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1、1微型专题微型专题 6 6 机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用知识目标核心素养1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别.1.进一步掌握机械能守恒定律的系统性和守恒条件的判定.2.体会动能定理和机械能守恒定律在解题中的区别，体会机械能守恒定律在解决多物体系统问题中的优越性，建构此类问题模型，培养科学推理和综合分析能力.一、机械能是否守恒的判断判断机械能是否守恒的方法：(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统机械能
2、守恒，具体有三种表现：只受重力、弹力，不受其他力；除受重力、弹力外还受其他力，其他力不做功；除重力、弹力外还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒例 1 (多选)如图 1 所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )图 12A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减少量等于斜劈
3、动能的增加量答案 BD解析 小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故 A 选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故 C 选项错误不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D 选项正确二、多物体组成的系统机械能守恒问题1多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的2关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系3机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或 EkEp来求解(2)当研究对
4、象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减少(或增加)，动能都在增加(或减少)，可优先考虑应用表达式 EkEp来求解若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式 EA增EB减来求解例 2 如图 2 所示，斜面的倾角30，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜1 2面的竖直边下落若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计图 2答案 123解析 设B刚下落到地面时速度为v
5、，由系统机械能守恒得：m2gm1gsin 30 (m1m2)v2H 2H 21 2A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：m1v2m1gsin 30，1 2H 2由得12.m1 m2针对训练 如图 3 所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕轴O无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放求当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？图 3答案 mgL mgL1 51 5解析 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgLmgLmvA2mvB21 21 2
6、1 2因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB2vA联立得：vA，vB.3gL 512gL 5根据动能定理，对A有：WAmg mvA20，L 21 2解得WAmgL.1 5对B有：WBmgLmvB20，解得WBmgL.1 21 5三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用例 3 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37、长为l2 m 的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R0.2 m 的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的其中AB与BC轨道以微小圆4弧相接，如图 4 所示一个质量m1 kg 的小物块以初速度v05 m/s
7、从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC4 m/s.取g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8.图 4(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？答案 (1)90 N (2)16.5 J (3)R0.32 m解析 (1)设小物块到达C点时受到的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有，FNmgmvC2 R解得：FN90 N根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为 90 N(2)小物块从A到C的过程中，根据动能定理有：mglsin 37Wfm
8、vC2mv021 21 2解得Wf16.5 J(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v1，为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，则v1gR小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：mvC2mv122mgR，当v1时，1 21 2gR联立解得R0.32 m，所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，竖直圆弧轨道的半径应满足R0.32 m.1(机械能是否守恒的判断)(多选)如图 5 所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上其正上方A位置有一只小球小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位5置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零对于小球下降阶段，下列说法中正确
9、的是(不计空气阻力)( )图 5A在B位置小球动能最大B在C位置小球动能最大C从AC位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒答案 BD解析 小球从B运动至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从C运动到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故 A 错误，B 正确小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D 正确；从AC位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故 C 错误2(多物体组成的系统机械能守恒问题)(多选)如图 6 所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂
10、在定滑轮的两侧开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是( )图 6A物块a的机械能守恒B物块b的机械能减少了mgh2 3C物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量D物块a、b与地球组成的系统机械能守恒答案 CD6解析 释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项 A 错误对物块a、b与地球组成的系统，只有重力做功，故机械能守恒，选项 D 正确物块a、b构成的系统机械能守恒，有(3m)gmgmv2 (3m)v2，解得v；物块b动能增加量为h 2h
11、21 21 2gh 2(3m)v2mgh，重力势能减少mgh，故机械能减少mghmghmgh，选项 B 错误由于1 23 43 23 23 43 4绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，选项 C 正确3(机械能守恒定律与动能定理的综合应用)如图 7 所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R0.4 m 的半圆形轨道CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与半圆形轨道在C处连接完好置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B处为弹簧原长状态的右端将一个质量为m0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球压缩弹簧至A处，然后将小球由
12、静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F158 N水平轨道以B处为界，左侧AB段长为x0.3 m，与小球间的动摩擦因数为0.5，右侧BC段光滑g10 m/s2，求：图 7(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力答案 (1)11.2 J (2)10 N，方向竖直向上解析 (1)对小球在C处，由牛顿第二定律、牛顿第三定律及向心力公式得F1mgm，vC2 R解得vC5 m/s.从A到B由动能定理得EpmgxmvC2，1 2解得Ep11.2 J.(2)从C到D，由机械能守恒定律得：mvC22mgRmvD2，1 21 2vD3 m/s，由于vD2 m/s，g
13、R7所以小球在D点对轨道外壁有压力小球在D点，由牛顿第二定律及向心力公式得F2mgm，解得F210 N.vD2 R由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为 10 N，方向竖直向上一、选择题1.如图 1 所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动在此过程中( )图 1A小球的机械能守恒B重力对小球不做功C轻绳的张力对小球不做功D在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量答案 C解析 斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩
14、擦力做负功，机械能减少，A、B 错，C 对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D 错2.如图 2 所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h，若将小球A换为质量为 2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )图 2A. B.2ghgh8C. D0gh 2答案 B解析 小球A由静止释放到下降h的过程中系统机械能守恒，则mghEp.小球B由静止释放到下降h的过程中系统机械能也守恒，则 2mghEp (2m)v2，解得v，故 B 正确1
15、2gh3.如图 3 所示的滑轮光滑轻质，空气阻力不计，M12 kg，M21 kg，M1离地高度为H0.5 m，g10 m/s2.M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落 0.3 m 时的速度为( )图 3A. m/s 2B3 m/sC2 m/s D1 m/s答案 A解析 对系统运用机械能守恒定律得，(M1M2)gh (M1M2)v2，代入数据解得v 1 22m/s，故 A 正确，B、C、D 错误4.如图 4 所示，小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A离地面足够高，物体A和B同时从静止释放，释放后短时间内B
16、能保持静止，A下落h高度时，B开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是( )图 4AB滑动之前，A机械能守恒BB滑动之前，A机械能减小CB滑动之前，A、B组成的系统机械能守恒9DB 滑动之后，A、B组成的系统机械能守恒答案 B解析 B滑动之前，A下落时，绳子的拉力对A做负功，A的机械能不守恒，由功能关系知，A的机械能减小，故 A 错误，B 正确；B滑动之前，A的机械能减小，B的机械能不变，则A、B组成的系统机械能减小，故 C 错误；B滑动之后，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则A、B组成的系统机械能不守恒，故 D 错误5.(多选)如图 5 所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端
17、固定于O点处将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点速度为v，AB间的竖直高度差为h，则( )图 5A由A到B重力做的功等于mghB由A到B重力势能减少mv21 2C由A到B小球克服弹力做功为mghD小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mghmv2 2答案 AD解析 重力做功只和高度差有关，故由A到B重力做的功等于mgh，选项 A 正确；由A到B重力势能减少mgh，选项 B 错误；由A到B小球克服弹力做功为Wmghmv2，选项 C 错误，1 2D 正确6.(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端2固定有质量为m的小球甲，另一端固定
18、有质量为 2m的小球乙现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图 6 所示，由静止释放后( )10图 6A下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点答案 AD解析 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑
19、到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点7.(多选)如图 7 所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图 7A小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC二、非选择题8.(机械能守恒定律的应用)一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸
20、长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的 2 倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图 8 所示已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小11图 8答案 22 25gR解析 设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有 2mgRmgR 2mv2mvB2，由图可知，A球的速度v与B球速度vB的关系21 21 2为vBv1vcos 45，联立解得v2.2 25gR9(机械能守恒定律的应用)如图 9 所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为 10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，
21、两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与球连接，处于静止状态同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：图 9(1)a球离开弹簧时的速度大小va；(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.答案 (1) (2)2 (3)(m110m2)gR5gR5gR5 2解析 (1)由a球恰好能到达A点知：m1gm1vA2 R12由机械能守恒定律得：m1va2m1v A2m1g2R1 21 2解得va.5gR(
22、2)对于b球由机械能守恒定律得：m2vb2 m2g10R1 2解得vb2.20gR5gR(3)由机械能守恒定律得：Epm1v a2m2vb21 21 2解得Ep(m110m2)gR.5 210(机械能守恒定律的应用)物块A的质量为m2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为0.6，水平面光滑坡道顶端距水平面高度为h1 m，倾角为37.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图 10 所示物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，求：图 10(1)物块滑到O点时的速度大小；(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；(3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度答案 (1)2 m/s (2)4 J (3) m1 9解析 (1)由动能定理得mghmv2mgh tan 1 2代入数据解得v2 m/s(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2Ep1 2代入数据解得Ep4 J(3)设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得0mv2mgh11 2mgh1 tan 代入数据解得 h1 m.1913