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1、缺“缺“1 1”就错”就错在不等式求最小值中，常数“1”的魅力非常的大，通过“1”的中介，可以帮助避免误区，获得成功。一“1”在整体中的应用例：已知m 0，n 0且m n 1，求解 常见误区常见误区：m 0,n 0，m n 1m n 2 mn19的最小值。mn(m n)21mn 44199 2 2 36 12mnmn误区分析误区分析：取到等号时19的最小值是 12mn14 mn 时，当m n时，取得等号；又因为199 2mnmn19既n 9m；出现m n与n 9m的矛盾mn正确突击：正确突击：m 0,n 0,m n 119191()mnmn(m n)(19)mn9mn19nm9mn10nm9m
2、n10 216nm当9mn时，既n2 9m2n 3m时取到等号，nmm n 1m3m 119m 1,n 3时，的最小值是 16mn44二 把分子换成“1”例：已知m 0,n 0且m n 1，求(1解 常见误区常见误区：m 0,n 0,m n 1m n 2 mn1411111(1)(1)2 2 4mnmmmn11)(1)的最小值。mnmn 误区分析：误区分析：mn 时，当m n既m n 取到等号，又因为11421111(1)(1)4时，当1,1，既m 1,n 1时取到等号，与mnmnm 0,n 0,m n 1矛盾。正确突击：正确突击：m 0,n 0,m n 111)(1)mnm nm n(1)(
3、1)mnnm(2)(2)mn2m2n 4nm2m2n 5nm 5 22m2n 5 4 9nm(1当2m2n111，既m n 时，(1)(1)的最小值是 9nm2mn三 在待求式中应用“1”m2n2例：若0 x 2,mn 0，求的最小值。2 xx解 常见误区常见误区：0 x 2,mn 0m2n2m2n2 22 xxx(2 x)2mnx(2 x)2mnx(2 x)2mn 2mnx 2 x2m2n2m2n2m2n2误区分析：误区分析：要使取到等号，所以既 22 xx2 xxx(2 x)2n2x 2 xx 2时；但由时取到等号，所以x 2 x既x 1x(2 x)22m n2n2时取到等号；所以x 22
4、与x 1不能同时取到等号。m n正确突击：正确突击：0 x 2,mn 0m2n2m2n2x 2 x()()2 xx2 xx221m2xn(2 x)m2 n222 xx(m2 n2 2mn)(m n)2m2xn2(2 x)4m2m2n2n22当，既x 22，x 222时的最小值2 xx2 xxm nm n1212是(m n)2实战沙场：实战沙场：1 已知m 0,n 0且mn的最小值是 9）14求mn的最小值。（参考答案：m 3,n 6时；1，mn122 已知x 0,y 0且4x 9y xy，求x y的最小值。（参考答案：x 10,y 15时；x y的最小值是 25）123 已知m,n(m 0,n 0)的等差中项为且x m n,y 最小值。（参考答案：5）11，求x y的mn4 设m 0,n 0，若3是3m与3n的等比中项，求考答案：31的最小值。（参m3n16）3a2b25 若0 x 1,a 0,b 0，求的最小值。（参考答案：(a b)2）x1 x