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1、初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就 2022 年上海市数学中考第 23 题第 2 问进行讲评。中考题中考题如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片ABCD，点 P为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，
2、折痕为 EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在 AD 边上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由1.1.审题分析审题分析本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突
3、破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是 0.19。2.2.解题过程解题过程同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。思路与解法一：思路与解法一：从线段 AD 上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件），可将条件集中到EAP 与PDH 上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。解法如下：第 1
4、页 共 8 页AEPDHGFCB图1答：PDH的周长不变，为定值 8证明：设BE a,则AE 4a，有折叠可知PE BE a，AP 2 2a 4,PD 4 2 2a 4，EPG 900,APE DPH 900.又PHD DPH 900,APE PHD又A D 900,AEPPDH.AEP的周长AEPDH的周长PD即4 2 2a 44a.PDH的周长42 2a 4328a 8.4 aPDH的周长=评析评析这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。思路与解法二：思路与解法二：求PDH 的周长，因为 PD、DH 都在
5、正方形的边上，所以需要将 PH 转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。解法如下：答：PDH 的周长不变，为定值 8证明：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q由（1）知APB=BPH，又A BQP 900,BP=BP，ABPQBPAP=QP,AB=BQ又 AB=BC，BC=BQ又C BQH 90,BH=BH，BCHBQHCH=QHPDH 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.评析评析这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线段PH PQ PH AP CH,把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未
6、知为已知，使问题迎刃而解。3.3.总结提升：总结提升：在原题的条件下，还可得以下结论：求证：PBH 450；求证：SPBH SABP SBCH；当PH m时，则SDHP16 4m。证明略。评析评析拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能第 2 页 共 8 页0AEPQDHGFCB图2力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。逆向探究：逆向探究：如图 1，现有一张边长为 4 的正方形ABCD纸片，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG
7、交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BHDHP的周长为 8.求BPH面积的最小值。解：设BPH的面积为S,PD x,DH y,则AP 4 x,CH 4 y,S正方形ABCD 2SBPH SDHP.16 2S 1xy.2HP AP CH,HP (4 x)(4 y)8 x y.由勾股定理得HP2 DP2 DH2,即(8 x y)2 x2 y2.整理得y 8x 32.x 818x 3216 2S x.2x 8化简得2x2(S 16)x (64 8S)0.(S 16)28(64 8S)0.S232S 256 0.S 16 2 16或S 16 2 16(舍去)。S 16 2 16.S的最小值为1
8、6 2 16.评析评析加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题
9、，象学生一样，不断追求新知，完善自己。第 3 页 共 8 页说题稿说题稿原题 已知：如图，AD 垂直平分 BC，D 为垂足，DMAC，DNAB，M，N 分别为垂足，求证：DM=DNMMC CA AN ND DB B一、说背景与价值一、说背景与价值本题选自八年级上第一章三角形的初步知识之1.5 三角形全等的判定 4的 课内练习2。解决此题涉及的知识有垂直的定义，垂直平分线的定义及性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，三角形的面积等。本习题是在学生学习三角形全等的判定定理“AAS”，及角平分线的性质的基础上给出的。课本设置此练习的目的旨在巩固三角形全等的判定及角平分线的性质。大部分学生想到利用三
10、角形全等，然而解题的方法较多，需要学生发散思维，充分联系已知与求证，综合运用已学的知识来解决，在众多的方法中进行选优，从而获得一定的解题经验。二、说教学与改进二、说教学与改进学生已经学会了三角形全等的判定定理“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,对于证明相等的线段，基本上具备了解决此题的知识储备和技能。而学生往往会思维定势，联想到证明三角形全等，而忽视了此时证明的是垂线段这个重要信息，缺乏相应的想象。学生可能的做法：1、先证明ADCADB 得B=C，再证明DCMDBN，得到 DM=DN；2、先证明ADCADB 得CAD=BAD，再证明DAMDAN，得到 DM=DN；3、先证明ADCA
11、DB 得 AD 是角平分线，再利用角平分线的性质，得到DM=DN；4、先由中垂线的性质证明AB=AC，再由三角形的中线将三角形的面积二等分，得SADBSADC，由 DMAC，DNAB，得到 DM=DN。在原先的教学中，让学生思考后回答，发现大部分学生是第 1,2 种解法，很少出现第 3,4 的解法，然后再追问，还有其他的方法吗？能利用今天学过的知识来解决吗？能利用角平分线的性质吗？终于有了第 3 种方法，可是学生缺乏想象，这样的教学效果不好。针对很少学生想出方法 3，方法 4，以及充分发挥这道题目的价值，我在第二节课时对教学进行了如下的改进。首先是讲解角平分线的性质时做好铺垫，在讲解角平分线时
12、，引导学生理解角平分线上的点到角两边的距离相等，这个距离指的是垂线段的长度。以及应用角平分线性质时第 4 页 共 8 页具备 3 个条件：角平分线，两条垂线段。其次在讲解时让学生说出各自的解法，当大部分学生出现前两种方法时，进行如下的引导启发。引导关注条件，所求证的DM=DN，与它相关的条件是什么？DMAC，DNAB，发现所证明的两条线段与众不同，它们是垂线段，再启发学生对垂线段展开联想。由“垂线段”能联想到什么？这时学生积极思考，而且有有惊喜。有了刚才的铺垫和现在的启发，有学生联想到了刚学过的角平分线的性质。问题转化为证明 AD 是BAC 的平分线。惊喜的是有的学生在启发引导下，由垂线段联想
13、到了三角形的高，进而联想到三角形的面积。由中线将三角形的面积二等分得SADBSADC，要证 DM=DN，只需证明 AB=AC。通过此题，有什么收获？对于这几种方法，你喜欢哪一种？最欣赏哪一种？师生共同提炼：1、证明相等的线段，一般可通过证明两条线段所在的三角形全等。2、对于证明垂线段相等时，可联想到角平分线的性质或利用三角形面积等。3、对解题方法进行比较，让学生从中选优，体现最优化思想。有些学生喜欢利用三角形全等，因为他最拿手，有些学生喜欢利用角平分线的性质，因为它最直接，有些学生喜欢利用等积法，因为解法巧妙，而在几何教学中我们也经常利用等积法，如可由面积相等这个等量关系来解决问题，也可以利用
14、面积相等进行等积变形，改变图形的形状以便于求解，是个非常巧妙的方法。所以我对此进行有关计算，推理的拓展与命题。设计意图：让学生养成解题后反思的习惯，促进学生会反思，形成一定的解题经验，让学生选优体现解题方法的优化。三、说拓展与命题三、说拓展与命题拓展 1已知在 RtABD 中，AD=4，BD=3，DNAB，N 为垂足，则 DN=_设计意图：在原题的基础上拓展，渗透等积法。MMC CA AN ND DD DA AB BN NB B拓展 2已知：如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 为边 BC 上一点，DMAC，DNAB，M，N 分别为垂足，随着点 D 在线段上运动，DM+DN 的值是
15、否发生改变；若改变，说出变化的情况，若不改变，求出它的值。第 5 页 共 8 页MMC CA AD DN NB B在原题的基础上改变点 D 的位置，还是在 BC 上，但是动点，判断这两条垂线段的和会不会改变？此时学生很难想到通过三角形的全等，但会“截长补短”的学生可能会解决；而利用等积法来解决，是非常巧妙的做法。实质上所求的垂线段的和就是一腰上的高。设计意图：改变条件，使原来的点变成边上的动点，此时学生很难想到通过三角形的全等来解决问题，而利用等积法来解决，从而发展学生解决问题的能力。.拓展3 某数学兴趣小组组织了以“等积变形”为的主题的课题研究。第1小组发现：如图（1），点A、点B在直线l1
16、上，点C、点D在直线l2上，若l1l2，则SABC=SABD；反之，若SABC=SABD，则l1l2.第2小组发现：k如图（2），点P是反比例函数y=上任意一点，过点Px作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值k。请利用上述结论解决下列问题：C CD Dl l1 1N NP Pl l2 2A AB B显示点O OMM还原动画点（1）如图（3）,点 C、D 是半圆上的三等分点，圆O 的半径是 2，则阴影部分的面积是_.（2）如 图（4）,四 边 形ABCD 是 正 方 形，圆A的 半 径 是2，交 边AD 于 点E，则SCEF_.第 6 页 共 8 页（3）如图（5）,点 A
17、，B 在反比例函数y D DC CD DE E2的图象上，则SOAB_.xC CA A（1 1,2,2）E EA AO O还原移动点B BF F显示辅助线隐藏三角形还原等积变形B B（4 4,0.5,0.5）D D显示三角形隐藏四边形A AB BO OC C隐藏对象隐藏三角形第一小组讨论的问题是常见的“同底等高”的两个三角形面积相等，反之成立，类似的有“等底同高”，“等底等高”。第二小组讨论的问题是反比例函数的几何意义，图象上的点与坐标轴围成的矩形面积不变。3 小题考查等积变形，第1 题在圆中求不规则图形面积，已经具有平行线，学生容易想到利用等积变形，将阴影图形转化为扇形；第2 题求三角形面积
18、，没有平行线，需要利用正方形对角线构造平行线，将SCEF转化为SAEF，此题也可运用割补法，等积变形显然更巧妙。第 3 题是求直角坐标系中斜放的三角形面积，利用反比例函数的几何意义，SAOCSBOD，则SAOES四边形CDBE。可将斜放的三角形等积变形为直角梯形，直接利用坐标的意义求解，体现出等积法的优越性。设计意图：将等积法进行研究，了解基本图形，渗透等积法，体验等积法的巧妙。拓展4 如图，ABC的顶点坐标分别为A（6，0），B（4，0），C（0，8），把 ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax210ax+c经过点C，顶点M在直线BC上（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D
19、的坐标；（10,8）（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（直线x=5,函数表达式为y=5x 4x+8）22（3）在抛物线上是否存在点P，使得 PBD与 PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由第 7 页 共 8 页D DC CA AO OB BMM考查动点产生的面积问题。由三角形面积相等，联想到“同底等高”，“等底同高”，“等底等高”。“同底等高”两个三角形可以以 PD 为底，则点 P 是 BC 的平行线与图象的交点;“等底同高”不存在；“等底等高”第一小题证明的菱形ABCD，CD=BD，可以分别以它们为底，等高联想到了BDC 的平分线，则点 P 是BDC 的平分线与
20、图象的交点。设计意图：通过此题，即联系了原题，又对原题中拓展的方法进行综合应用。命题说明：拓展 1 预计难度值 0.75，属于 a 级题，实测 0.75；拓展 2 预计难度值 0.6，属于 b 级题，实测 0.3，据了解部分学生对等积法不够了解；拓展 3 第 1 小题预计难度值 0.7，属于 b 级题，拓展 3 第 2 小题预计难度值 0.65，属于 b 级题，实测 0.7拓展 3 第 3 小题预计难度值 0.6，属于 b 级题，实测 0.65拓展 4 预计难度值 0.35，属于 c 级题，实测 0.2。等面积法是一种重要的数学解题方法。利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的数学思维能力，发展学生的数学能力，在数学解题教学中值得借鉴。第 8 页 共 8 页