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1、奥数之工程问题奥数之工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。工程问题方法总结：一：基本数量关系：工效时间=工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。二：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例
2、分配三：休息请假：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。3.方程法四：周期工程休息与周期：休息与周期：已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。1.天数：近似天数，准确天数。2.列表确定工作天数。交替与周期：交替与周期：估算周期，注意顺序！注水与周期：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。五：工效变化。六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。一、用“组合法”解工程问题一、用“组合法”解工程问题专题简析：专题简析：在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分
3、散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。例题例题 1 1。一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能完成工程的完成全部工程需要几天？【思路导航思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是7，乙队单独301，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，15然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量而求出甲队的工作效率。
4、所以171 1【（3）（53）】20（天）153015答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。边讲边练：边讲边练：1、师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由徒弟接着做 1 天，共完成任务的2、3、某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的能完成全部工程的4、5、甲、乙两队合做，20 天可完成一项工程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天，还剩这项工程8的。甲、乙两队独做各需几天完成？156、例题例题 2 2：1一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这项工程的。2现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做
5、。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？111【思路导航思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（3）2；再由条件“做完后发现两段2128所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。（1）乙队每天完成这项工程的5。如果这项工程由甲队独做 2 天，再由乙队独做 3 天，243。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？207113，从30153013。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？24111（3）22128（2）两段时间一共是11 1（2+）26（天）812答：两段时间一共是 6 天。边讲边练：边讲边练：1、一项工程，甲队独做 15
6、 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程的8。现由甲、乙15两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2、3、一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3天。乙独做这项工程要几天完成？4、某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？例题例题 3 3：移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽
7、了 3 小时后，又由弟弟栽了1 小时，还剩总棵数的【思路导航思路导航】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽了 1 小时后，哥哥又独做了 2 小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。哥哥每小时栽总数的几分之几1113（11）（31）16832一共要移栽的西红柿苗多少棵 7【313（）】112（棵）3283211没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽 7 棵。共要移栽西红柿苗多少棵？16答：共要移栽西红柿苗 112 棵。边讲边练：边讲边练：1、加工一批机器零件，师、徒合做 12 小时可以完成。先由师傅加工 8 小时，接着再由徒弟加工 6 小时，3共加工了这批零件
8、的。已知师傅每小时比徒弟多做 10 个零件。这批零件共有多少个？52、3、修一条公路，甲、乙两队合做 6 天可以完成。先由甲队修 5 天，再由乙队修 3 天，还剩这条公路的没有修。已知甲队每天比乙队多修 20 米。这条公路全长多少米？4、3105、修一段公路，甲队独修要 40 天，乙队独修要用 24 天。两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路全长多少米？例题例题 4 4：一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完22成这项工作的；如果甲、乙合做3 小时后，丙做6 小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，3
9、3需几小时完成？2【思路导航【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作 432小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用3“组合法”再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几211（2）（62）3612丙每小时完成这项工程的几分之几211（3）（63）3618甲、丙合做需完成的时间为：1（111+）7（小时）121851答：甲、丙合做完成需要 7小时。5边讲边练：边讲边练：1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合做2 小时，可以完成这项工作的1311；
10、如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小时，可以完成这项工作的。这项工作1818如果由甲、丙合做需几小时完成？2、3、一项工程，甲、乙合做6 天可以完成，乙、丙合做10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？4、一项工程，甲、乙两队合做10 天完成，乙、丙两队合做8 天完成。现在甲、乙、丙三队合做4 天后，1余下的工程由乙队独做 5天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？25、6、一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时
11、才能完成？例题例题 5 5：一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的【1（111+）】（4+7）243040三队合修完成时间为 1（111+）10（天）243040答：10 天可以完成。边讲边练：边讲边练：1、一件工作，甲单独做
12、12 小时完成。现在甲、乙合做4 小时后，乙又用 6 小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2、一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖40 天完成。现在两队合挖 8 天，剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？3、一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天可以完成？4、一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲队单独做 24 天后，乙队加入，两队又合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队
13、独做这项工程需要多少天？二、特殊工程问题特殊工程问题专题简析专题简析：有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。例例 1 1：修一条路，甲队每天修 8 小时，5 天完成；乙队每天修 10 小时，6 天完成。两队合作，每天工作 6小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“甲队 40 小时完成”，后两个条件综合为“乙队 60 小时完成”。则 111+6=4（天）5810611或 1（+）6=4（天）58106答：4 天可以完成。边讲边练：1、修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙队每天修
14、8 小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？2、一项工作，甲组3 人 8 天能完成，乙组4 人 7 天也能完成。现在由甲组2 人和乙组 7 人合作，多少天可以完成？3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可以运完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、3 辆马车和 7 辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？例例 2 2：有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10 小时，乙需要12 小时，丙需要15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B
15、 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”三人同时搬运了111 2（+）=8（小时）101215丙帮甲搬了（1-118）=3（小时）1015丙帮乙搬了 8-3=5（小时）答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。边讲边练：1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的11，徒弟每小时加工自己任务的。1015师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2、3、有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货
16、物，甲需要 18 小时，乙需要 12 小时，丙需要 9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？54、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小时加工 12 个零件，甲单8独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？5、例例 3 3：一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作由甲先做了几天？解法一解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。解解：设甲做了 x 天
17、，则乙做了（14-x）天。11 x+（14-x）=12012 X=5解法二：解法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是天的能够做量比甲每天的工作两哦了练习练习 3 3：1、一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6 天，甲先做了几天？2、一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙队单独做需 40 天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用 35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？3、一项工程，甲独做要 50 天，乙独做要 75 天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用 40 天完成。
18、求乙休息的天数。例例 4 4：甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工 3 天，因此，两人共用了 10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？11114，比总工作量多了14-1=，乙每1212611111-=，因此甲做了=5（天）122030630解法一：解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。17甲、乙同时做的工作量为（10-3）8871乙单独做的工作量为 18811乙的工作效率为3=824111甲的工作效率为82412甲单独做需要的天数为 1112（天）12解法二：解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人
19、多做了（10-8=）2 天。由此可知，甲3 天的工作量相当于这批零件的 28=1/43（10-8）8=12（天）或 38（10-8）=12（天）答：甲单独做需要 12 天完成。练习练习 4 4：1、甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假5 天，因此共用 15 天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做 30 件上衣，也可做 48 条裤子。如果先做 20 件上衣后，还可以做多少条裤子？3、一项工程，甲、乙合作6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5 小时，因此，经过7.5 小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？4、一项工程，甲先
20、单独做 2 天，然后与乙合作 7 天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是 3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？例例 5 5：放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，15 小时放满；如果同时开放号阀门，12 小时可以放满；如果同时开放号阀门，8 小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现 3 次，号阀门各出现 2 次。如果11111+再加一个，则是五个阀门各放 3 小时的总水量。15101288111111+）3=13=6（小时）151012882 1（边讲边练：1、完成一件工作，甲、乙合作需
21、 15 小时，乙、丙两人合作需 12 小时，甲、丙合作需 10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？112、一项工程，甲干 3 天，乙干 5 天可以完成，甲干 5 天、乙干 3 天可完成。甲、乙合干需几天23完成？3、4、完成一件工作，甲、乙两人合作需 20 小时，乙、丙两人合作需 28 小时，丙、丁两人合作需 30小时。甲、丁两人合作需几小时？5、一项工程，由一、二、三小队合干需18 天完成，由二、三、四小队合干需15 天完成，由一、二、四小队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需 20 天完成。由第一小队单独干需要多少天？三、三、周期工程问题周期工程问题专题简析专题简析：周期工程
22、问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。例例 1 1：一项工程，甲单独做需要 12 小时，乙单独做需要 18 小时。若甲做 1 小时后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。需循环的次数为：1（1136+）=7（次）12185111+）7=121836111=（小时）361237 个循环后剩下的工作量是：1-（余下的工作
23、两还需甲做的时间为：11完成任务共用的时间为：27+=14（小时）331答：完成任务时需共用 14小时。3边讲边练：边讲边练：1、一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 10 小时完成。如果按甲、乙；甲、乙的顺序交替工作，每次 1 小时，需要多少小时才能完成？2、3、一部书稿，甲单独打字要 14 小时，乙单独打字要 20 小时。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接替甲打1 小时；再由甲接替乙打 1 小时两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？4、5、一项工作，甲单独完成要 9 小时，乙单独完成要 12 小时。如果按照甲、乙；甲、乙的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小时，完成这项工程
24、的 2/3 共要多少时间？6、2例例 2 2：一项工程，甲、乙合作 26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数3天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙甲1乙甲乙甲乙甲乙甲2竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的 2 倍。221甲每天能做这项工程
25、的 126=31+240甲单独做完成的时间 11=40（天）40答：这项工程由甲单独做需要 40 天才能完成。边讲边练：边讲边练：1、一项工程，乙单独做 20 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？2、一项工程，甲单独做 6 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数1天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才能完成。这项工3程由甲、乙合作合作几天可以完成？3、34、一项工程，甲、乙合作 12小时可
26、以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也51恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小3时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？5、6、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管 5 小时灌满一池水，单开排水管 3 小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水的顺序轮流依次各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？7、例例 3 3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个不能完成。已知甲
27、、乙工作效率的比是 5：3。甲、乙每天各做多少个？由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙剩 60 个竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的 60 个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：60（5-3）5=150（个）乙每天做的个数为：60（5-3）3=90（个）答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。边讲边练：边讲边练：1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数
28、天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84 个不能完成。已知师、徒工作效率的比是 7：4。师、徒二人每天各做多少个？2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二25天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需 2天就可以完成。现在，58由乙独做需要几天才能完成？3、4、红星机械厂有 1080 个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩
29、60 个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需 3 小时 36 分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？例例 4 4：打印一部稿件，甲单独打要 12 小时完成，乙单独打要 15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？根据已知条件，我们可以把 6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了 3 小时。每循环一次，他们共完成全部工程的（总工作量里包含几个 9/20：1119+）312152092=22099122010甲、乙工作两个循环后
30、，剩下全工程的 1-由于111111，所以，求甲工作 1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）1012101215411打印这部稿件共需的时间为：62+1+=13（小时）441答：打印这部稿件共需 13小时。4边讲边练：边讲边练：1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开乙管，18 分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1 分钟，乙 2 分钟，甲 2 分钟，乙 1 分钟，甲 1 分钟，乙 2分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？2、3、一件工作，甲单独做，需 12 小时完成；乙单独做需 15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作 2
31、小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？4、5、一项工程，甲单独做要 50 天完工，乙单独做需 60 天完工。现在，自某年的 3 月 2 日两人一起开工，甲每工作 3 天则休息 1 天，乙每工作 5 天则休息一天，完成全部工程的6、52为几月几日？757、一项工程，甲工程队单独做完要 150 天，乙工程队单独做完需 180 天。两队合作时，甲队做 5 天，休息 2 天，乙队做 6 天，休息 1 天。完成这项工程要多少天？例例 5 5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮
32、做，恰好整数天完成1呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。3已知甲单独做 13 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3 的倍数余 1 或余 2。如果是3 的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是 3 的倍数余 1。三种轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲1乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙21丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙甲321212从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲丙=甲甲，又推出乙=甲；
33、与题中“三个工程队的32323工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是 3 的倍数余 2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙1乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲21丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙312由此推出：丙=甲，丙=乙23丙队每天做这项工程的乙队每天做这项工程的111 =13226123 =263521137+）=5（天）1326529甲、乙、丙合作完工需要的时间为 1（7答：甲、乙、丙合作要 5天完工。9边讲边练：边讲边练：1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果11按乙、丙、甲次序轮做
34、。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲34单独做 7 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？2、3、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按11乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单22独做 10 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？4、5、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢11感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次
35、序做，比原计划多用天。237已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需 13天可以完成，且 3 个工程队的工效各不相同。9这项工程由甲独做需要多少天才能完成？6、7、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管1需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管要4 小时，单开丁管要 6 小时。现知池内有池水，如果按甲、6乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开 1 小时，多长时间后水开始溢出水池？8、四、比例解工程四、比例解工程五、工资分配、最优配置型五、工资分配、最优配置型例题 1：甲乙丙三人合修一段围墙。甲乙合修 6 天修好围墙的11，乙丙合修两天
36、修好剩下围墙的，剩下34的三人又合修了 5 天才完成。三个人共得工资 3600 元，这三个人分别应分得多少元？边讲边练：边讲边练：建造一幢楼房，先要挖好地基，甲乙两个工程队在招标会上承诺：甲工程队 15 天完成，乙工程队 12 天完成。由于乙工程队承诺的天数较少，就让乙工程队施工，施工 3 天后，承建商感到时间还是慢，就又请乙工程队来参加，直到完工。承建商共支出 360000 元。合理分配，甲乙两个工程队各应领取多少元？例题 2：甲乙两人合干 AB 两项任务，甲独做 A 工程需 9 天，B 工程需 12 天，乙独做 A 工程需 3 天，B 工程需 15 天。至少几天能完成任务？边讲边练：边讲边
37、练：有甲乙两个工程，张三单独做完甲工程需要 12 天，单独做完乙工程需要 15 天，李四单独做完甲工程需要 8 天，单独做完乙工程需要 20 天。张三李四二人共同完成这两个工程最少需要多少天？例 3：一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天。如果两人合作，由于相互干扰，工作效率就会降低，甲只能完成原来的49，乙只能完成原来的。现在要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么510两人合作要多少天？六、工程问题的知识迁移与综合六、工程问题的知识迁移与综合打扫卫生，整理图书馆，手机充电，蜡烛燃烧都可以看作工程问题处理打扫卫生，整理图书馆，手机充电，蜡烛燃烧都可以看作工程问题处理例题
38、1、（一中）小明的妈妈给小明买了一个智能手机，这个手机插上充电器从没有电到充满电需 2 个小时，在非充电状态下持续玩游戏，该充满电的手机可以工作 6 个小时。有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩 10%的电了。于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了 1 个小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？例题 2：（2015 西分）一批零件，甲单独做 24 小时完成，乙单独做 30 小时完成。现在两人合作，为了提高工作进度，两人的工作效率各提高11。当完成任务的时，因为其他工作的影响，使得每小时少做 2135个零件，结果共用了 12 小时完成。则整个任务共有零件多
39、少个？边讲边练：1、甲乙两辆清洁车执行东西两成之间的公路清扫任务。甲车单独清扫要 10 小时，乙车单独清扫要 15 小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米，问东西两城相距多少千米？一、答案：一、答案：31练练 1 11【（）（31）】30 天2012135乙：1【（2）（32）】8 天2424131甲：1（）12 天24881乙：1【（18）（128）】60 天152011甲：1（）30 天2060811练练 2 2乙队的工作效率：（5）415152011总共的天数：1（+2）212 天15201、2、1、11【（16）3】12 天8111甲做的天数：1（+3+3
40、2）2 天121824总共的天数：2+23+23220 天2、311练练 3 3师傅每小时做这批零件的（6）（86）51220111这批零件共有 10【（）】600 个201220311甲队每天修这条公路的（13）（53）10610111这条公路全长多少米 20【（）】600 米1061011甲、乙两队工作效率的比是：3：5402413这段公路的全长 750（）6000 米23+5或 7502（53）（5+3）6000 米1311练练 4141、甲队的工作效率（2）（42）18491111丙队的工作效率（2）（42）1841811甲、丙合做需要的时间1（+）6 小时9181112、乙队每天能做
41、全工程的【1（33）】（63）61015115 天151、2、乙队独做这项工程需要的时间111113乙队每天能做全工程的【1（44）】（54）1082151乙队单独做这项工程需要的时间115 天15111乙队的工作效率【1（2+2）】（622）45201乙独做这件工作需要的时间120 小时2011练练 5 15 1、乙每小时做这件工程的（14）（6+4）1215112甲、乙合做完成需要的时间1（+）6小时121531122、甲、乙两队完成的工作量（+）（8+2）1204032丙队单独挖需要的时间1【（1）12】36 天33、1113乙的工作效率【1（3+3）】（933）61015111丙的工作
42、效率10153011三人合做需要的时间1（+）5 天61011甲队的工作效率【1（12+15）】（2415）30903、1甲队单独做需要的时间190 天90二、答案：二、答案：11练练 1 11（+）27.5 小时4685111（2+7）3 天3847（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的1、2、1111 1（2+5+7）23445206411（2）后两天需要小板车：（2）15 辆420611练练 2 22（+）102 小时10151112（+）8 小时1812911甲帮乙：（18）6 小时121811甲帮丙：（18）2 小时918515解法一：12（）（1）240 个8128解法二：12（85）
43、512240 个111练练 3 13 1、（61）（）3 天4412111甲：（135）（）15 天403040乙：351520 天2、1140（140）25 天50751、2、1、练练 4 14 1、5【12（1512）】20 天1、2、4848302016 条2.5【6（7.56）】10 小时111练练 5 51【（+）2】8 小时151210111【（+）（3+5）】9.6 天231、2、1111（+）21 小时20302811111 1【（+）3】54 天18151220153、三、答案：答案：练练 1 11、（1）需循环的次数1115 1（+）36104（2）3 个循环后剩下的工作量
44、111 1（+）36105（3）最后由乙做的时间1111（）小时56103（4）需要的总时间11 23+1+7小时332、（1）需循环的次数11140 1（+）8142017（2）3 个循环后剩下的工作量114 1（+）81420140（3）最后由乙做的时间412小时140145（4）需要的总时间22 28+16小时553、（1）需循环的次数21124（+）339127（2）3 个循环后剩下的工作量2111（+）3391212（3）最后由乙做的时间113小时1294（4）需要的总时间33 23+6小时44练练 2 21、提示：甲的效率是乙的2 倍 20210 天2、2提示：乙的效率是甲的311
45、13 1【（1）+】3天63652提示：乙的效率是甲的33、33 1（112）21 小时531+34、（1）需几个周期11115（）332354（2）3 个周期后剩下的水1111（）323510（3）需要的时间1119 23+1+（+）7小时105310练练 3 31、师傅：84（74）7196 个徒弟：84（74）4112 个232、提示：乙的效率是甲的（1）5553 1（12）7 天852+533、3 小时 36 分3小时53师、徒效率和：10803300 个5师傅每小时的个数：（300+60）2180 个徒弟每小时的个数：（30060）2120 个练练 4 41、提示：把 6 分钟看作一
46、个循环（1）每循环一次的工作量117（+）（1+2）2418247总工作量里面有几个24（2）73 13247（3）3 个循环后剩下的工作量71 13248（4）一共需要的时间1111 63+1+（）20分钟8241822、提示：把 6 分钟看作一个循环（1）1 个循环的工作量119（+）（1+2）1215209总工作量里面有几个20（2）92 12209（3）3 个循环后剩下的工作量91 122010（4）一共需要的时间111 62+13小时1012511说明：2 个循环后，是由甲接着干2 小时，所以直接用10123、提示：把 12 天看作一个循环 12 天中甲的工作量19（3+3+3）50
47、50 12 天中乙的工作量11（5+5）606总共需要的天数5291（+）275506（12 天减去最后休息的1 天）122123 天52完成全部任务的为 3 月 24 日。754、提示：把 7 天看作一个周期22 1（5+6）1533 7151104 天练练 5 521、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3 的倍数余 2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙33的。4122丙的工作效率7321238乙的工作效率2146312817甲、乙、丙三队合做的天数1（+）2天7216323（1）（2）（3）2、1提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3 的倍数
48、余 1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的，乙的效率是23甲的。4111丙的效率102201113乙的效率（1）1022401134甲、乙、丙三队合做的天数1（+）4天1020409（1）（2）（3）3、122由题意可以推出，丙的效率是甲的，丙的效率是乙的，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。24374 1（113）31 天94+3+22提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。32水池里的水超过时需要几个循环34、（1）21111130（）（+）43634567（2）循环 5 次以后，池中水占111113+（+）5634564（3）总共需要的时间13345+（1）20小时434