h(x)单调递增若a1，则ln a0，所以xR时，h(x)0，函数h(x)在R上单调递增若a1，则ln a0，所以x(，0)时，exa0，函数h(x)单调递增；x(0，l
17、n a)时，exa0，h(x)0，h(x)0，函数h(x)单调递增综上所述，当a0时，函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当0a1时，函数h(x)在(，0)，(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减【对点训练】1213(2017山东)已知函数f(x)x3ax2，其中参数aR(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cosxsinx，讨论g(x)的单调性13解析(1)由题意得f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3
18、(x3)，即3xy90(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增当a0时，g(x)(xa)(
19、xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减专题06构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题导数是函数单调性的延
20、伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上构造函数的主要步骤：(
21、1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题考点一构造F(x)xnf(x)(nZ，且n0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)xnf(x)，则F(x)nxn1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)；(2)若F(x)，则F(x)由此得到结论：(1)出现nf(x)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)；(2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x)【例题选讲】例1(1)已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是(
22、)A(0，1)B(1，)C(1，2)D(2，)答案D解析因为f(x)xf(x)，所以f(x)xf(x)0，即(xf(x)(x1)f(x21)，可得(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以解得x2选D(2)已知函数f(x)是定义在区间(0，)上的可导函数，其导函数为f(x)，且满足xf(x)2f(x)0，则不等式的解集为()Ax|x2 016Bx|x2 016Cx|2 016x0Dx|2 021x2 016答案D解析构造函数g(x)x2f(x)，则g(x)x2f(x)xf(x)当x0时，2f(x)xf(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增不等式，当x2 0210，即x2 021
23、时，(x2 021)2f(x2 021)52f(5)，即g(x2 021)g(5)，00时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)答案A解析设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)，故选A(4)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0，且f(4)0，则不等式xf(x)0的解集为_答案(，4)(0，4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)
24、f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，可以推出当x0时，F(x)0，F(x)在(，0)上单调递减f(x)为偶函数，x为奇函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递减根据f(4)0可得F(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)0的解集为(，4)(0，4)2(5)已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A4f(1)f(2)B4f(1)f(2)Cf(1)4f(2)Df(1)4f(2)答案B解析令g(x)(x0)，则g(x)，由不等式xf(x)2f(x)恒成立知g(x)0，即g
25、(x)在(0，)是减函数，g(1)g(2)，即，即4f(1)f(2)，故选B(6)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()AabcBbcaCacbDcab答案D解析设g(x)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，则g(x)0，即函数g(x)在x(0，)时为减函数由函数yf(x)为奇函数知f(3)f(3)，则cag(e)，bg(ln 2)，cg(3)且3eln 2，g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D【对点训练】1设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且2f
26、(x)xf(x)x2，则不等式(x2 021)2f(x2 021)4f(2)0的解集为()A(，2 021)B(，2 023)C(2 023，0)D(2 021，0)1答案B解析由2f(x)xf(x)x2，结合x(，0)得2xf(x)x2f(x)x30，故x2f(x)0可化为(x2 021)2f(x2 021)(2)2f(2)，所以解得x2 023故选B2设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(2)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_2答案(2，0)(2，)解析令g(x)，则g(x)0，x(0，)所以函数g(x)在(0，)上单调递增又g(x)g(x)，则g(x)是偶函数，g(2)0g(2)则f(x)xg(x)0或解得x2或2x0，故不等式f(x)0的解集为(2,0)(2，)3已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_3答案(1，0)(0，1)解析构造F(x)，则F(x)，当x