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1、第五节：矩阵的秩及其求法第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念1.k 阶子式定义 1设ijmn在 A 中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的k(1 k minm,n)阶行列式行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。Aa31122233C C18例如A4654共有34个二阶子式，有C3个三阶C 44子式101121矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为2而D3 4D 1263510110kk为 A 的一个三阶子式。显然，mn矩阵 A 共有mn个 k 阶子式。2.矩阵的秩定义 2设ij有 r 阶子式不为 0，任何 r+1 阶子式(如果存在的话)
2、全mn为 0,称 r 为矩阵 A 的秩，记作 R(A)或秩(A)。规定：规定：零矩阵的秩为 0.注意注意：(1)如 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式D D0 0,所有 r+1 阶子式为r r 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的.(2)有行列式的性质，R R(A A)R R(A AT T).).(3)R(A)m,R(A)n,0 R(A)min m,n .(4)如果 Ann,且 0 0则A A,R(A)=n.反之，如 R(A)=n,则A A 0.0.因此，方阵 A 可逆的充分必要充分必要条件是 R R(A A)=)=n n.二、矩阵秩的求法二、矩
3、阵秩的求法1、子式判别法(定义)。c cAa1234例 1设B 0270为阶梯形矩阵，求 R(B)。解2由于1存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为 0，则 R(B)=2.02结论：阶梯形矩阵的秩结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。台阶数。例如0000 0一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”21230121101250A 0101B 01C 010D 034E 00010000010000RA 3RB 2RC 3RD 2RE31235815300720000非零行的行数。非零行的行数。例 2设Aa111如果RA 3,求 a.a111aa11解解RA 3A
4、1a1(a 2)(a1)2 011aa 1或或a 2K111 例 3A 1K1111K1111KRA 3则K 311111K11A K 3(K 1)3(K 3)11K1111K2、用初等变换法求矩阵的秩定理定理 2 2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即A B则则R(A)R(B)注：1.ri rj只改变子行列式的符号。2.k ri是 A 中对应子式的 k 倍。3.ri krj是行列式运算的性质。求矩阵求矩阵 A A 的秩方法：的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵 B2）数阶梯形矩阵 B 非零行的行数即为矩阵 A 的秩。102例 4A4求 2136R A.11
5、12解Ar22r102 4101011201011 200R(A)=2欢迎下载24120021112例 5设A 312,且R（A）2，求,53612 12 11121111A 3120344034453600510854R(A)2,5 0,1 05,1三、满秩矩阵三、满秩矩阵定义 3A 为 n 阶方阵时，A（非奇异矩阵）nR,称 A 是满秩阵，A（奇异矩阵）R n,称 A 是降秩阵，可见：RA nA 0对于满秩方阵 A 施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对 A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理定理 3 3设设 A A 是满秩方阵，
6、则存在初等方阵是满秩方阵，则存在初等方阵P1,P2,Ps.使得使得对于满秩矩阵 A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E.例如PsPs1,P2P1A ERA nA ERA n A En3 12312100100A 212034011010 E312023023001A 为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：关于矩阵的秩的一些重要结论：定理定理 5 5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即 R(AB)minR(A)，R(B)设 A 是mn矩阵，B 是nt矩阵，矩阵，性质性质 1 1R(A)R(B)n R(AB).性质性质 2 2如果如果A BA B=0=0则则R(A)R(B)n.性质性质 3 3如果如果 R R(A A)=n,=n,如果如果 A BA B=0=0则则 B=0B=0。n性质性质 4 4设设 A,BA,B 均为均为m矩阵，则矩阵，则R(A B)R(A)R(B).例 8设 A 为 n 阶矩阵，证明 R（A+E）+R（A-E）n证：（A+E）+（E-A）=2ER（A+E）+R（E-A）R（2E）=n而R（E-A）=R（A-E）R（A+E）+R（A-E）nRA 3欢迎下载3