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1、三、三角函数三、三角函数一、选择题2（a b）c2 4，且 C=60，1.（重庆理 6）若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足则 ab 的值为4A32B84 3C 1D3【答案】A02.（浙江 理 6）若31cos()-0cos()423，则2，243，cos(2)33A3 B35 36C9 D9【答案】C3.（天 津 理6）如 图，在 ABC中，D是 边AC上 的 点，且AB CD,2AB 3BD,BC 2BD，则sinC的值为3A36C33B66D6【答案】D4.（四川理 6）在ABC 中sin Asin Bsin CsinBsinC则 A 的取值范围是222A（0，6B
2、6，）C（0，3D3，）【答案】C【解析】由题意正弦定理b2c2a21a b c bc b c a bc 1 cos A 0 Abc23222222 0,f(x)sinx33上单调递增，在区间2上单5.（山东理 6）若函数(0)在区间调递减，则=A3B232C2D3【答案】Cy 6.（山东理 9）函数x2sin x2的图象大致是【答案】C7.（全国新课标理 5）已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线y 2x上，则cos2=4334（A）5（B）5（C）5（D）5【答案】B8.（全国大纲理 5）设函数f(x)cosx(0)，将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得
3、的图像与原图像重合，则的最小值等于1A3B3C6D9【答案】C9.（湖北理 3）已知函数f(x)3sin x cos x,xR，若f(x)1，则 x 的取值范围为x|k x k,k Zx|2k x 2k,k Z33ABx|k6 x kC55,k Zx|2k x 2k,k Z666 D【答案】B10.（辽宁理 4）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，ba则（A）2 3【答案】D（B）2 2（C）3（D）21（+）=3，则sin211.（辽宁理 7）设 sin47117（A）9（B）9（C）9（D）9【答案】Asin2212.（福建理
4、 3）若 tan=3，则cos a的值等于A2 B3C4D6【答案】D13.（全国新课标理 11）设函数f(x)sin(x)cos(x)周期为，且f(x)f(x)则(0,|)2的最小正3(0,)(,)2单调递减（B）y f(x)在44单调递减（A）y f(x)在3(0,)(,)2单调递增（D）y f(x)在44单调递增（C）y f(x)在【答案】Af(x)f()f(x)sin(2x)6对xR恒14.（安徽理 9）已知函数，其中为实数，若成立，且f()f()2，则f(x)的单调递增区间是k,k(k Z)36（A）k,k(k Z)2（B）2k,k(k Z)k,k(k Z)632（C）（D）【答案】
5、C二、填空题00CAB 75,CBA 60CAB15.（上海理 6）在相距 2 千米的两点处测量目标，若，则AC两点之间的距离是千米。【答案】6y sin(x)cos(x)2616.（上海理 8）函数的最大值为。23【答案】417.（辽宁理 16）已知函数f(x)=Atan（x+）（0,|2），y=f(x)的部分图像如下图，则【答案】318.（全国新课标理 16）ABC中，B 60,AC【答案】2 7f(24)3,，则 AB+2BC 的最大值为_cos21sin 0,sin cos42的值为_219.（重庆理 14）已知，且，则【答案】14220.（福建理 14）如图，ABC 中，AB=AC=
6、2，BC=2 3，点 D 在 BC 边上，ADC=45，则 AD的长度等于_。2【答案】21.（北京理 9）在ABC中。若 b=5，a=_。B 4，tanA=2，则 sinA=_；2 5【答案】52 10522.（全国大纲理 14）已知 a（2，），sin=5，则 tan2=4【答案】323.（安徽理 14）已知ABC的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC的面积为_.【答案】15 3tan(x 24.（江苏 7）已知4)2,tan x则tan 2x的值为_4【答案】9三、解答题25.（江苏 9）函数f(x)Asin(wx),(A,w,是常数，A 0,w 0)的部分
7、图象如图所示，则 f(0)=6【答案】226.（北京理 15）f(x)4cos xsin(x)16已知函数。（）求f(x)的最小正周期：,（）求f(x)在区间6 4上的最大值和最小值。f(x)4cos xsin(x 解：（）因为6)1 4cos x(31sin x cos x)1223sin2x 2cos2x 13sin 2x cos2x 2sin(2x 6)所以f(x)的最小正周期为（）因为6 x 4,所以6 2x 62.32x 于是，当62,即x 6时，f(x)取得最大值 2；2x 当6,即x 时,f(x)66取得最小值1.27.（江苏 15）在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为a,
8、b,csin(A（1）若6)2cos A,求 A 的值；1cos A,b 3c3（2）若，求sinC的值.本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。解：（1）由题设知sin Acos6 cos Asin6 2cos A,从而sin A 3cos A,所以cos A 0，tan A 3,因为0 a,所以A.31cos A,b 3c及a2 b2 c2 2bccos A,得a2 b2c2.3（2）由B 故ABC 是直角三角形，且28.（安徽理 18）在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作2,所以sinC
9、cos A 13.Tn，再令an lgTn,n1.（）求数列（）设an的通项公式；求数列bn tanantanan1,bn的前n项和Sn.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设l1,l2,ln2构成等比数列，其中t11,tn2100,则Tn t1t2tn1tn2,Tn tn1tn2t2t1,并利用t1tn3i t1tn2102(1 i n 2),得Tn2(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2),an lgTn n 2,n 1.（II）由题意和（I）中计算结果，知
10、bn tan(n 2)tan(n 3),n 1.tan1 tan(k 1)k)另一方面，利用tan(k 1)tank,1 tan(k 1)tanktan(k 1)tank 得nn2k3tan(k 1)tank1.tan1所以Snbktan(k 1)tankk1tan(k 1)tank1)tan1k3tan(n 3)tan3 n.tan1(n229（福建理 16）13已知等比数列an的公比 q=3，前 3 项和 S3=3。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数f(x)Asin(2x)(A 0,0 p)在x 6处取得最大值，且最大值为 a3，求函数 f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三
11、角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分 13 分。13a1(133)13q 3,S3得,3133解：（I）由1a1.3解得1an3n1 3n2.3所以（II）由（I）可知an 3n2,所以a3 3.因为函数f(x)的最大值为 3，所以 A=3。x 因为当6时f(x)取得最大值，sin(2所以6)1.0,故又.6f(x)3sin(2x)f(x)6所以函数的解析式为30.（广东理 16）1f(x)2sin(x),xR.36已知函数f(5)4的值；（1）求（2）设106,0,f(3a),f(32),21352f(515)2sin()4346求cos()的值解：（1）2sin42
12、；101 f3 2sin3 2sin,132263（2）61 f(3 2)2sin(3 2)2sin 2cos,5623sin53,cos,135212 5 cos1sin21,131343sin1cos1,55223125456cos()coscossinsin.51313565故31.（湖北理 16）1a 1.b 2.cosC.4设ABC的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，已知（）求ABC的周长（）求cosAC的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分 10 分）c2 a2b2 2abcosC 1 4 4解：（）1 44c 2.AB
13、C的周长为abc 122 5.cosC（）1115,sinC 1cos2C 1()2.44415asinC15sin A 4c28a c,A C，故 A 为锐角，cos A 1sin2A 1(1527).8871151511.848816cos(AC)cos AcosC sin AsinC 32.（湖南理 17）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC（）求角 C 的大小；（）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B 的大小。解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因为0 A,所以sin A 0.从而si
14、nC cosC.又cosC 0,所以tanC 1,则C 3 A.4于是4B（II）由（I）知3sin Acos(B)3sin Acos(A)43sin Acos A 2sin(A).63110 A,A,从而当A,即A时,466126232sin(A)6取最大值 253sin Acos(B)A,B.4的最大值为 2，此时312综上所述，33.（全国大纲理 17）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c己知 AC=90，a+c=2b，求C解：由ac 2b及正弦定理可得2sinB.3 分sin AsinC 又由于AC 90,B 180(AC),故cosC sinC 2sin(AC)2si
15、n(90 2C)2cos2C.7 分22cosC sinC cos2C,22cos(45C)cos2C.因为0C 90，所以2C 45C,C 1534.（山东理 17）cosA-2cos C2c-a=cosBb在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sinC（I）求sin A的值；1（II）若 cosB=4，b=2，ABC的面积 S。解：abc k,（I）由正弦定理，设sin Asin BsinC2ca2ksinC ksin A2sin C sin A,bksin Bsin B则cos A2cos C2sin C sin A.cosBsin B所以即(cos A2cos C
16、)sin B (2sin C sin A)cos B，化简可得sin(A B)2sin(B C).又ABC，所以sinC 2sin AsinC 2.因此sin AsinC 2sin A（II）由得c 2a.由余弦定理1b2 a2c22accosB及cosB,b 2,41得4=a24a24a2.4解得 a=1。因此 c=21cosB,且G B.4又因为sin B 所以15.4S 因此111515acsin B 12.224435.（陕西理 18）叙述并证明余弦定理。解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a,b,c 为 A,B,
17、C 的对边，有a2 b2c22bccos Ab2 a2c22accosBc2 a2b22abcosC证法一 如图a2 BCBC(AC AB)(AC AB)AC 2AC AB AB2222 AC 2 AC AB COSA AB b22bccos Ac2222即a b c 2bccos A222b a c 2accosB同理可证c2 a2b22abcosC证法二 已知ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则C(bcos A,bsin A),B(c,0),a2 BC2(bcos Ac)2(bsin A)2 b2cos2A2bcco
18、s Ac2b2sin2Ab2 a2c22accosB同理可证b2 c2a22cacosB,c2 a2b22abcosC.36.（四川理 17）73f(x)sin(x)cos(x),x R44已知函数（1）求f(x)的最小正周期和最小值；cos(a)（2）已知44,cos(),(0)2552，求证：f()2 07733cosxsincosxcossin xsin44442sin x2cosxf(x)sin xcos 2sin(x)4解析：T 2,f(x)max 2cos()coscossinsin4545(1)(2)cos()coscossinsin coscos 0（2）02 cos 02 f
19、()2 (f()22 037.（天津理 15）f(x)tan(2x),4已知函数（）求f(x)的定义域与最小正周期；（II）设0,4f()2cos 2,，若2求的大小本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分 13 分.2x（I）解：由42k,k Z，x 得8k,k Z2.xR|x 8所以f(x)的定义域为k,k Z2.f(x)的最小正周期为2af()2cos 2a,（II）解：由2tan(a)2cos 2a,4得sin(a)4 2(cos2asin2a),cos(a)4sinacosa 2(co
20、sasina)(cosasina).整理得cosasinaa(0,)4，所以sinacosa 0.因为11(cosasina)2,即sin2a.22因此a(0,)2a(0,)42.由，得2a 所以6,即a 12.38.（浙江理 18）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为 a,b,c12ac bsin AsinC psinBpR,4已知且p（）当5,b 14时，求a,c的值；（）若角B为锐角，求 p 的取值范围；本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14分。5ac,4ac 1,4（I）解：由题设并利用正弦定理，得1a 1,a,41或c,4c 1.解得2
21、22（II）解：由余弦定理，b a c 2accosB(ac)22ac2accosB11 p2b2b2b2cosB,2231即p2cosB,2230 cosB 1,得p2(,2)2因为，p 0,所以由题设知39.（重庆理 16）6 p 2.2fx cos xasin x cos x cos2 xf f0设aR，211f(x),在424上的最大值和最小值.解：f(x)asin xcos x cos2x sin2xa2sin2x cos2x.f()f(0)得 3a1 1,解得a 2 3.由3222f(x)3sin2x cos2x 2sin(2 x 因此6).x,时,2x 当4 363,2,f(x)为增函数，x,11时,2 x,3,f(x当324624)为减函数，f(x)在11所以4,4上的最大值为f(3)2.f()3,f(11)2,又因为424f(x)在,11f(11)故424上的最小值为242.满足3，求函数