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1、第二章资产配置第二章资产配置问题的出发：无论是个人投资者还是机构投资者，问题的出发：无论是个人投资者还是机构投资者，进行投资活动中，一般都进行组合投资。那么我们进行投资活动中，一般都进行组合投资。那么我们就要研究在投资组合中的资产配置问题，也就是资就要研究在投资组合中的资产配置问题，也就是资产组合中证券的构成比例问题了。产组合中证券的构成比例问题了。C是我们持有的资产组合，是我们持有的资产组合，C里有里有A、B、C、D、。、。只证券，现在要考虑的问题是每只证券在。只证券，现在要考虑的问题是每只证券在C中中比重。比重。这个问题可以被分解为两个问题：这个问题可以被分解为两个问题：首先假设在首先假设
2、在C中的证券我们可以分为两类，一种是中的证券我们可以分为两类，一种是无风险资产，一种是风险资产。无风险资产一般就无风险资产，一种是风险资产。无风险资产一般就是短期国债，是单一的证券，而风险资产包括很多是短期国债，是单一的证券，而风险资产包括很多种证券，因此风险资产我们看作是由多种种证券，因此风险资产我们看作是由多种证券组成的风险资产组合。所以第一个问证券组成的风险资产组合。所以第一个问题是在题是在C中无风险资产和风险组合的最优比中无风险资产和风险组合的最优比重问题。重问题。C（P，F），），WP、WF然后我们确定风险资产组合然后我们确定风险资产组合P中每种风险证中每种风险证券的最优比重，最后每
3、种风险证券在券的最优比重，最后每种风险证券在C中比中比重就可以得到。重就可以得到。分为两节：分为两节：1、无风险资产、无风险资产与风险资产的配置与风险资产的配置2、最优风险资产组合、最优风险资产组合风险资产与无风险资产的配置风险资产与无风险资产的配置无风险资产的确定无风险资产的确定政府凭借征税和货币的供给，才可以发行政府凭借征税和货币的供给，才可以发行无风险债券。因此我们一般认为短期国债无风险债券。因此我们一般认为短期国债为最典型的无风险资产。为最典型的无风险资产。注意：它的市场价格对于市场的利率具有注意：它的市场价格对于市场的利率具有高度的敏感性。高度的敏感性。基于货币市场工具在特性上与短期
4、国债只基于货币市场工具在特性上与短期国债只有细微的差别，对于投资者来说我们一般有细微的差别，对于投资者来说我们一般都可认为是无风险资产。都可认为是无风险资产。问题的设定：假设投资者已经决定了风险资问题的设定：假设投资者已经决定了风险资产的构成比例产的构成比例,同时对应着知道风险资产组合同时对应着知道风险资产组合的收益与和风险值的收益与和风险值,考虑的问题是在投资预算考虑的问题是在投资预算中投资于风险资产中投资于风险资产p的比例的比例y，以及余下的比，以及余下的比例例1-y，即投资于无风险资产的比例。，即投资于无风险资产的比例。已知：风险资产已知：风险资产P的期望收益率为的期望收益率为E(rp)
5、,风险风险为为p,无风险资产的收益率无风险资产的收益率rf，那么整个组合收益为：那么整个组合收益为：E（rc）=yE（rp）+(1-y)rf=rf+yE（rp）-rf整个组合风险为：整个组合风险为：c=yp E(r)E(rp)p rf 0 p 上图是我们以后经常使用的期望收益上图是我们以后经常使用的期望收益-标准差标准差平面，该平面的每一点都是不同收益与标准平面，该平面的每一点都是不同收益与标准差的组合，我们可以看作是不同的证券。根差的组合，我们可以看作是不同的证券。根据已知我们可以发现资产组合的一些特征。据已知我们可以发现资产组合的一些特征。无风险资产的期望收益无风险资产的期望收益-标准差就
6、是竖轴。标准差就是竖轴。风险资产风险资产P画在点画在点p与与E(rp)的相交上。的相交上。投资者如果单独投资于风险资产，则投资者如果单独投资于风险资产，则y=1,结结果就是组合果就是组合P点，投资者如果单独投资于无点，投资者如果单独投资于无风险资产，则风险资产，则y=0,结果就是结果就是rf点，如果点，如果y取值取值在在0与与1之间，投资者的就会在选择（之间，投资者的就会在选择（rf，P）的直线上的直线上为什么投资者的选择在（为什么投资者的选择在（rf，P）的直线上？）的直线上？因为：因为：E（rc）=rf+yE（rp）-rfc=yp,y=c/p我们有：我们有：E（rc）=rf+c/pE（rp
7、）-rf我们可以看出整个资产组合收益为其标准差我们可以看出整个资产组合收益为其标准差的函数是一条直线，并且得到了它的确切的函数是一条直线，并且得到了它的确切方程，截距是方程，截距是rf，斜率为：，斜率为：S=E（rp）-rf/p（rf，y）直线就是我们要求解的投资选择，）直线就是我们要求解的投资选择，即有不同的即有不同的y值产生的所有资产组合的可能值产生的所有资产组合的可能期望收益与标准差配对的集合，其图形就期望收益与标准差配对的集合，其图形就是是由由rf点引出，穿过点引出，穿过p点的直线。点的直线。这条直线叫做资本配置线（这条直线叫做资本配置线（capitalallocationlineCA
8、L）,它代表投资者的所有它代表投资者的所有可行的风险收益组合。它的斜率等于选择的可行的风险收益组合。它的斜率等于选择的资产组合每增加一单位标准差上升的期望收资产组合每增加一单位标准差上升的期望收益。或者说每增加额外风险所对应的额外收益。或者说每增加额外风险所对应的额外收益。该斜率又称为回报与波动性比率。益。该斜率又称为回报与波动性比率。（reward-to-variabilituratio）资本配置线的意义资本配置线的意义:假假定定风风险险资资产产组组合合的的期期望望收收益益为为E(rE(rP P)=9%=9%，标标准准差差为为 P P =21%=21%，无无风风险险资资产产的的收收益益率率为
9、为r rf f =3%=3%。（画图）。（画图）风险资产的风险溢价为风险资产的风险溢价为E(rE(rP P)r rF F=9%-3%=6%=9%-3%=6%令令 整整 个个 资资 产产 组组 合合 C C的的 收收 益益 率率 为为 r rC C，有有：r rc c=yr=yrp p+(1-y)r+(1-y)rf f=3%+3%+y(9%-3%)3+6yy(9%-3%)3+6y由于由于 P P=21%=21%，有：有：C C=yyp p=21y=21y如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是与标准差就是E(rE(rp p)=9%)=9%，P
10、P=21%=21%。如果选择将如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是就是E(rE(rp p)=3%)=3%，P P=0=0。从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为由于直线的斜率为6/21=0.296/21=0.29，每增，每增1 1单位风险，单位风险，可获可获0.290.29单位收益。即每增单位收益。即每增1 1单位收益，将增单位收益，将增3.5(21/6=3.5)3.5(21/6=3.5)单位风险。单位风险。引申：处在资本配置线引申：处在资本配置线P点右边的点是什么点右边的点
11、是什么呢？呢？如果投资者可以以无风险利率如果投资者可以以无风险利率rf借入资金，借入资金，就可以构造出资本配置线就可以构造出资本配置线P点右边的资产组点右边的资产组合。合。例子：若例子：若rf=7%,E(rp)=15%,p=22%,投资投资者投资预算为者投资预算为30万，借入万，借入12万，资金全部万，资金全部投入到风险资产的收益与风险如何？投入到风险资产的收益与风险如何？E(rc)=0.07+(1.4*0.08)=18.2%c=1.4*0.22=30.8%S=(15-7)/22=0.36引申：引申：CAL在在P点右面弯曲的可能？点右面弯曲的可能？一般非政府投资者不能以无风险利率借入一般非政府
12、投资者不能以无风险利率借入资金，一般借入资金的利率要高于无风险资金，一般借入资金的利率要高于无风险利率（假设也是无风险的），例如以利率（假设也是无风险的），例如以9%的的利率借入资金，斜率将会在利率借入资金，斜率将会在P点处弯曲改变。点处弯曲改变。E(r)P 0.27 rn rf 0.36 22%E(rc)-rf*/p,斜率将会是斜率将会是0.27例子：例子：投资金额投资金额5050万，其中万，其中1515万投资国库券，万投资国库券，3535万投万投资股票，资股票，15.7515.75万买清华同方，万买清华同方，19.2519.25万买清华紫光。万买清华紫光。若国库券的收益为若国库券的收益为3
13、%3%，同方的收益为，同方的收益为8%8%，紫光的收益，紫光的收益为为12%12%，股票组合标准差为，股票组合标准差为20%.20%.同方：同方：w w1 1=15.75/35=0.45 =15.75/35=0.45 紫光：紫光：w w2 2=19.25/35=0.55=19.25/35=0.55风险组合风险组合P P的权重为的权重为y y，无风险组合的权重为无风险组合的权重为1-y1-y，有有y=35/50=0.7(y=35/50=0.7(风险资产风险资产)1-y=0.3(1-y=0.3(无风险资产无风险资产)投投资资者者希希望望将将所所持持有有的的风风险险资资产产组组合合比比重重从从0.7
14、0.7降降为为0.550.55。投资者的投资资金的配置则为。投资者的投资资金的配置则为:投投资资于于股股票票：y=500 y=500 0000000.55=275 0.55=275 000(000(元元)投资于国库券：投资于国库券：1-y=500 0001-y=500 0000.450.45 =225 000(=225 000(元元)投投资资者者在在股股票票投投资资减减7.57.5万万(35-27.5=7.5)(35-27.5=7.5)，增增买买7.57.5万万的的国国库库券券。由由于于两两种种股股票票的的比比例例不不变，因此，有变，因此，有清华同方：清华同方：w w1 1=275 000=2
15、75 0000.55=151 250(0.55=151 250(元元)清华紫光：清华紫光：w w2 2=275 000=275 0000.45=123 750(0.45=123 750(元元)资产结构调整前后的选择如何。资产结构调整前后的选择如何。rp=0.45*8+0.55*12=10.2%rc=3+0.7(10.2-3)=8.04%c=0.7*20=14%rc=3+0.55(10.2-3)=6.96%c=0.55*20=11%Y Y点的选择问题点的选择问题:在经济学偏好一般用效用函数反映在经济学偏好一般用效用函数反映U=E(r)-0.005AU=E(r)-0.005A 2 2 （1 1）E
16、(rcE(rc)=)=rfrf +yE(rp)-rfyE(rp)-rf （2 2）cc2 2=y=y2 2pp2 (3)2 (3)人们总希望效用最大，数学表达式：人们总希望效用最大，数学表达式：maxUmaxUmaxUmaxU=E(r)-0.005A=E(r)-0.005A 2 2 =rfrf +yE(rp)-rfyE(rp)-rf-0.005Ay-0.005Ay2 2pp2 2利用微积分的知识，利用微积分的知识，最大化的问题就是方最大化的问题就是方程一阶导数为零。对程一阶导数为零。对U U求求y y一阶导，令其为一阶导，令其为零，解出投资者的最优风险头寸零，解出投资者的最优风险头寸:y*=E
17、(rp)-rf/0.01Apy*=E(rp)-rf/0.01Ap2 2例子：若例子：若A=3 A=3 E(rpE(rp)=9%)=9%rfrf=3%=3%pp=21%=21%y*=9%-3%/(0.01y*=9%-3%/(0.013 30.210.212 2)=45.35%)=45.35%根根据据结结果果，应应将将资资金金的的45.35%45.35%投投资资于于风风险险资资产产，54.65%54.65%投投资资于于无无风风险险资资产产。整整个个资产组合的资产组合的E(rcE(rc)=3%+(45.35%)=3%+(45.35%6%)=5.72%6%)=5.72%C C=45.35%=45.35
18、%21%=9.52%21%=9.52%如如果果假假定定投投资资者者的的风风险险厌厌恶恶程程度度A A为为1.51.5，其结果为其结果为y*=9%-3%/(0.01y*=9%-3%/(0.011.51.521212 2)=90.7%)=90.7%E(rE(rc c)=3%+(90.7%)=3%+(90.7%6%)=8.44%6%)=8.44%C C=90.7%=90.7%21%=19.05%21%=19.05%5.44/19.05=0.295.44/19.05=0.29风风险险厌厌恶恶程程度度降降低低一一半半，投投资资于于风风险险资资产产组组合合的的比比例例上上升升了了一一倍倍，整整个个资资产产
19、组组合合的的期期望望收收益益也也提提高高到到8.44%8.44%，风风险险溢溢价价提提高高到到5.44%5.44%，标标准准差差也也提提高高了了一一倍倍，达达到到19.05%19.05%。约束与偏好：这是微观经济学乃至微观金融约束与偏好：这是微观经济学乃至微观金融学学研究的主要问题。学学研究的主要问题。人们总是在一定约束条件下使自己的效用人们总是在一定约束条件下使自己的效用（反应偏好）最大化。（反应偏好）最大化。约束下的选择约束下的选择刚才我们讲的资本配置线就是我们在投资选刚才我们讲的资本配置线就是我们在投资选择时的约束。我们只能在资本配置线上选择。择时的约束。我们只能在资本配置线上选择。资本
20、配置线在期望收益资本配置线在期望收益-标准差平面中。标准差平面中。我们投资的偏好是对风险的喜爱程度。因为我们投资的偏好是对风险的喜爱程度。因为对于收益人们总是希望最大的。我们以前介对于收益人们总是希望最大的。我们以前介绍过风险爱好者、风险厌恶者和中性者。下绍过风险爱好者、风险厌恶者和中性者。下来我们通过在期望收益来我们通过在期望收益-标准差平面中的无标准差平面中的无差异曲线来分析我们的偏好。差异曲线来分析我们的偏好。在期望收益在期望收益-标准差平面平面中的每一点代表不同的标准差平面平面中的每一点代表不同的期望收益与标准差组合，我们可以看作不同的证券期望收益与标准差组合，我们可以看作不同的证券或
21、者证券组合。我们把对于特定投资者效用值相等或者证券组合。我们把对于特定投资者效用值相等的所有的证券或者证券组合点由一条曲线连接起来，的所有的证券或者证券组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线。这条曲线就叫无差异曲线。假设对于假设对于A为为400的投资者的投资者E（r）U=E（r）-0.005A1020215252203022533.92同时我们在期望收益标准差平面画出一族无差异同时我们在期望收益标准差平面画出一族无差异曲线，不同水平的曲线代表着效用的大小，水平曲线，不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大。越高，效用越大。对于特定风险偏好的投资者，无差异曲线族代表对于特定风
22、险偏好的投资者，无差异曲线族代表着不同的效用水平。人们总是趋向于选择最高的着不同的效用水平。人们总是趋向于选择最高的效用水平，但这要受到市场中资本配置线的约束。效用水平，但这要受到市场中资本配置线的约束。不同的投资者对风险的偏好不同，就有不同的无不同的投资者对风险的偏好不同，就有不同的无差异曲线族差异曲线族,风险厌恶程度高的投资者的无差异曲风险厌恶程度高的投资者的无差异曲线比较陡（意味着风险补偿要高些），而风险厌线比较陡（意味着风险补偿要高些），而风险厌恶程度低的投资者的无差异曲线比较平坦（意味恶程度低的投资者的无差异曲线比较平坦（意味着风险补偿要低些）着风险补偿要低些）。这表明不同的投资者有
23、不。这表明不同的投资者有不同的无差异曲线族同的无差异曲线族风险厌恶程度高者风险厌恶程度高者风险厌恶程度低者风险厌恶程度低者E(rp)=9%p(rf)=3%F021%当投资者的资本配置线与他的无差异曲线族像当投资者的资本配置线与他的无差异曲线族像切时，我们认为是投资者的最优选择。切时，我们认为是投资者的最优选择。投资者进行资产配置的步骤：投资者进行资产配置的步骤：1、确定资产配置线、确定资产配置线2、确定自己的风险偏好程度（无差异曲线、确定自己的风险偏好程度（无差异曲线族）族）3、二者相切就是最佳投资构成、二者相切就是最佳投资构成最优风险资产组合最优风险资产组合市场风险与非市场风险：分散化的界定
24、市场风险与非市场风险：分散化的界定视角的引入：如果你的资产组合中只有视角的引入：如果你的资产组合中只有A公公司的股票，那么风险来自于：司的股票，那么风险来自于：一、一般经济状况的风险，比如经济周一、一般经济状况的风险，比如经济周期、通货膨胀、利率和汇率等。这些风险期、通货膨胀、利率和汇率等。这些风险会对一般的公司都有影响。会对一般的公司都有影响。二、二、A公司特有的风险，比如自身的经公司特有的风险，比如自身的经营管理、研发、人员的替换等。这些风险营管理、研发、人员的替换等。这些风险只会影响只会影响A公司。公司。如果在资产组合中加入如果在资产组合中加入B公司的股票，我公司的股票，我们有理由相信组
25、合的风险有可能会降低，们有理由相信组合的风险有可能会降低，进一步在组合中不断的加入其他公司的股进一步在组合中不断的加入其他公司的股票，直至风险不可能降低为止。票，直至风险不可能降低为止。我们把充分分散条件下还保存的风险称我们把充分分散条件下还保存的风险称为市场风险，它来源于市场有关因素，也为市场风险，它来源于市场有关因素，也称为系统风险或不可分散的风险。称为系统风险或不可分散的风险。相对而言，可以利用分散化消除的风险相对而言，可以利用分散化消除的风险被称为独特风险、非市场风险、非系统风被称为独特风险、非市场风险、非系统风险和可分散风险。险和可分散风险。特有风险特有风险 市场风险市场风险 n n
26、组合投资的好处：三个人进行投资，甲与乙的投资额一组合投资的好处：三个人进行投资，甲与乙的投资额一样，丙的投资额为甲与乙投资额的和甲投资于，乙样，丙的投资额为甲与乙投资额的和甲投资于，乙投资于，丙比例相等的投资于和，比较一下，丙投资于，丙比例相等的投资于和，比较一下，丙与甲和乙的收益和风险与甲和乙的收益和风险甲的收益为甲的收益为乙的收益为乙的收益为丙的收益为丙的收益为+丙与甲和乙的收益相等丙与甲和乙的收益相等甲的风险为甲的风险为乙的风险为乙的风险为丙的风险为丙的风险为丙的风险小于甲和乙丙的风险小于甲和乙美国股票美国股票1960-19701960-1970年随机选样的分散化效应表年随机选样的分散化
27、效应表股数股数月均收益率月均收益率月均标准差月均标准差与市场的相关系数与市场的相关系数R R 1 0.88%7.0%0.54 1 0.88%7.0%0.54 2 0.69%5.0%0.63 2 0.69%5.0%0.63 3 0.74%4.8%0.75 3 0.74%4.8%0.75 4 0.65%4.6%0.77 4 0.65%4.6%0.77 5 0.71%4.6%0.79 5 0.71%4.6%0.7910 0.68%4.2%0.8510 0.68%4.2%0.8515 0.69%4.0%0.8815 0.69%4.0%0.8820 0.67%3.9%0.8920 0.67%3.9%0.
28、89两种风险资产的资产组合两种风险资产的资产组合现在要解决的问题是在风险资产组合现在要解决的问题是在风险资产组合P P中，求解最中，求解最优的每种证券的比重。优的每种证券的比重。这个问题我们把它简化为两种风险资产构成的风险这个问题我们把它简化为两种风险资产构成的风险资产组合。资产组合。假定投资两种风险资产构成的风险资产组合假定投资两种风险资产构成的风险资产组合P P，一，一是股票，一是债券。投资债券的资金为是股票，一是债券。投资债券的资金为wdwd，投资股投资股票的部分为票的部分为1-wd1-wd记作记作wewe，rdrd、d d为债券收益和标为债券收益和标准差，准差，rere、e e为股票收
29、益和标准差，二者的相关为股票收益和标准差，二者的相关系数为系数为（A A，B B）rprp=wdrd+werewdrd+were E(rpE(rp)=)=wdE(rd)+weE(rewdE(rd)+weE(re)p p=wd=wd d d+we+we e e+2wdweCOV(rd,re)+2wdweCOV(rd,re)d d=Cov(rdCov(rd,rd),rd)求解风险组合的期望收益和标准差求解风险组合的期望收益和标准差:两个方程有四个未知数两个方程有四个未知数,因此无法得到确定因此无法得到确定的解的解(在期望收益在期望收益-标准差平面无法得到一个标准差平面无法得到一个点点),我们的分析
30、思路我们的分析思路:首先考虑不同相关系首先考虑不同相关系数情况下数情况下(也就是把相关系数确定了也就是把相关系数确定了)方程组方程组的解的解,但还有三个未知数但还有三个未知数,仍然无法得到确定仍然无法得到确定的解的解,只能得到解是一个函数关系只能得到解是一个函数关系(风险组合风险组合的期望收益和标准差的范围的期望收益和标准差的范围),而该函数关系而该函数关系在期望收益在期望收益-标准差平面是一条曲线标准差平面是一条曲线.步骤步骤:1不同相关系数对风险组合的期望收益和标准差不同相关系数对风险组合的期望收益和标准差的影响的影响2E(rp)=E(rp)=wdE(rd)+weE(rewdE(rd)+w
31、eE(re),),组合收益是权重的函组合收益是权重的函数数 直线直线33 p p=wd=wd d d+we+we e e+2wdweCOV(rd,re)+2wdweCOV(rd,re)不同相关系数条件下不同相关系数条件下,组合方差是权重的函数组合方差是权重的函数曲线曲线,应该有最小方差或最大方差应该有最小方差或最大方差44把上面两个方程变为一个方程把上面两个方程变为一个方程,取掉权重变量取掉权重变量,确定相关系数确定相关系数,得到得到风险组合的期望收益和标准差风险组合的期望收益和标准差之间关系的方程之间关系的方程.只有两个未知数只有两个未知数,是一条曲线是一条曲线,我我们称为资产组合机会集合线
32、们称为资产组合机会集合线,该线段反映了风险组该线段反映了风险组合的期望收益和标准差所有的可能性合的期望收益和标准差所有的可能性.组合的方差还可以有以下计算公式：组合的方差还可以有以下计算公式：p p=wdwdCov(rd,rd)+weweCov(re,re)+2wewdCov(r=wdwdCov(rd,rd)+weweCov(re,re)+2wewdCov(rd,re)d,re)我们用我们用V V表示协方差矩阵表示协方差矩阵,那么组合的方差就等于那么组合的方差就等于:p p=W*V*W=W*V*WT TCov(rd,rd)Cov(rd,re)Cov(re,rd)Cov(re,re)我们利用协方
33、差矩阵中的每一个因子与所在行和列我们利用协方差矩阵中的每一个因子与所在行和列我们利用协方差矩阵中的每一个因子与所在行和列我们利用协方差矩阵中的每一个因子与所在行和列的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。资产权重资产权重wdwewdCov(rd,rd)Cov(rd,re)weCov(re,rd)Cov(re,re)组合的方差写成协方差矩阵的原因：组合的方差写成协方差矩阵的原因：如果在组合中有多种资产，那么方差的表示如果在组合中有多种资产，那么方差的表示
34、就会很冗长，比如有四种资产，就会很冗长，比如有四种资产，A、B、C、D。p p=wAwACov(rA,rA)+wBwBCov(rB,rBwAwACov(rA,rA)+wBwBCov(rB,rB)+)+wCwCCov(rC,rC)+wDwDCov(rD,rD)+2wAwBCovwCwCCov(rC,rC)+wDwDCov(rD,rD)+2wAwBCov(rA,rB)+2wBwCCov(rB,rC)+2wBwDCov(rB,rD(rA,rB)+2wBwCCov(rB,rC)+2wBwDCov(rB,rD)+2wAwDCov(rA,rD)+2wAwDCov(rA,rD)如果用协方差矩阵表示就很清楚，
35、同时我们如果用协方差矩阵表示就很清楚，同时我们得到的方差是为进一步的计算的，利用了协得到的方差是为进一步的计算的，利用了协方差矩阵就便于我们利用矩阵的运算性质进方差矩阵就便于我们利用矩阵的运算性质进一步运算。一步运算。我们利用矩阵中的每一个因子与所在行和列的权我们利用矩阵中的每一个因子与所在行和列的权重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。重相乘，最后加总就可以得到资产组合的方差。WAWBWCWDWACOV（RA，RA）COV（RA，RB）COV（RA，RC）COV（RA，RD）WBCOV（RB，RA）COV（RB，RB）COV（RB，RC）COV（RB，RD）WCCOV（RC，RC）COV
36、（RC，RB）COV（RC，RC）COV（RC，RD）WDCOV（RA，RD）COV（RD，RB）COV（RD，RC）COV（RD，RD）相关系数的变化对资产组合方差的影响：相关系数的变化对资产组合方差的影响：有有 Cov(rdCov(rd，re)=re)=(d,e(d,e)d d e e将将 此此 式式 代代 入入 方方 差差 计计 算算 公公 式式 有有：P P2 2=wd=wd2 2 d d2 2+we+we2 2 e e2 2+2wdwe+2wdwe d d e e(d,e)(d,e)=1=1时，式右可简化为：时，式右可简化为：P P2 2=(wd=(wd d d+We+We e e)
37、2 2 或或 P P=WdWd d d+We+We e e 组组合合的的标标准准差差恰恰好好等等于于组组合合中中每每一一部部分分证证券券标标准准差的加权平均值。差的加权平均值。当当1 1时时，组组合合标标准准差差会会小小于于各各部部分分证证券券标标准准差差的的加权平均值。加权平均值。当当=-1=-1时，该式可简化为：时，该式可简化为：P P2 2=(wd=(wd d d-We-We e e)2 2 组合的标准差为：组合的标准差为：P P=|=|wdwd d d-We-We e e|一一个个完完全全的的套套期期头头寸寸（一一种种资资产产与与另另一一种种资资产产组组合合，风险为零）可以通过选择资产
38、解以下方程得：风险为零）可以通过选择资产解以下方程得：由于：由于：P P=|=|wdwd d d-We-We e e|=0|=0，所以有所以有 wd=wd=e e/(/(d d+e e)we=we=d d/(/(d d+e e)=1-wd)=1-wd以以上上的的公公式式表表明明，当当=1=1时时，标标准准差差最最大大，为为每每一一种种风风险险资资产产标标准准差差的的加加权权平平均均值值；如如果果1 1，组组合合的的标标准准差差会会减减小小，风风险险会会降降低低；如如果果=-1=-1，标标准准差差最最小小，在在债债券券的的比比重重为为wd wd=e e /(/(d d+e e),),股股票票的的
39、比比重重为为1-1-wdwd时时，组组合合的的标标准准差差为为0 0，即即完完全全无无风险。风险。以以一一个个具具体体例例子子来来看看在在不不同同相相关关系系数数条条件件下下，资资产产组合比重的变化对资产组合收益和风险的关系：组合比重的变化对资产组合收益和风险的关系：股票股票E E(r(rp p)为为20%20%，方差为，方差为15%15%，债券，债券E(rE(rB B)为为10%10%，方差为，方差为10%10%。不同相关系数下的期望与标准差不同相关系数下的期望与标准差 给定相关性下的资产组合的标准差给定相关性下的资产组合的标准差投资比重投资比重 =-1 =-0.5 =0.5 =1=-1 =
40、-0.5 =0.5 =1 wd wd wewe E E（rprp）方差方差 方差方差 方差方差 方差方差 1.00 0.00 10.0 1.00 0.00 10.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 0.80 0.20 12.0 3.08 5.04 8.96 10.92 0.80 0.20 12.0 3.08 5.04 8.96 10.92 0.60 0.40 14.0 0.12 3.06 8.94 11.88 0.60 0.40 14.0 0.12 3.06 8.94 11.88 0.40 0.60 16.0 1.12 4.06 9.94 12.88 0
41、.40 0.60 16.0 1.12 4.06 9.94 12.88 0.20 0.80 18.0 6.08 8.04 11.96 13.92 0.20 0.80 18.0 6.08 8.04 11.96 13.92 0.00 1.00 20.0 15.0 0.00 1.00 20.0 15.0 15.015.0 15.015.0 15.015.0 不同相关系数条件下最小方差的资产组合不同相关系数条件下最小方差的资产组合(根据表中的数据根据表中的数据)wd wd 0.55 0.57 0.70 1.000.55 0.57 0.70 1.00 we we 0.45 0.43 0.30 0.000.
42、45 0.43 0.30 0.00 E(rE(rP P)14.5 14.3 13.0 10.0)14.5 14.3 13.0 10.0 2 2P P 0.00 3.03 8.82 10.00.00 3.03 8.82 10.0利用上面的例子进行一些图表分析利用上面的例子进行一些图表分析1 1、资产组合的期望收益图示、资产组合的期望收益图示 E(rp)=wdE(rd)+weE(rewdE(rd)+weE(re)有：有：E(rdE(rd)=10%)=10%E(reE(re)=20%)=20%=10+10we组合收益是投资比重的函数：组合收益是投资比重的函数：E(rp)20%股票股票10%债券债券-
43、0.5012we1.510-1wd如果如果wd1,we0，意味着投资者在资产组合中的，意味着投资者在资产组合中的策略是做股票空头（卖出，可以是自己没有的），策略是做股票空头（卖出，可以是自己没有的），并把得到的资金投入到债券上。比如：并把得到的资金投入到债券上。比如：wd=1.5,we=-0.5，资产组合的收益为，资产组合的收益为:1.5*10%+（-0.5）*20%=5%（是否合理）（是否合理）如果如果we1,wd0，意味着投资者在资产组合中的，意味着投资者在资产组合中的策略是做债券空头，并把得到的资金投入到股票策略是做债券空头，并把得到的资金投入到股票上。比如：上。比如：we=1.5,wd
44、=-0.5，资产组合的收益为，资产组合的收益为:1.5*20%+（-0.5）*10%=25%解释了上图中直线为什么会突破解释了上图中直线为什么会突破0，1，也就是，也就是在资产组合中资产的比重可以大于在资产组合中资产的比重可以大于1，小于，小于0。2、最小方差资产组合的提出：、最小方差资产组合的提出：人们总是希望在收益一定的条件下，持有资产的风人们总是希望在收益一定的条件下，持有资产的风险最低，也就是资产组合的方差最小。组合的方差险最低，也就是资产组合的方差最小。组合的方差我们有这样的数学表达形式：我们有这样的数学表达形式：p p=wd=wd d d+we+we e e+2wdwdCOV(rd
45、,re)+2wdwdCOV(rd,re)wd+wewd+we=1=1，因此有，因此有we=1-wd,we=1-wd,带入上式，带入上式，然后上式对然后上式对wdwd求导，另其等于求导，另其等于0 0，我们将得到风险，我们将得到风险资产组合中最小方差的投资比重：资产组合中最小方差的投资比重：得到的结论是：如果我们知道在资产组得到的结论是：如果我们知道在资产组合中每种资产的期望收益、标准差和相合中每种资产的期望收益、标准差和相互之间的相关系数，我们就可以通过调互之间的相关系数，我们就可以通过调整资产组合的结构达到资产组合的风险整资产组合的结构达到资产组合的风险最小。最小。比如，股票与债券的比如，股
46、票与债券的=-0.5,=-0.5,2 2D D=10=10，2 2E E=15=15由于有：由于有：Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=)=DEDE D D E E，有有Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123将将 2 2D D=10=10，2 2E E=15=15最最小小方方差差的的投投资资比比重重的的公公式式w wminmin(D(D)=15-(-6.123)/10+15-2(-6.123)=15-(-6.123)/10+15-2(-6.123)=(21.123)/(37.2
47、46)=0.567 =(21.123)/(37.246)=0.567 w wminmin(E(E)=1-0.679=0.433)=1-0.679=0.433该该组组合合为为相相关关系系数数等等于于-0.5-0.5确确定定下下的的最最小小方差的资产组合方差的资产组合。此时资产组合的方差为：此时资产组合的方差为：2 2minmin=(0.567=(0.5672 2 10)+(0.43310)+(0.4332 2 15)15)+(2 +(2 0.5670.567 0.4330.433-6.123)=3.02-6.123)=3.02这一组合的期望收益为：这一组合的期望收益为：E(rE(rp p)=0.
48、567)=0.567 10%+0.43310%+0.433 20%=14.33%20%=14.33%3、考虑不同相关系数的条件下，标、考虑不同相关系数的条件下，标准差随着资产结构比率是如何变化的。准差随着资产结构比率是如何变化的。P P2 2=wd=wd2 2 d d2 2+we+we2 2 e e2 2+2wdwe+2wdwe d d e edede =10wd =10wd2 2+15we+15we2 2+300+300wdwewdwedede组合标准差是投资比重的函数：组合标准差是投资比重的函数：P -1P -1 -0.5 -0.5 0.5 1 0.5 1 we we E(rE(rp p)
49、20 B)20 B =-1 =-1 =0.5 =0.5 =-0.5 =-0.5 =1 =1 10 10 A A 0 3.16 3.87 0 3.16 3.87 3、资产组合机会集合线、资产组合机会集合线E(rp)=wdE(rd)+weE(rewdE(rd)+weE(re)P P2 2=wd=wd2 2 d d2 2+we+we2 2 e e2 2+2wdwe+2wdwe d d e edede资产组合机会集合线显示反应了由两种资产构资产组合机会集合线显示反应了由两种资产构造的所有资产组合构成的期望收益与标准差点造的所有资产组合构成的期望收益与标准差点组合。组合。图中是不同相关系数条件下的资产组
50、合机会集图中是不同相关系数条件下的资产组合机会集合线。合线。资产组合机会集合线的出现，是我们在已知两资产组合机会集合线的出现，是我们在已知两种风险资产相关系数的情况下，两种资产所有种风险资产相关系数的情况下，两种资产所有可能构成的组合选择。因此，我们在进行风险可能构成的组合选择。因此，我们在进行风险资产投资选择时，只能选择在资产组合机会集资产投资选择时，只能选择在资产组合机会集合线上。合线上。两种风险资产和无风险资产的组合两种风险资产和无风险资产的组合我们的资产组合中，有风险资产，也有可能有无我们的资产组合中，有风险资产，也有可能有无风险资产，最简单的例子，每个家庭一般都持有风险资产，最简单的