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1、排列组合排列组合复习稳固复习稳固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方法，在第 1 类方法中有m1种不同的方法，在第 2 类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：2.分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1 m2 mn种不同的方法N m1m2mn种不同的方法分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件例 1.由 0,1,2,
2、3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C3然后排首位共有C4最后排其它位置共有3A411311C41A43C31由分步计数原理得C4C3A4 288练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有甲甲 乙乙丙丙 丁丁5
3、22A5A2A2 480种不同的排法例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,那么节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有A55种，454不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A6种A6例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,那么共有不同排法种数是：3A77/A344种方法，其余的
4、三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，那么共有A7种A7(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有方法。例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人8-1！种排法即7！CDEFGHBAABCDEFGHA6A44并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排
5、,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有5215A14种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有A5种,那么共有A4A4A5种A24种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有.例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有C5种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个奇数之间,这样的五
6、位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有22A22A2A2种排法 .242422种排法，再排小集团内部共有A2A22A2种排法，由分步计数原理共有例 10.有 10 个运发动名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9种分法。例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难,可用总体淘汰法
7、。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有3 个偶数的取法有C5,只含有 1 个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有C5C5种，符合条件的取法共有C5C5123C596312123C5。再淘汰和小于 10 的偶数共 9例 12.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解:分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，假设第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),那么C6C4C2中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF
8、,AB,CD)共有2223C C C/A种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。A364233222222十三十三.合理分类与分步策略合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5 人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员C5C3C4种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有112C3C4C52C52种。C52C
9、52种，由分类计数原理共有C32C32C522112例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的 3盏,但不能关掉相邻的 2盏或 3盏,也不能关掉两端的 2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有C5种例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C5种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实
10、际操作法，如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，那么 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有2C5种十六十六.分解与合成策略分解与合成策略例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113，依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取假设干个组成乘积，所有的偶因数为：C5练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共C8成358174对异面直线十七十
11、七.化归策略化归策略例 17.25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？.432212345C5C5C5C512 58,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方队中选 3 人的方法有C3C2C1种。再从 55 方阵选出 35 方队中选取 3 行 3 列有11133C2C1选法。C5C5选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有C53C53C3111例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解:N例 193人相互传
12、球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,那么不同的传球方式有 _54321 2A5 2A4 A3 A2 A1 297N 10例 20有红、黄、兰色的球各5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,那么共有多少种不同的取法解:红111223黄123121兰32121111121312231取法C5C4C5C4C5C4C52C3C5C3C5C2二十一：住店法策略二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店，五项冠军看作 5 名“客，每个“客有 7 种住宿法，由乘法原理得 7 种.5.