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1、李明远李明远内蒙古财经学院内蒙古财经学院统计与数学学院统计与数学学院引 论原 型model 指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。Prototype 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。模 型与模 型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型、物理模型思维模型、符号模型、数学模数学模型型数学模型 “数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。”更简洁地，也可以认为“数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。”本德（）一般地说，数学模型可以描述为：
2、对于现实世界地一个特定对象特定对象，为了一个特定目的特定目的，根据特有的内在规律内在规律，做出一些必要的简化假设简化假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学模型 甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？解方程组用x，y分别代表船速和水速，得方程描述性的描述性的数学模型数学模型解释性的解释性的数学模型数学模型按按照照人人们们对对原原型型的的认认识识过过程程分分为为类分人口人口模型模型交通交通模型模型电气系电气系统模型统模型通信系通信系统模型统模型机电系机电系统模型统模型环境环境模型模型传染病传染病模型模型水
3、资源水资源模型模型再生资源利再生资源利用模型用模型污染污染模型模型生态生态模型模型按按照照模模型型的的应应用用领领域域分分为为 类分几何几何模型模型代数代数模型模型图论图论模型模型规划论规划论模型模型微分方微分方程模型程模型最优最优控制控制模型模型信息信息模型模型随机随机模型模型决策与对策决策与对策 模型模型模拟模拟模型模型按按照照建建立立模模型型的的数数学学方方法法分分为为 类分静态模型静态模型和和动态模型动态模型确定性模型确定性模型和和随机模型随机模型离散模型离散模型和和连续性模型连续性模型线性模型线性模型和和非线性模型非线性模型按按照照模模型型的的特特征征分分为为 类分白箱模型白箱模型灰
4、箱模型灰箱模型黑箱模型黑箱模型按按照照对对模模型型结结构构的的了了解解程程度度分分为为 类分作 用预报与决策：生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，都是决策模型的例子。控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。分析与设计 例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队
5、策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折 衷逼真性和可行性 建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，“费用费用”与与“效益效益”之间作出折衷和选择。之间作出折衷和选择。数学模型的特点折 衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近渐近性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型。模型。数学模型的特点渐 近折
6、衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健强健性 一个好的模型应该具有下述意义的强健性：一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有相应的微小的变化。相应的微小的变化。数学模型的特点强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制可转移可转移性 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就
7、常的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。常借用物理领域中的模型。数学模型的特点可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制非预制性 模型的非预制性使得建模本身常常是事先没模型的非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（有答案的问题（Open-end-problemOpen-end-problem）。在建立新）。在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或者的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或者概念的产生。概念的产生。数学模型的特点非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理条理性 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实从建模的角度考虑问题可以促使人们
8、对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。数学模型的特点条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺技艺性 从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。比一些具体的数学知识更大。数学模型的特点技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限局限性 1.1.当结论应用于实际问题，就回到的现实世界，那当结论应用于实际问题，就回到的现
9、实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。和精确性只是相对的和近似的。2.2.由由于于人人们们认认识识能能力力和和科科学学技技术术发发展展水水平平的的限限制制，还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。3.3.还还有有些些领领域域中中的的问问题题今今天天尚尚未未发发展展到到用用建建模模的的方方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。数学模型的特点开设目的 对数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，
10、也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。传统的数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试。商人过河 建模示例之 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎么样才能安全渡河呢?分析：安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决
11、策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的。模型构成 记第 次渡河前此岸的商人数 ，随从数为 .将二维向量定义为状态状态。安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合允许状态集合，记做 .模型构成 记第 次渡河渡船上的商人数 ，随从数为 .将二维向量定义为决策决策。允许状态集合允许状态集合，记做 .由小船的容量可知 因为 为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决策 变化的规律是 ，称之为状态转移律。状态转移律。这样制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策求决策 ，
12、使状态，使状态 按照转移律，由初始状态按照转移律，由初始状态 经经有限步有限步 到达状态到达状态 。模型构成 O 1 2 3 xy321模型求解 在商人和随从人数不大的简单情况，用图解法比较简便。这里讲述的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便的求解。适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。评评注注差分方差分方程建模程建模比例性、几比例性、几何相似性何相似性模型模型 拟合拟合实验实验建模建模模拟方模拟方法建模法建模量纲分析量纲分析和和相似性相似性离散模型离散模型的优化的优化图论建模图论建模离散概率离散概率模型模型微分方程微分方程模型模型函数图表函数图表构成模型构成模型设船速和水速为常数x，y表示船速和水速匀速运动中 s=vt二元一次方程解出 x20，y=5船速为20km/h水速为5km/h根据建模根据建模的目的和的目的和问题的背问题的背景作出必景作出必要的简化要的简化假设假设用字母表用字母表示待求的示待求的未知量未知量利用相应利用相应的物理和的物理和其他规律其他规律求出数学上求出数学上的解答的解答用这个答用这个答案解释原案解释原问题问题列出数学式子列出数学式子验证合 格