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1、.1 1 三角形及其有关概念三角形及其有关概念【知识精读】【知识精读】1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形中的几条重要线段：1三角形的角平分线三条角平分线的交点叫做心2三角形的中线三条中线的交点叫重心3三角形的高三条高线的交点叫垂心3.三角形的主要性质1三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；2三角形的角之和等于1803三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角，等于和它不相邻的两个角的和；4三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；5三角形具有稳定性。4.补充性质：在ABC中，D 是 BC 边上任意一点，E
2、是 AD 上任意一点，那么SABESCDE SBDESCAE。三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成假设干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的根底。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】【分类解析】例 1.锐角三角形 ABC 中，C2B，那么B 的围是A.10 B 20C.30 B 45分析：分析：因为ABC为锐角三角形，所以0 B 90B.20 B 3
3、0D.45 B 60.!.又C2B，0 2B 90又A 为锐角，A 180 B C为锐角3B 90，即B 3030 B 45，应选择 C。例 2.选择题：三角形的一个外角等于160，另两个外角的比为 2:3，那么这个三角形的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定分析：分析：由于三角形的外角和等于360，其中一个角，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个角的度数，从而可判断三角形的形状。解：解：三角形的一个外角等于160另两个外角的和等于 200设这两个外角的度数为 2x，3x解得：x 40与 80相邻的角为 100这个三角形为钝角三角形应选 C例
4、 3.如图，：在ABC中，AB 分析：分析：欲证C 11AC，求证：C B。221B，可作ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，只要证C EBC即21可。为与题设ABAC联系，又作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F。2显然EBCF，只要证C F即可。由AF 2AB AC可得证。证明：作ABC 的角平分线 BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F又BE 平分ABC，EBCABEFFAB，ABBF又ABFBAF，即 2ABAF又AB 1AC，AC AF21F C，又F ABC2.!.例 4.：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的11与之
5、间。64分析：分析：首先应根据条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。证明：证明：如图，设ABC的三边为 a、b、c，其中a 2c，因此，c 是最小边，b 3c因此，a b c 2c 3c c，即c 故最小边在周长的中考点拨：中考点拨：例 1.选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是A.50B.100C.180D.2001(a b c)611与之间。64分析：分析：由于我们学习了三角形的角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。解：解：C E AGF，B D AFG所以选择 C例 2.选择题：三角形的两边分别为5 和 7，那么第三边 x 的围是
6、A.大于 2B.小于 12C.大于 2 小于 12D.不能确定分析：分析：根据三角形三边关系应有7 5 x 7 5，即12 x 2所以应选 C例 3.：P 为边长为 1 的等边ABC任一点。求证：3 PA PB PC 22证明：证明：过 P 点作 EF/BC，分别交 AB 于 E，交 AC 于 F，那么AEPABC60在AEP中，AEF是等边三角形题型展示：题型展示：例 1.：如图，在ABC中，D 是 BC 上任意一点，E 是 AD 上任意一点。求证：1BECBAC；2ABACBEEC。分析：分析：在1中，利用三角形角和定理的推论即可证出在 2中，添加一条辅助线，转化.!.到另一个三角形中，利
7、用边的关系定理即可证出。证明：证明：1BED 是ABE的一个外角，同理，DEC CAE即BEC BAC2延长 BE 交 AC 于 F 点即AB AC BE EC例 2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。：如图，在ABC中，C 90，EAB、ABD是ABC的外角，AF、BF 分别平分EAB 及ABD。求证：AFB45分析：分析：欲证AFB 45，须证FAB FBA 135AF、BF 分别平分EAB 及ABD要转证EABABD270又C90，三角形一个外角等于和它不相邻的两个角之和问题得证证明：证明：EABABCCABDCABCABCCCAB180，C90AF、BF 分
8、别平分EAB 及ABD在ABF中，AFB 180 FAB FBA 45【实战模拟】【实战模拟】1.：三角形的三边长为 3，8，12x，求 x 的取值围。2.：ABC中，AB BC，D 点在 BC 的延长线上，使AD BC，BCA，CAD，求和间的关系为？ABC、ACB的平分线交于 P 点，3.如图，那么BAC ABC中，BPC 134，A.68B.80C.88D.46.!.4.：如图，AD 是ABC的 BC 边上高，AE 平分BAC。求证：EAD 12C B5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】【试题答案】1.分析：分析：此题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值围即可。解：解：三边长分别为 3，8，12x，由三边关系定理得：2.解：解：AB BC，BCA BAC 又 AD BC，AD ABD B，又BCA D B根据三角形角和，得：3.解：解：BPC 134又BP、CP 为B、C 的平分线4.证明：证明：EAD EAC CADAE 平分BAC，EAC 12BAC又ADBC，ADC 90又BAC 180B C5.证明：证明：如图，设ABC的BAC 和ABC 的外角平分线交于点D那么ADB180DAB DBA又12ACG 12ABC BACADB 12ACG。.!.