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1、-关于求积分的各种方法的总结摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线1.利用定义求积分例 1、计算积分x yix2dz，积分路径 C 是连接由 0 到1i的直线段.c解：y x0 x 1为从点 0 到点1i的直线方程，于是 1i.32.利用柯西积分定理求积分柯西积分定理：设fz在单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则fzdz 0.c柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，fz在闭域D DC上解析，则f
2、zdz 0.c例 2、求cos zdz，其中C为圆周z3i 1，cz i解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，cos z在以C为边界的闭圆z3i 1上解析，z icos z故由柯西积分定理的等价形式得dz0.cz i于是，如果D为多连通区域，有如下定理：Cn设D是由复周线C C0C1C2所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在D DC上连续，则fzdz 0.c例 3.计算积分z 16dz.z3z 1.z.-分析：被积函数Fz11在C上共有两个奇点z 0和z ，在z 1内z3z 13作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.解：显然，113
3、z3z 1z3z 111为心，充分小半径r 的圆 周1:z r及36任 作以z 0与 以z 12:z r，将二奇点挖去，新边界构成复周线C 12C:z 1.30.3.利用柯西积分公式求积分设区域D的边界是周线或复周线C，函数 fz在D内解析，在D DC上连续，则有fz1fdzD，即fd 2ifz.c z2ic z2z2 z 1dz的值，其中C:z 2例 4.计算积分cz 1解：因为 fz 2z2 z1在z 2上解析，z 1 z 2，2z2 z 1dz 2i 2z2 z 1.由柯西积分公式得z 2z 1设区域D的边界是周线或复周线C，函数 fz在D内解析，在D DC上连续，则函数 fz在区域D内
4、有各阶导数，并且有fnzn!fd2ic zn1zDn 1,2即c例 5.计算积分f2indfz.n1n!zcos zdz，其中C是绕i一周的周线.3cz i.z.-解：因为cos z在z平面上解析，所以cos z2idz cos z|zi icosi3c2!z ie1e i.2例 6.求积分c91d，其中C为圆周2 2.92dd解：cic921另外,若a为周线C内部一点，则dzcz an 0（n 1，且n为整数）.dz 2icz a4.应用留数定理求复积分fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域D DC上除a1,a2,an外连续，则fzdz 2iResfz.ck1z
5、akn设a为 fz的n阶极点，fzzz an，其中z在点a解析，a 0，则Res fzzan1an1!.例 7.计算积分5z 2dz2z 2z z 15z 2在圆周z 2的内部只有一阶极点z 0及z 1，2zz 1解：被积函数 fz因此，由留数定理可得5z 2z 2zz 12dz 2i22 0.z.-cos zdz.z 1z3cos z解：fz3只以z 0为三阶极点，z例 8.计算积分由留数定理得cosz1 2idz i.z 1z325.用留数定理计算实积分*些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积
6、分.5.1 计算Rcos,sind型积分02z z1z z1dz令z e，则cos，sin，d，22iizi此时有例 9.220 z z1z z1 dzRcos,sindR,iz.z 122i0da 1acos1dz，z z1，diz2解：令z ei，则cosI 2dz2，其中，aa21，aa 1iz 1z z 1,1,1，应用留数定理得I 2a 12.若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，0因为此时Rcos,sind01iz e，仍然令.R cos,sind2例 10.计算taniad（a为实数且a 0）01 e2iai1分析：因为tania2iai，i e1直接令e2iai z，则dz e2iai2id，.z.-于是tania解：I 1 z 1.i z 11z 1 11z 1dz dzicz 1 2iz2czz 1应用留数定理，当a 0时，I i当a 0时，I i.5.2 计算Pxdx型积分Qx例 11.计算x4dx23xz424.解：函数fz23z24在上半平面内只有z 2i一个四阶极点，3令2i a，za t3z4则fz223z 4即Res fz 2zi31234323i3i576 6故x4dx23x24 2ii.576 6288 6.z.