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1、一、名词解释：1晶体和非晶体；晶体：是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的，具有周期性和对称性。非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性。2点阵、晶格、格点；点阵：格点的总体称为点阵。晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。3晶体的周期性和晶体的对称性；晶体的周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。晶体的对称性：晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称、面对称、体心对称即点对称）。4密勒指数；密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒
2、数的互质整数比称为此晶面的Miller 指数5倒格子；倒格子：设一晶格的基矢为a1，a2，a3，若另一格子的基矢为b1，b2，b3，与a1，a2，2a3存在以下关系：biaj 2ij0i ji j(i,j=1,2,3)。则称以b1，b2，b3为基矢的格子是以a1，a2，a3为基矢的格子的倒格子。（相对的可称以a1，a2，a3为基矢的格子是以b1，b2，b3为基矢的格子的正格子）。6配位数和致密度；配位数：可以用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数。致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度。7固体物理学元胞与结晶学晶胞；固体物理学元胞：选取
3、体积最小的晶胞，称为原胞；格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只包含一个格点；晶胞的三边的平移矢量称为基本平移矢量（或称基矢）；突出反映晶体结构的周期性。结晶学元胞：体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数、点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。18布拉菲格子与复式格子；布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。（Bravais 格子）复式格子：晶体由两种或两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布喇菲格子，这些布喇菲格子相互错开一段距离
4、，相互套购而形成的格子称为复式格子。复式格子是由若干相同的布喇菲格子相互位移套购而成的。9.声子声子：晶格简谐振动的能量化的，以hvl为单位来增减其能量，hvl就称为晶格振动能量的量子，即声子。10布洛赫波电子在晶格的周期性势场中运动的波函数是一个按晶格的周期性函数调幅的平面波11布里渊区布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为Brillious 区12格波格波：晶格中各原子在其平衡位置附近的振动，以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。二、计算证明题1.金刚石晶胞的立方边长为3.561010m，求最
5、近邻原子间的距离、平均每立方厘米中的23原子数和金刚石的密度。（碳原子的重量为1.99*10g）解：金刚石结构是由两个面心立方点阵沿对角线方向平移体对角线长度的1/4 套构而成。空间对角线上的原子与最近的立方体顶角上的原子之间的距离便是金刚石结构中原子的最近距离，若用 R 表示，则R 133a 3.56 1.541010m44金刚石结构中每个晶胞包含8 个原子，所以每立方厘米中的原子数n 83.561023831.771023cm323由于碳原子的重量为1.99*101.99*10g，因此金刚石的密度*1.77*1023 3.52 g.cm32.试证：在晶体中由于受到周期性的限制，只能有1、2
6、、3、4、6 重旋转对称轴，5 重和大2于 6 重的对称轴不存在。如图所示，设有一个垂直于转轴的晶面，B1ABA1是该晶面上的一个晶列。格点间最短距离为 a，基转角为的转轴垂直晶面并过格点 A，B 是与 A 相邻的另一格点。当绕通过格点A 的转轴顺时针方向转动角度时，B1转至点B的位置，AB a。既然转动不改变格子，B处必定原来就有一格点。由于格点 B 和 A 完全等价，转动也可以绕 B 并沿逆时针方向进行。当绕通过 B 的转轴逆时针转动角时，A1格点转至A的位置，BA a，A处原来也必有一格点。显然，因而BA的距离必然是格点间距 a 整数倍，即BA maBA/AB，（m 是正整数）。其次，由
7、图中的几何关系可知，ABBA a 2acos1 2cosa于是得m 1 2cosm1Ncos22B1ABA1因为 m 为整数，N=m-1 也必为整数。由于1 cos1N 的取值范围只能是 2 N 2因此，以表示旋转轴的重数，对可能的旋转轴重数可列表如下：N-2-1012cos-1-1/201/211801209060360或 0n23461所以，只有 1、2、3、4、6 重转轴，5 重或大于 6 重的旋转对称轴是不存在的。3.设一晶格的基矢为a1，a2，a3，若另一格子的基矢为b1，b2，b3，与a1，a2，a3存在以下关系：2biaj 2ij0i ji j(i,j=1,2,3)证明以b1，b
8、2，b3为基矢的格子是以a1，a2，a3为基矢的格子的倒格子。证明：设晶体任一 r 处的物理量为Q(r)，根据晶体的周期性，则有：Q(r RL)Q(r)（r是位置矢量）a其中，RL l1a1l2a2l3a3为晶体中的平移矢量（正格矢），而a1，a2，a3为其正格3子基矢。将Q(r)展开成付里叶级数：j KhrQ(r)QKhe（Kh为一新矢量）h式中 h 代表三个整数 h1，h2，h3。则h实际为 h1h2h3。同时有：j Kj KhRLhrQ(r RL)QKheehj Kj Kj KhRLhrhrQKhee根据公式 a，则：QKhehh有：ej KhRL1 Kh RL 2N（N 为整数）令Kh
9、 h1b1 h2b2 h3b3，则：biaj 2ij20i ji j(i,j=1,2,3)即，以b1，b2，b3为基矢的格子是以a1，a2，a3为基矢的格子的倒格子4.晶体点阵中的一个平面hkl.（a）证明倒易点阵矢量G hb1kb2lb3垂直于这个平面。（b）证明正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数证明：(a)一族晶面（h1，h2，h3）中最靠近原点的晶面ABC 在基矢a3KhBa1，a2，a3上的截距为 a1/h1，a2/h2，a3/h3，则：CCA OA OC a1/h1 a3/h3CB OB OC a2/h2 a3/h30a2a1则：AKh CA (h1b1 h2b2 h3b3)(a
10、1/h1 a3/h3)h1b1 a1/h1 h3b3 a3/h3 0Kh CB (h1b1 h2b2 h3b3)(a2/h2 a3/h3)h2b2 a2/h2 h3b3 a3/h3 0故Kh同 ABC 晶面上的CA，CB两条相交直线正交，则Kh同 ABC 晶面正交，Kh同晶面族（h1，h2，h3）正交（垂直）。2 a a2 a a2 a a311223）(b)（利用b1，b2，b34(a a)(a a)3112 ba1(b2 b3)(2 a3)323应用公式：AB C，得到：A CBA BC(a3 a1)(a1 a2)(a3 a1)a2a1(a3 a1)a1a2 a1则：(a a(a a31)
11、(a1 a2)3(a32 a3)a1(2)(2)323)3235.证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。证：aa12(j k)面心立方格子基矢：aa2(k i)a2a2(i 3j)2a2a32a3a12a1a2利用公式：b1，b2，b3b21a(i j k)可求出其倒格子基矢为：b22a(i j k)b23a(i j k)aa12(i j k)体心立方格子基矢：aa22(i j k)aa2(i j3k)a21a(j k)利用公式可求出其倒格子基矢为：a22a(k i)a23a(i j)5所以体心立方格子与面心立方格子互为正倒格子。6.在六角空间格子中选取一平行六面体为原胞，试求：（1）
12、基矢a1,a2,a3的表示式；（2）原胞的体积；（3）倒格子基矢b1,b2,b3。解：a1（1）作图，并由图中可以得出，基矢为a2a3方向的单位矢量。（2）原胞的体积 a3a1a23aai j223aa i j式中 i i、j j、k k 是沿 x、y、z22 ck32a c23aai jcka2a32211i j（3）根据倒格子基矢的定义，b1a323aa c211i j同理可得b2 a3a1b3kc把bi与ai与（I=1，2，3）比较可知，倒格子仍是一个六角空间点阵，但轴经过了转动。7.设点阵中晶面族的面间距为d，证明：（1）倒格矢Kh h1b1 h2b2 h3b3与该族晶面垂直；（2）d
13、 1/Kh；（3）利用上述关系证明，对于简单立方格子，d ah h h212223式中 a 为晶格常数。解：（1）因为同一族晶面中的各晶面是互相平行的，要证明倒格矢Kh垂直于晶面族h1h2h3，只需证明Kh垂直于这晶面族中最靠近原点的晶面上两相交矢量就行了。设 ABC 为所述晶面，根据密勒指数的意义，它在a1,a2,a3三个轴上的截距分别为6a1/h1,a2/h2,a3/h3。而矢量a1a3CA OA OC h1h3a2a3CB OB OC h2h3矢量CA和CB都在晶面 ABC 上。由易证 a1a3KhCA (h1b1 h2b2 h3b)hh 031 a2a3KhCB (h1b1 h2b2
14、h3b)hh 032因此，Kh与晶面 ABC 垂直，同时也垂直于整个晶面族h1h2h3。（2）由图可看出，晶面族h1h2h3的面间距 d 等于原点 o 到晶面 ABC 的垂直距离，亦即等于截距a1/h1在晶面 ABC 法线方向上的投影。单位法向矢量，因此a1h1b1 h2b2 h3ba1Kh1d h1Khh1KhKh(3)对于简单立方晶格，若以 a 表示晶格常数，则原胞的基矢a1 ai,a2 aj,a3 ak此处 I、j、k 是直角坐标系中的方向单位矢量。倒格子基矢111b1i,b2j,b3kaaa1Khh1i h2j h3ka12221 2Khh1 h2 h3a1ad 2Khh12 h2 h
15、32因而所以8.设两原子间的互作用能可表示为ur rmrn式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；,均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须nm。证明：相互作用着的两个原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离r0处的能量应为能量的极小值，即当r r0时，7ur 0rr02urr2 0r0ur rmrnur mm1 nn1 0r0r0rr0(1)nr0 mur0 1 nmr0mr0n rm0m1n其次，对应于处能量取最小值，应有2urmm1nn 1 0m2n2r2r0r0r0nn1mnr01mm1把（1）式代入，即得nn 1 n1mm1mn 11,n mm11这个结果表明，排斥力是短
16、程力，与吸引力比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。9.设两原子间的互作用能可表示为ur 定的分子，其核间距离为31010rmrn。若m=2，n=10，而且两原子构成稳m，离解能为 4eV，试计算（1）,；（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；（3）使原子间距比平衡距离减少 10%时所需要的压力。解：按题给ur r2r10，平衡时，r r0 3108cmur0 4eV 6.410erg12（1）ur r02r010（1）210ur11 0（2）3r0rr0r0由（2）式解得r08158代入（1）式，ur 因而求得r025r02 425r0 r02ur0 545310846
17、.410 7.210erg.cm21227211r087.210273108558 9.451088erg.cm10（2）要破坏分子系统，外力必须克服原子间的最大引力。图 21 表明，当两原子的距离r r0时，原子间的引力为最大值。因为f ur210 311rr0r0f6110412rrr由极值条件f/rrm 0，得110rm 6从而求得1 81109.451088 67.210271 8 3.53108cm2102*7.2*102710*9.45*1088fm 311 3118rmrm3.53*103.53*108 3.3*1048.92*105 2.4*104erg/cm 2.4*109N
18、所以，要破坏该分子系统，必须施加2.4*10N 的拉力。（请学生改为国标单位牛顿、米）（请学生改为国标单位牛顿、米）（3）当两原子间的距离比平衡距离r0小时，原子间表现为斥力。使原子核间距离比平衡距离减小 10%，即当距离 r 等于平均距离r0的 90%时，两原子间的作用力9 20.9r03100.9r011 2*7.2*1027830.9*3*10 0.9*3*1010*9.45*1088811 0.731*1031.699*103 9.68*104dyn 9.68*109N可见，要使原子核间的距离比平衡距离减小10%，则要施加9.68*10N 的压力。10.试求由两种一价离子所组成的一维晶
19、格的库仑互作用能和马德隆常数。设离子总数为992N，离子间的最短距离为R。解：如图所示，选取负离子I 作为参考离子，相邻两离子间的距离用R 表示，第j 个离子与参考离子的距离可表示为rij aijRe2参考离子 I 与其他离子间的库仑互作用能是uRrjije2求和号上aijRj的一撇表示对 j 求和时不包括 j=I。因为参考离子 I 是负离子，因而在对负离子求和时取“-”，对正离子求和时取“+”。因晶体包括 N 对正负离子，总的库仑互作用能为e2Ne21U 2N2aijRRj1ajijNe2111 21.R2342Ne2 ln2Rx2x3x4.并令 x=1。式中已使用了公式ln1 x x 23
20、4显然，马德隆常数1ajij 2ln2 1.39式中，正号代表正离子的贡献；负号代表负离子的贡献。11.已知，由 N 个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶体，其互作用能可表示为126UR 2N12.1314.45 式中，,为参数；R 为原子最近RR邻间距。试求：（1）平衡时的晶体体积；（2）体积弹性模量；（3）抗张强度。解：（1）为了求出平衡时晶体的体积V0，我们将 U（R）变换成 U（V）。已知晶体具有面心立方结构，设晶格常数为 a，由 N 个原子构成的晶体的体积可写成V N a34，a34是一个原子所占的体积（因为面心立方晶胞中含有4 个原子）。若以表示最近邻原子间的距离，3上式又可
21、表示为V N R/2因而题给势能 U（R）可改写为UV112.13N5121414.45N36122VVb6b12V4V210其中b12112.13N5122b614.45N36利用平衡条件UV/VV0 0，可求得平衡时的体积 2b12V0 b6（2）体积弹性模量1 21 25 2U 20b126b6 2b6K VV2V5V3 b3V00012（3）设是对应于晶格中原胞间最大（有效）引力时的晶体体积，由引力的极值条件2U 20b126b64 026VmVmVVm 20b12得Vm 6b6因此最大张力1 24b122b6U 531 2 pm 0.13 bb61253VVmVVmV12.一维单原子
22、链晶格振动的色散关系为 2msinqa。其中：为力常数，q 为波2矢，a 为晶格常数。（1）试用玻恩-卡门边界条件计算三个原子振动的频率（N=3）；（2）证明：在长波极限条件下，格波的传播速度为p常数。（提示：p=/q）解：（1）玻恩-卡门边界条件：x1 xN1x1 Aeiqat AeiN1qat xN1eiNqa1Nqa 2l（l为整数）q 2 lq介于,Na2 2NaNN ql介于,222l N=3,l取整数：-1，0，1。11q1 22,q2 0,q33a3aa 23 Sin 2 0m23am121212代入方程：1 23 3m（2）证明：在长波极限条件下，很大，q 2/很小，则sin(
23、qa)121qa，2maxqa，则vp/q maxa a1212m是一个常数。13.氪原子组成惰性气体晶为体心立方结构，其总势能可写为612UR 2NA12 A6 RR其中 N 为氪原子数，R 为最近邻原子间距离，点阵和A6=12.25，A12=9.11；设雷纳德琼斯系数=0.014eV，=3.65。求：（1）平衡时原子间最近距离R0及点阵常数 a；（2）每个原子的结合能（eV）。解：dU(R)126 2N12A1213 6A67 0（1）dRRRR012R0 A62A 162 2A122R03a,a R0A3362612（2）UR0 2NA12R A6R 2N4.118.23 0.115N0
24、016U U(R0)0.115eV，每个原子的结合能为 0.115eV。N10914.设某简立方晶体中每对原子的平均结合能为A/r B/r，平衡时r0 2.810米。12其结合能为U 81019焦耳。试计算 A 和 B 以及晶体的有效弹性模量。解：9ABU 89102 0B 9Ar0，由A/r0 B/r0 81019及 0，r0r0rr0r0 2.81010得出：A r0910191.05910105(米9焦）所以：B 9Ar08 2.521028（米焦）2U r0 1 u r0K V02V2V09rrrr09V032u r2r0其中认为晶体是简立方结构，V Nr，U Nu2u 311 2Br
25、90Ar00r2r0K 1311 2Br090Ar0 3.61010(牛顿/米2)9r015.已知在钠中形成一个肖特基缺陷的能量为1eV，问温度从 T=290K 升到 T=1000K 时，肖特基缺陷增大多少倍？解：已知肖特基缺陷的数目为n Neu kBT题给T1 290K,T21000K,u 1eV，设对应于两个温度的缺陷数分别为n1,n2，因kB1.38*1016erg/K 8.6*105eV/K，因而n2Ne en1Neu kBT1uT T exp21kBT1T21000290 exp58.6*10*1000*290 2.3*1012u kBT212u 11 kBT2T1即当温度从 290
26、K 上升到 1000K 时，肖特基空位数增大了10倍，可见空位数目随温度的变化是非常敏感的。16.离子晶体中，肖特基缺陷多成对产生。如 n 代表正负离子空位的数目，u0代表产生一对缺陷所需要的能量，N 代表晶体中原有正负离子对的数目，理论上可推出n NBeu02kBT式中，和 B 分别是与原子的振动频率的改变和缺陷激活能随体积变13化有关的参量。设 512,B 17,u0 2eV,，试求 T=300K 和 T=1000K 时由于有肖特基缺陷后体积的相对变化V/V。解：对离子晶体中的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生 n 对正负离子空位时，所增加的体积为V
27、 2na 2NaBe式中 a 为离子最近邻距离。因为2Na=V 为晶体原有的体积，由上式可得V/V Beu02kBT33u02kBT35把题给数据 512,B 17,u0 2eV,kB 8.6*10代入上式，得V/V 8700e11628/T当T=300K时，V/V 8700e11628/3001.3*1013当 T=1000K时，V/V 8700 e11628/1000 7.75*10-217.在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷都成对地产生。令n 代表正负离子空位的对数，u 是形成一对缺陷所需要的能量，N 为整个离子晶体中正负离子对的数目，证明n Neu 2kBT解：设 n 对肖特基
28、缺陷是从晶体内部移去 n 个正离子和 n 个负离子而形成的。从 N 个正离子中形成 n 个正离子空位的可能方式数为W1N!N n!n!同时，从 N 个负离子中形成 n 个负离子空位的可能方式数也是W2N!N n!n!2N!于是，在整个晶体中形成n 对正负离子空位的可能方式数W W1W2N n!n!由此而引起晶体熵的增量为S kBlnW 2kBlnN!N n!n!设形成一对正负离子空位需要能量u，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变F U TS nu 2kBT lnN n!（1）N!n!热平衡时，F/nT 0，并应用斯特令公式ln N!N ln N n，从（1）式得14N l
29、n N N nlnN nnlnnn u 2kBTlnN nnlnnF/nT u 2kBT N n u 2kBT ln 0nn en 2kBTN nu 2kBT因为实际上Nn，于是得n Ne18.设 u 代表形成一个弗仑克儿缺陷所需的能量，证明在温度 T 时，达到热平衡的晶体中弗仑克儿缺陷的数目为n 数。解：在 N 个原子的晶体中形成 n 个空位的可能方式数为W1NNeu 2kBT式中，N、N分别代表晶体中的原子总数和间隙位置N!N n!n!这 n 个原子排列在N个间隙位置上的可能方式数为W2N!N n!n!这样，从N 个格点上取出n 个原子并把它们排列在N个间隙位置上的总方式数W W1W2N!
30、N!N n!n!N n!n!由此而引起熵的增量S kBlnW kBln应用斯特令公式lnN!N lnN N，上式变为N!N!lnN n!n!N n!n!S kBN ln N N nlnN n nln n kBN ln N N nlnN n nln n(1)由于每把一个格点原子安置在间隙位置上需要能量u，依题设当存在 n 个间隙原子时内能的增量为U nu(2)如果把形成缺陷所引起晶体体积的任何改变和缺陷近邻原子振动频率的任何改变略去不计，则（1）（2）两式代表缺陷出现所引起的自由能增量为F U TS，应用平衡条件F/nT 0，得到u kBT lnN nN nn2n2 eu kBT即N nN n因
31、为实际上，N、Nn，故得n NNeu 2kBT1519.已知EF 3eV。试计算当 T=2000K 时，电子分布几率从 0.90.1 所对应的能量区间，并求出这个能量区间与EF的比值。解：因为费密分布函数是f 11 e(EEF)/kBT从而得到E E 1F kBT lnf1把有关数据代入，即得E1.38*10161.602*1012*2000*ln10.911 3 30.378eV16E*102 31.381.602*1012*2000*ln10.11 3 0.378eV所求能量区间E E2 E1 0.756eV此能量区间与的比值EE0.756 25.2%F320.已知一维晶体的电子能带可写为
32、：Ek27coska 1ma288cos2ka式中：为晶格常数，试求：（1）能带的宽度；（2）电子在波矢 k 的状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解:(1)dEdk2ma2asinka a4sin2ka 0sinka 12sinkacoska 0sinka 0ka nd2E22a22dk2ma2a coska 2cos2kamcoska 12cos2ka当为奇数：d2Edk22132mcosn2cos2n 2m 0有极大值。16当为偶数：d2E22dk2mcosn12cos2n2m 0有极小值。2E712maxma28cosn28cos2nma2E27minma28118 02
33、E E2max Eminma2（2）1 dE dk masinka 14sinka（3）m11 d2E2dk2底部m1底1 d2E1 212dk222m2mm底 2m顶部m1顶1 d2E1 3232dk222m 2mm2m顶 321已知一维晶体的电子能带可写为：Ek27ma28coska 18cos3ka式中：为晶格常数，试求：（1）能带的宽度；（2）电子在波矢 k 的状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：(1)dE2dkma2asinka 3a8sin3ka 0asinka 3a8sin3ka 3a83sinka 4sin3ka17得：sinka 3（sinka 0是不可能的
34、）6coska 11122d2E229a2a coska cos3ka22229a23a coska 4cos ka 3coskadkma8ma82359m8coska 2cos3ka当coska 11时，d2E2359212dk2m8coska 3332cos kam 24 0有极小值。当coska 11d2E2359323312时，dk2m8coska 2cos ka m 24 0有极大值。由此可求出能带宽度：E(k)271ma2(8coska 8cos3ka)2ma(78coska 184cos3ka 3coska2=2ma2(78coska 1332cos ka 8coska)=271
35、113ma2(88coska 2cos ka)11当cos ka 12时：23E711111113maxma2788122212ma2112-带顶812当coska 1112时：18Emax37111111122ma212212ma88232711-带底812能带宽度为：E Emax Emin2ma22111232（2）K1 dE3aasinka sin3ka dkma2833sinka 3sinka 4sin ka ma8933sinka sinka sin kama82 331sin ka sinkama2811 d2E（3）能带底部和能带顶部电子的有效质量为m2dk211224m8 33
36、底部mm22111 d E33332dk224m底顶部m顶124m8 33 m111 d2E332dk222证明：二维正方格子第一布里渊区的角偶处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大 1 倍。解：2 2i,b2j，（1）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为：b1aa通过画出距离原点最近和次近邻的倒格矢地中垂线，（要有过程要有过程）得到第一、第二布里渊区，如图所示。19yK（2）证明：区边中点的波矢为：KAi，a角顶 B 点的波矢为：KBi jaa2222(Kx Ky Kz)自由电子能量2m/a-/a2/a2B/a/aA/a-xK/a22222KA()，由此得：A 点的能量
37、为A2m2m a2222222KB()()2()B 点的能量为B2m2maa2m a因此有B/A 2/a223平面正三角形晶格（如图），相邻原子间距是 a。试画出该晶格的第一布里渊区，并求此区域的内接圆半径。a解：对于正三角形，存在正格子：a1 a i令a3 ka3a2i a i22j ja a2 2i ia a1 1根据正格矢与倒格矢的关系可得到倒格子：22b1i a ja34b j23a222n2 n1jn1i 倒格矢为：Kh n1b1 n2b2 n3b3a3a令波矢：K Kxi Kyj当波矢与倒格矢满足下列关系式时，能量将发生不连续的跳跃，即若以 kx、ky为直角20坐标，就形成了一个“
38、k”空间，在“k”空间中任意一点代表电子的一个状态，得到的曲线将把 k 空间分割成许多区域，这些区域就是布里渊区。K(K12Knn)0得：n1kx132n2 n1ky an213a2n2 n12（1）令n1=1，n2=0k14x3ky 3akyn1=-1，n2=0k14x3ky3an1=0，n2=1k2y 3ann21=0，2=-1ky3ann11=1，2=1kx3k4y3a，n11=-1，n2=-1kx3k 4y3a以 kx、ky为直角坐标，就可得到下图：图中表示的区域就是第一布里渊区；第一布区为菱形，其内接园半径R b2223a三、问答题：问答题：1.杜隆-珀替定律、德拜模型和爱因斯坦模型
39、各有何特点？解释其与实验结果偏差的原因？答：杜隆杜隆-珀替定律：珀替定律：根据经典统计的能量均分原理，每一个自由度的平均能量为KBT，其中12K T为平均动能，1B2KBT为平均势能，KB为玻尔兹曼常数，若固体中有 N 个原子，则总的平均能量为E 3NKBT（N 个原子3N 个谐振子（独立）。则原子的比热为CE VV3NKB，即比热是一个与温度无关的常数，这即为有关固体比热的杜隆V珀替定律（Dulong-Petit）。与实际情况对比与实际情况对比原因原因爱因斯坦模型：爱因斯坦模型：假设：（1）晶格子原子振动是相互独立的；（2）所有原子都以相同的频率振动，即v1 v2viv21kxhv/K T
40、1E U 3NKBThv/KBT hv/KBTBe12 hv ehv KBTCV 3NKB2K Thv KBT1Be2高温下，与 Dulong-Petit 定律一致。低温下，按指数规律趋向于零，与实验现象不符，表明爱因斯坦模型存在缺陷。这是因为“所有原子都以相同的频率振动”的假设过于简单。（要详细）（要详细）德拜模型（德拜模型（DebyeDebye）：假设：不可忽略低频振动对CV的贡献；将晶体可看作各向同性的连续介质，晶格振动看作是在连续介质中传播的弹性波11 hv E U KBTvmgvdv0hv/KBT1KBT2eehv KBTvm hv CV K0gvdv2K Thv KBT1Be2高温
41、下，与 Dulong-Petit 定律一致。低温下，与温度的三次方成正比，与实验现象相符，比经典模型和 Einstein 模型都有改进。但也有不足，只适用于振动频率较低的晶体，而不适应于包含有较高振动频率的化合物，因为存在高频率振动就不能把晶体作为连续体处理，晶格振动就不能用弹性波处理。（要详细）（要详细）2.用非简谐效应解释晶体的热膨胀和热传导等物理性质。若考虑晶格振动势能2以上高次项，如3项，则：1 d2u 21 d3u 3u(r)u(a)322！dr3!dra其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的，在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。因此原子振动时，随着振幅（即振动总能
42、量）的增加，原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A、B 曲线所示，可以想见，随着温度的升高，原子振动加强，原子间距离增大，由此而产生热膨胀：U(r)1 d2u 令 f2dr2a1 d3u g3!dr3aaB则u(r)u(a)f2 g3根据彼耳兹曼统计，平均位移为：rA22eu/K TdBeu/KBTd计入非简谐项时eu/KBTdef2g3/KBTg 31/2KBTdKBT4f1/25/2 2KBT u/KBTdf2g3/KBTd eef3 gKBT4 f21 d3 KBga dT4 f2aK为常数线膨胀系数为：k 显然若考虑ua 展开式中3以上的更高次项，则 K 将同温度有关。同样，依此
43、类推。讨论热传导的情况。如：同样，依此类推。讨论热传导的情况。如：如果不考虑电子对热传导的贡献，则晶体中的热传导主要靠声子来完成。设晶体的单位体积热容量为 C，晶体的一端温度为T1，另一端温度为T2。温度高的那一端，晶体的晶格振动将具有较多的振动模式和较大的振动幅度，也即较多的声子被激发，具有较多的声子数。当这些格波传至晶体的另一端，使那里的晶格振动趋于具有同样多的振动模式和幅度，这样就把热量从晶体一端传到另一端。如果晶格振动间也即声子间不存在相互作用，则热传导系数 k 将为无穷大，即在晶体间不能存在温度梯度温度梯度。3.陶瓷中晶界对材料性能有很大的影响，试举例说明晶界的作用。晶界是一种面缺陷
44、，是周期性中断的区域，存在较高界面能和应力，且电荷不平衡，故晶界是缺陷富集区域，易吸附或产生各种热缺陷和杂质缺陷。与体内微观粒子（如电子）相比，晶界微观粒子所处的能量状态有明显差异，称为晶界态。在半导体陶瓷中，通常可以通过组成、制备工艺的控制，使晶界中产生不同起源的受主态能级，在晶界产生能级势垒，显著影响电子的输出行为，使陶瓷产生一系列的电功能特性（如 PTC 特性、压敏特性、大电容特性等）。这种晶界效应在半导体陶瓷的发展中得到了充分的体现和应用。4.从能带理论和导电率的角度简述绝缘体、半导体、导体的导电或绝缘机制。答：（1）在金属能带中，价带与导带迭合、价带中存在空能级或者价带全满但导带中有
45、电子，故电子易迁移进入较高能量状态的空能级中，金属具有优异的导电性；从电导率角度讲，由于金属的可自由移动电子较多，所以电导率很大，并且电导率随着温度的升高而降低。（2）在绝缘体的能带中，其价带全部填满，而导带全部为空能级，在价带与导带之间存在很宽的禁带（3.0eV），因而电子难以由价带跃迁到导带中，绝缘体的导电性很差；从23电导率角度讲，由于绝缘体的可自由移动电子很少，所以电导率很小，并且电导率随着温度的升高而升高。（3）半导体的能带结构与绝缘体相似，但其禁带较窄（3.0eV），因而在外电场激发下（如热激发），电子可由价带跃迁进入导带中而导电。如果在禁带中靠近导带（或价带）的位置引入附加能级（
46、施主或受主）将显著提高半导体的导电性。5.经典的自由电子理论的要点，用其解释金属的电性能。答：要点：金属晶体就是靠自由价电子和金属离子所形成的点阵间的相互作用而结合在一起的，这种相互作用称为金属键。（1）金属中存在大量可自由运动的电子，其行为类似理想气体；（2）电子气体除与离子实碰撞瞬间外，其它时间可认为是自由的；（3）电子电子之间的相互碰撞（作用）忽略不计；（4）电子气体通过与离子实的碰撞而达到热平衡。电子运动速度分布服从M-B 经典分布。在金属中的自由价电子的数目是较多的且基本上不随温度而变，所以当温度升高的时候，金属电导率的变化主要取决于电子运动速度。因为晶格中的原子和离子不是静止的，它
47、们在晶格的格点上作一定的振动，且随温度升高这种振动会加剧，正是这种振动对电子的流动起着阻碍作用，温度升高，阻碍作用加大，电子迁移率下降，电导率自然也下降了。6索莫非量子理论的成功之处。答：金属中的电子不受任何其它外力的作用，彼此间也无相互作用，可把它看成是在一个长、宽、高分别为a、b、c 的方匣子中运动的自由粒子，在金属内部每一个电子的势能是一个常数（或零），在边界处和边界外面的势能则为无穷大。所以，可把金属中的电子看成是在具有一定深度势阱中运动的自由电子，把这样一个体系作为三维势箱中的平动子来考虑。成功之处：1.解释了金属键的本质。（详细解释）（详细解释）2.对电子的比热问题进行了较好的解释
48、。（详细解释）（详细解释）7.原子间相互作用是固体形成的基础，固体中共有哪几种原子作用方式？指出它们的共同点和各有什么特点？答：原子间相互作用是固体形成的基础，固体中有以下几种原子作用方式：离子键、共价键、金属键、范德华键、氢键和混合键。尽管有多种结合力类型，但这些不同类型的结合力存在某些具有共性的普遍性质，具体表现为两原子间的相互作用力随原子间距离发生变化。当两原子相距无穷远时，f(r)近似为零；当两原子相互靠近时，原子间产生吸引力（f(r)0），且随着距离的减少，吸引力增大；r=rm时，f(r)即吸引力达到最大；r 继续减少时，吸引力趋于减少；达到r=r0时，吸引力和排斥力平衡，则 f(r
49、)=0；当 rr0时，相互间作用力性质为排斥力，且随着距离缩短而急剧增大。离子键的基本特点：以离子而非原子为基本结合单位；没有方向性和饱和性。其元素特点：电离能较小的金属原子和电子亲和能较大的非金属元素。其基本形成过程：最外层电子的得失而形成具有满壳层的正负离子，正负离子因库仑力而靠近，相互靠近到电子云重迭时产生排斥力。24共价键的基本特点：两个原子之间存在一对自旋相反的共有电子；有方向性和饱和性。金属键的基本特点：通过共有化电子和离子实之间相互作用而形成；没有明显方向性和饱和性。范德华键的基本特点：分子之间的相互作用力；通过电偶极距（极性分子之间）、诱导偶极距（极性分子与非极性分子之间）、瞬
50、时偶极距（非极性分子之间）的相互作用而结合；没有方向性和饱和性。氢键的基本特点：一个氢原子同时与两个电子亲和能大、原子半径较小的原子结合而形成的特殊结合；有方向性和饱和性。8.按缺陷在空间分布的情况，对晶体的缺陷进行分类，并举例说明掺杂对材料结构和性能的影响。点缺陷：本征热缺陷（弗仑克尔缺陷，肖脱基缺陷），杂质缺陷（置换、填隙），色心，极化子线缺陷：刃型位措，螺旋位措面缺陷；小角晶界，晶界，堆积缺陷体缺陷；孔洞，聚集，微裂纹 在 Fe 中掺杂 C，使 C 聚集在晶界，提高 Fe 的韧性；在 Si 中掺杂微量 P、B 等元素能使 Si 成为半导体，电导率得到大幅度提高。在白宝石 Al2O3晶体中