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1、第三章 一元一次方程知识点归纳一、一元一次方程一、一元一次方程1.方程：含有未知数的等式叫做方程。2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程可以化为 ax+b=0（a0）的形式，分母中不能含有未知数。4.求方程的解叫做解方程二、等式的性质（解方程的依据）二、等式的性质（解方程的依据）1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么 ac=bc。2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么 ac=bc，=（c0）拓展：对称性
2、：如果 a=b，那么 b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；传递性：如果 a=b，b=c，那么 a=c（等量代换）三、一元一次方程的解法三、一元一次方程的解法1.移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。移项要变号。2.解形如 mx+p=nx+q 的一元一次方程（1）移项：根据等式性质，将含未知数的项移到方程的一边（通常是等号左边），常数项移到方程的另一边（通常是等号右边）mx-nx=q-p（2）合并同类项：化方程为 ax=b（a，b 为已知数，a0）的形式（m-n）x=q-p（3）未知数系数化为 1：根据等式性质，将方程从 ax=b 的形式化为
3、 x=的形式x=（4）算出的值，即为方程的解2.解含有括号的方程：（1）根据去括号法则去括号；（2）移项；（3）化成标准形式 ax=b；（4）系数化为 1.注意：（1）去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；（2）括号前面的系数要及括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。3.去分母解一元一次方程第 1 页（1）去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数。（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为 1四、一元一次方程模型的应用（难点）四、一元一次方程模型的应用（难点）1.一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。弄清题目中“
4、几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。解方程模型应用的几种类型解方程模型应用的几种类型一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。找等量关系：从题目中的关键语句入手寻找等量关系；利用某些基本公式寻找等量关系；从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。主要的应用模型有以下几类：主要的应用模型有以下几类：不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系
5、列出方程。（一）行程问题（一）行程问题行程问题中有三个基本量：路程路程、时间时间、速度速度。等量关系为：路程=速度时间；速度=路程/时间；时间=路程/速度1.1.航行问题航行问题顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度+水流速度（风速）静水（无风）速度。2.2.相遇问题相遇问题A 走的路程+B 走的路程=两地之间的距离3.3.追击问题追击问题同时不同地出发：A 走的路程-B 走的路程=被追赶的路程（A、B 出发时相距的距离）4.4.环形问题环形问题第
6、2 页（1）同向行驶，如果 A 速度较快，则 A 走的路程-B 走的路程=n 环/圈（n 表示第 n 次相遇）（2）反向行驶，A 走的路程+B 走的路程=n 环/圈（n 表示第 n 次相遇）（二）工程问题（二）工程问题1.工程问题的基本量有：工作量工作量、工作效率工作效率、工作时间工作时间。关系式为：工作量=工作效率工作时间；工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为 t，则工作效率为 1/t。3.常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，A 工作量+B 工作量=总工作量。如果以时间作
7、相等关系，对于同一工作：A 工作时间-B 工作时间=时间差一般情况下，合作的工作效率=A 工作效率+B 工作效率（三）销售计费问题（三）销售计费问题销售类问题主要体现为三大类：销售利润问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。（1 1）价格费用问题）价格费用问题费用问题中的基本量：费用（总价）费用（总价）、单价单价、数量数量基本关系式有费用（总价）=单价数量分段计费：总费用=第一阶段单价数量+第二阶段单价数量+（2 2）销售利润问题）销售利润问题利润问题中有四个基本量：成本（进价）成本（进价）、销售价（收
8、入）销售价（收入）、利润利润、利润利润率率。基本关系式有：利润销售价（收入）-成本（进价）；成本（进价）销售价（收入）-利润；利润率；利润成本（进价）利润率。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。打折：n 折即表示标价的 n/10，如 7 折为 70%第 3 页（3 3）存贷问题（利息、利润问题）存贷问题（利息、利润问题）存贷问题中有本金、利息、利率、本息本金、利息、利率、本息等基本量。其关系式有：利息本金利率期数；本息和（本利）本金+利息（四）溶液配比问题（四）溶液配比问题溶液配比问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合溶质（纯净
9、物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）物）、浓度（含量）。其关系式为：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；浓度=100%100%；100%100%。纯度（含量）=（五）数字问题（五）数字问题由可得到：溶质=浓度溶液=浓度（溶质+溶剂）。一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=（数位上的数字位权）（54=510+4）如两位数 ab=10a+b；三位数 abc=100a+10b+c（六）比例问题（六）比例问题比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。比例问题中主要考虑总量及部分量之间的关系，或是量及量之间的比例关系。调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。（七）设中间变量的问题（七）设中间变量的问题一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。第 4 页