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1、-函数解析式的七种求法函数解析式的七种求法一、一、待定系数法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例例1 1 设f(x)是一次函数，且f f(x)4x 3，求f(x)解解：设f(x)ax b(a 0)，则二、配凑法二、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要 注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例例 2 2 已知式。112f(x)x 2(x 0)xx，求f(x)的解析111解：解：f(x)(x)22，x 2xxx三、换元法：三、换元法：已知复合函数fg(x)的
2、表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要 注意所换元的定义域的变化。.z.-例例3 3 已知f(解解：令t x 1)x 2 x，求f(x 1)x 1，则t 1，x (t 1)2四、代入法四、代入法：求已知函数关于*点或者*条直线的对称函数时，一般用代入法。例例4 4 已知：函数y x2 x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式。解解：设M(x,y)为y g(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点x x2 2x x 4则，解得：，y yy 6 y 32点M(x,y)在y g(x)上x x 4把代入得：y 6 y整理得y x27
3、x 6五、五、构造方程组法构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例例5 51f(x)满足f(x)2 f()x,求设xf(x)1解解f(x)2 f()xx1显然x 0,将x换成，得：x.z.-11f()2 f(x)xx解联立的方程组，得：例例 6 6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1,x 1试求f(x)和g(x)的解析式解解f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1，x 11x 1用 x替换x得：f(x)g(x)即f(x)g(x)1x 1解联立的方程组，得f(x)11，g(x)22x
4、1x x六、赋值法六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例例7 7 已知：f(0)1，对于任意实数*、y，等式f(x y)f(x)y(2x y 1)恒成立，求f(x)解解对于任意实数*、y，等式f(x y)f(x)y(2x y 1)恒成立，不妨令x 0，则有f(y)f(0)y(y 1)1 y(y 1)y2 y 1.z.-再令 y x得函数解析式为：f(x)x2 x 1七、七、递推法递推法：若题中所给条件含有*种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例例 8 8 设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b都有f(a)f(b)f(a b)ab，求f(x)解解f(a)f(b)f(a b)ab，a,b N，不妨令a x,b 1，得：f(x)f(1)f(x 1)x，又f(1)1,故f(x 1)f(x)x 1分别令式中的x 1,2n1得：将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，.z.