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1、学习必备 欢迎下载 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf 解：设baxxf)()0(a，则 babxabbaxabxafxff2)()()(342baba 3212baba或 32)(12)(xxfxxf或 二、配凑法：已知复合函数()f g x的表达式，求()f x的解析式，()f g x的表达式容易配成()g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x的值域。例2 已知221)1(xxxxf)0(x，求()f x的
2、解析式 解：2)1()1(2xxxxf，21xx 2)(2xxf )2(x 三、换元法：已知复合函数()f g x的表达式时，还可以用换元法求()f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知xxxf2)1(，求)1(xf 解：令1 xt，则1t，2)1(tx xxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf 1)(2xxf)1(x xxxxf21)1()1(22)0(x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式 学习必备 欢迎下载 解：设),(yxM为)(x
3、gy 上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点 则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy 上 xxy2 把yyxx64代入得：)4()4(62xxy 整理得672xxy 67)(2xxxg 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf 解 xxfxf)1(2)(显然,0 x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(解 联立的方程组，得：xxxf323)(例6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试
4、求)()(xgxf和的解析式 解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxf 又11)()(xxgxf ，数且求解设则或或二配凑法已知复合函数的表达式求的解析式的表达式容易配成的运算形式时常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域而是的值域例已知求的解析式解三换元法已知复合函数的表达式时还可以者某条直线的对称函数时一般用代入法例已知函数与的图象关于点对称求的解析式学习必备欢迎下载解设为上任一点且为关于点的对称点则解得点在上把代入得整理得五构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进为奇函数又试求和的解析式解为偶函数为奇函数又学习必备欢迎下载用替
5、换得即解联立的方程组得利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法但在教学过程中很多学生对用判别式求值域掌握不好一学习必备 欢迎下载 用x替换x得：11)()(xxgxf 即11)()(xxgxf 解 联立的方程组，得 11)(2xxf，xxxg21)(利用判别式求值域时应注意的问题 用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据 例1、求函数122xxxxy的值
6、域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由122xxxxy得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是关于x 的一元二次方程 13111,1310)1(4)1(222，xxxxyyy，yyy的值域为又解得令 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 例：求函数322122xxxxy的值域。错解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy （）Rx，0)13)(12(4)12(2yyy，解
7、得21103y。数且求解设则或或二配凑法已知复合函数的表达式求的解析式的表达式容易配成的运算形式时常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域而是的值域例已知求的解析式解三换元法已知复合函数的表达式时还可以者某条直线的对称函数时一般用代入法例已知函数与的图象关于点对称求的解析式学习必备欢迎下载解设为上任一点且为关于点的对称点则解得点在上把代入得整理得五构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进为奇函数又试求和的解析式解为偶函数为奇函数又学习必备欢迎下载用替换得即解联立的方程组得利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法但在教学过程中很多学生对用
8、判别式求值域掌握不好一学习必备 欢迎下载 故所求函数的值域是21,103 错因：把21y代入方程（）显然无解，因此21y不在函数的值域内。事实上，21y时，方程（）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为0)13()12()12(2yxyxy （）（1）当21y时，方程（）无解；（2）当21y时，Rx，0)13)(12(4)12(2yyy，解得21103y。综合（1）、（2）知此函数的值域为)21,103 二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化 例2：求函数63422xxxxy的值域。错解：将函数式化为0)36()4()1(2yxyxy（1）当1y时，代入上式
9、得093 x，3x，故1y属于值域；（2）当1y时，0)25(2y，综合（1）、（2）可得函数的值域为Ry。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3x与2x虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3x与2x时方程中相应的y值。所以正确答案为1|yy，且52y。三、注意变形后函数值域的变化 例3：求函数21xxy的值域。错解：由已知得21xxy ，两边平方得221)(xxy 整理得012222yyxx，由0)1(8)2(22yy，解得22y。故函数得值域为2,2。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为 1,1易知1xy，因此函数得最小值不可能为2。1x时，1y
10、，1miny，故函数的值域应为2,1。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性 数且求解设则或或二配凑法已知复合函数的表达式求的解析式的表达式容易配成的运算形式时常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域而是的值域例已知求的解析式解三换元法已知复合函数的表达式时还可以者某条直线的对称函数时一般用代入法例已知函数与的图象关于点对称求的解析式学习必备欢迎下载解设为上任一点且为关于点的对称点则解得点在上把代入得整理得五构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进为奇函数又试求和的解析式解为偶函数为奇函数又学习必备欢迎下载用替换得即解联立的方程组得利用判别式求值域时应注意的
11、问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法但在教学过程中很多学生对用判别式求值域掌握不好一学习必备 欢迎下载 例4：求函数5422xxy的值域。错解：令42 xt，则12tty，02ytyt，由0412y及0y得值域为21,0(y。错因：解法中忽视了新变元t满足条件2t。设ytyttf2)(，0y，),2t，2210)2(0)2(0,0yffy或520y。故函数得值域为520，（。综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合
12、要求。数且求解设则或或二配凑法已知复合函数的表达式求的解析式的表达式容易配成的运算形式时常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域而是的值域例已知求的解析式解三换元法已知复合函数的表达式时还可以者某条直线的对称函数时一般用代入法例已知函数与的图象关于点对称求的解析式学习必备欢迎下载解设为上任一点且为关于点的对称点则解得点在上把代入得整理得五构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进为奇函数又试求和的解析式解为偶函数为奇函数又学习必备欢迎下载用替换得即解联立的方程组得利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法但在教学过程中很多学生对用判别式求值域掌握不好一