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1、第 5 章各种利率5.1 利率的种类国债利率伦敦同业拆放和拆借利率（LIBOR和LIBID）回购利率（repo,repurchase agreement）零息利率，即期和远期利率5.2 利率的度量复利复利假设数额假设数额A以利率以利率R投资了投资了n年。如果利息按每一年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计如果每年计m次复利，则终值为：次复利，则终值为：连续复利连续复利当当m趋于无穷大时，就称为连续复利趋于无穷大时，就称为连续复利(Continuous Compounding)，此时的终值为，此时的终值为 （根据极限公式：（根据极限公式：
2、）复利的效果表表4-1表示了提高复利频率所带来的效果。从表表示了提高复利频率所带来的效果。从表4-1可以看出，可以看出，连续复利（精确到小数点后两位）与每天计复利得到的效果连续复利（精确到小数点后两位）与每天计复利得到的效果一样。因此，通常可以认为连续复利与每天计复利等价。在一样。因此，通常可以认为连续复利与每天计复利等价。在实证中有时也近似地将每周复利与连续复利等价。实证中有时也近似地将每周复利与连续复利等价。1元钱按照不同股票收益率连续复利的效果10年20年40年80年100年51.632.657.0449.56131.50102.596.7345.262048.413780.6154.0
3、516.37267.8671750.91174313现实案例：巴菲特旗下的伯克希尔现实案例：巴菲特旗下的伯克希尔.哈撒韦公司股票哈撒韦公司股票连续复利的转换假设假设 是连续复利的利率，是连续复利的利率，是与之等价的每年计是与之等价的每年计m次复次复利的利率，我们有：利的利率，我们有：和和 通过上述等式，我们可以实现每年计通过上述等式，我们可以实现每年计m次复利的利率与连次复利的利率与连续复利之间的转换续复利之间的转换5.3 零息率n年期零息利率指的是：从年期零息利率指的是：从现在现在开始开始持续持续n年年的一笔投资获得的利息率的一笔投资获得的利息率所有投资的利息收入和本金都是在到期时刻所有投资
4、的利息收入和本金都是在到期时刻 支付的支付的也被称为即期利率也被称为即期利率5.4 债券的定价将债券持有者将来收到的所有现金流贴现的现值求和此方法要求已知各期的零息率例：表4-2表4-2 债券的价格：为了计算债券的现金价格，我们需要将债券的价格：为了计算债券的现金价格，我们需要将每一个现金流按照合适的即期利率进行贴现每一个现金流按照合适的即期利率进行贴现在本例中，息票率为在本例中，息票率为6%、每半年支付息票数额的一、每半年支付息票数额的一半的两年期债券的理论价格为：半的两年期债券的理论价格为：思考：如果表思考：如果表4.2中的利率不是连续复利，而是半年计息一中的利率不是连续复利，而是半年计息
5、一次的利率，债券的价格如何计算？次的利率，债券的价格如何计算？债券收益率（bond yield）也叫到期收益率（也叫到期收益率（Yield to Maturity），指的是），指的是投投资者从买入债券之日起至债券到期日所获得的收益资者从买入债券之日起至债券到期日所获得的收益率。率。其计算方法是使得债券获得的现金流的现值等其计算方法是使得债券获得的现金流的现值等于债券的市场价格时求出的贴现率于债券的市场价格时求出的贴现率到期收益率计算公式：到期收益率计算公式：假定本例中债券的市场价格等于其理论价格假定本例中债券的市场价格等于其理论价格 98.39那么债券收益率就是使得下式成立的那么债券收益率就是
6、使得下式成立的y 得到得到 y=0.0676 即即 6.76%将将2年的到期收益率与年的到期收益率与2年期即期利率进行比较年期即期利率进行比较平价收益率（par yield）是使债券价格等于面值（par value）的券息率（coupon rate）。假定债券每年支付的的券息为c（或每6个月支付c/2）。根据表4-2的零息利率：求解得平价收益率为：c=6.87%（按半年复利）或c=6.75%（按连续复利）C的直接求解公式：d为现值系数，A为年金现值系数，m为每年付息的次数5.5 零息票收益率曲线的确定如何通过长期国债的价格得到零息票收益率如何通过长期国债的价格得到零息票收益率息票剥离法息票剥离
7、法通过附息票债券计算零息票收益率曲线（即期利率）（表4.3）债券债券到期到期年息票年息票债券债券本金本金期限期限价格价格(美元美元)(年年)(美元美元)(美元美元)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6用表4.3中的数据计算出的零息票收益率曲线 零息票收零息票收益率益率(%)到期日到期日(年年)10.12710.46910.53610.68110.808图图4.1 910111200.511.522.5即期利率(%)到期期限(年)利率期限结构5.6 远期利率 远期利率是指未来某一段时期内的利率远期利率是指未来
8、某一段时期内的利率 它隐含在当前的即期利率期限结构中它隐含在当前的即期利率期限结构中r2r1T1T20远期利率的计算表 4.1 年期投资的年期投资的第第 年的年的n即期利率即期利率n远期利率远期利率年年(n)(%per annum)(%per annum)110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5远期利率的计算公式假定到期日为假定到期日为 T1 和和 T2 的即期利率分别为的即期利率分别为 r1和和 r2，两个利率都为连续复利，两个利率都为连续复利那么在那么在 T1 到到 T2之间的这段时间的远期利率为之间的这段时间的远期利率为 (4.1)零息票收益率（
9、即期利率）曲线表示即期利率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲表示即期利率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线线如果如果 ，那么收益率曲线向上倾斜；同时由公式，那么收益率曲线向上倾斜；同时由公式 所以所以 ，即远期利率应高于零息票收益率，即远期利率应高于零息票收益率即期利率(%)到期期限(年)远期利率附息票债券收益率零息票收益率图4.2 收益率曲线向上倾斜时（常见）5.7 远期利率协议一个远期利率协议（一个远期利率协议（forward rate agreement，FRA）是一个远期合约，合约双方同意在未来的）是一个远期合约，合约双方同意在未来的某个时间段，按照某个确定的利率借入或贷出某
10、某个时间段，按照某个确定的利率借入或贷出某个确定本金个确定本金其中，一方承诺在未来的某个时刻（其中，一方承诺在未来的某个时刻（T 时刻）将时刻）将一定数额的名义本金（一定数额的名义本金（L）按约定的合同利率）按约定的合同利率（RK）在一定的期限）在一定的期限(T2T1）贷给另外一方）贷给另外一方RK为使得协议在签署时价值为零的利率，即为为使得协议在签署时价值为零的利率，即为0 时时 刻的远期利率，刻的远期利率，远期利率协议中通常不用连续复利，而是按协议中的贷款期限作为复利频率计复利，如T2-T1=0.25，则为3个月利率远期利率协议是差价结算（合同利率RK与T1时刻的市场利率RM）因此，又可以
11、将FRA认为是一方以固定利率RK获得利息，并支付RM的利息；另一方以固定利率RK支付利息，并获得实际市场利率RM的利息利率互换其中RK是合同利率，RM是T1时刻的市场利率问题：1.在何时交割？2.如何交割？RkRM0T1T2 例：公司例：公司A与与B签订一个本金为签订一个本金为1百万元的百万元的“3M6M”以以SHIBOR为标准的为标准的FRA，远期利率定为，远期利率定为4%。3个月后（参个月后（参考日）进行结算，此时考日）进行结算，此时3个月个月SHIBOR为为4.5%。其结算现。其结算现金流应该为多少？金流应该为多少？其中其中A在期末（在期末（6个月后）的现金流为个月后）的现金流为1000
12、000(0.4-0.45)0.25=-1250元，元，因此最终因此最终FRA的结算现金流为的结算现金流为A向向B支付支付1250元在元在3个月后个月后的现值，即按照市场利率的现值，即按照市场利率4.5%贴现以后的金额：贴现以后的金额：1250/(1+0.0450.25)=1236.09万元万元 A公司 B公司 FRA，贷出，贷出FRA，借方，借方结算的时间：T1时刻交割方式：现金结算，净利息的贴现支付愿意支付固定利息（同时收到浮动利息如LIBOR）为借方；承诺支付浮动利息来获得固定利息收入的是贷方FRA通常被商业银行用于将浮动利率的存款利息支出锁定为固定利率的支出，或将浮动利率的贷款收入锁定为
13、固定利率的收入FRA的定价 久期所谓久期（所谓久期（Duration）是用来衡量债券持有者在收）是用来衡量债券持有者在收到现金付款之前，平均需要等待多长时间。期限为到现金付款之前，平均需要等待多长时间。期限为n年的零息票债券的久期就为年的零息票债券的久期就为n年，而期限为年，而期限为n年的附年的附息票债券的久期则小于息票债券的久期则小于n年年假定现在是假定现在是0时刻，债券持有者在时刻时刻，债券持有者在时刻 ti 收到的现金收到的现金流为流为 ci。则债券价格。则债券价格B与收益率与收益率y（连续复利）的关（连续复利）的关系就为：系就为：在时刻在时刻ti 提供提供 c i 现金流的债券的久期定
14、义为：现金流的债券的久期定义为：其中其中 B 是价格，是价格，y 是收益率是收益率(连续复利连续复利)对（对（4.6）求）求y的偏微分，这使得下式成立的偏微分，这使得下式成立如果我们将收益曲线微量平移，使所有期限的利率如果我们将收益曲线微量平移，使所有期限的利率都增加都增加y，则所有债券的收益率也都增加了，则所有债券的收益率也都增加了y，由公式（由公式（4.9）可知，债券价格增加了）可知，债券价格增加了B，其中：，其中：即即这表明债券价格变化的百分比就等于其久期乘以收这表明债券价格变化的百分比就等于其久期乘以收益曲线的平行增量益曲线的平行增量当收益率当收益率 y 是每年复利是每年复利 m 次的利率时次的利率时表达式表达式 称为称为“修正的久期修正的久期”债券组合的久期债券组合的久期等于组合中每种债券的久期的加权平均，其权重与相应债券价格成正比。假设债券所有的收益率的变化相同。