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1、第二章第二章 矩矩 阵阵u 矩阵运算u 特殊矩阵u 逆矩阵u 分块矩阵u 初等矩阵u 矩阵的秩第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 由 个数排成的 m 行 n 列矩阵的数表
2、称为 m 行 n 列矩阵.简称 矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).(1)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角对角矩阵矩阵(或对角阵对角阵）.（3）形如 的方阵,不全为0注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或
3、.（5）方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为全为1 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵 相等,记作例如为同型矩阵.第二节 矩 阵 运 算一、矩阵的线性运算定义1 设有两个 矩阵 和 ，那么矩阵 与矩阵 的和记作 规定为1.矩阵的加法只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算运算规律（设 ，都是 矩阵）其中 ，称为矩阵 的负矩阵.（1）（2）（3）由此可规定矩阵的减法为定义2 数 与矩阵 的乘积记作 或2.数与矩阵相乘规定为运算规律(设 ，都是 矩阵，是数)（1）（2）（3）（4）（5）当且
4、仅当 或规定:矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵二、矩阵的乘法1、定义 设 ，其中并把此乘积记作 矩阵的第 行第 列的元 就是 的第 行与 的第 列的乘积注意：注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，乘积 才是有意义的；并且 的行数等于第一个矩阵 的行数，的列数等于第二个矩阵 的列数 例1求解显然求 ，并问 是否有意义？解解显然 无意义 例例2 2例3求解解显然总之，一般说来，不过，在有些情况下，也可能有例如：即矩阵的乘法不满足交换律不难验证：一般地，如果矩阵 ，的乘积与次序无关即 ，称矩阵 ，可交换结合律和分配律：（1）（2）（3）上式称为从变量 ，到变量 ，的
5、线性变换.的线性函数，即例4 设变量 均可表示成变量其中 为常数令利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式:利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换例5 已知两个线性变换 求到的线性变换.解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为 记则上述两个线性变换可分别写成为:于是即即这就是由到的线性变换.由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足：设 是 阶方阵，定义显然，就是 个 连乘2、方阵的幂其中 为正整数只有 是方阵时，它的幂才有意义（1）（2）由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于同阶方阵 和 ，一般说来但是，如果方阵与可交换，即则仍为一个 阶方阵，称 为方阵 的多项式n阶单位
6、矩阵设为 次多项式，为 阶方阵，则 其中例6 设求解因为用数学归纳法，设则故称为 阶单位矩阵简记作形如的 阶方阵记作三、特殊矩阵及其运算1.单位矩阵特点：从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵 的第行第列的元素结论：的 阶方阵称为对角矩阵形如记作特点：主对角线上以外的元素全是零2.对角矩阵性质：（1）（2）（3）（4）其中为正整数.特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵即记作 设 为任一 阶方阵，为任一 阶数量矩阵即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换则当 时，数量矩阵即为单位矩阵 例1 设计算（n为正整数）解其中显然因数量矩阵 与可交换，
7、所以利用二项式定理得到形如的矩阵称为上三角矩阵特点特点：主对角线的左下方的元素全为零3.三角矩阵其中*表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵直接验证可知 类似地，我们同样可以定义下三角矩阵，也就是：主对角线右上方的元素全为零矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质四、矩阵的转置四、矩阵的转置1、定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A（或AT）即A=例如：性质：（1）（2）（3）（4）证 性质（1）（3）是显然的，这里仅给出（4）的证明.设记于是按矩阵乘法的定义，有 而的第行为的第 列为所以即亦即由（4），根据数
8、学归纳法可证因此那么 称为对称矩阵；则称 为反对称矩阵设 为 阶方阵，如果特点特点：对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等即有反对称矩阵有该矩阵主对角线上的元素全为0.如果1.2、对称矩阵和反对称矩阵反对称矩阵对称矩阵形式：例2是对称矩阵.证明 因 是 阶矩阵，且 故 是 阶对称矩阵同理，是 阶对称矩阵是一个矩阵，则 和 都设例3 设列矩阵 满足为 阶单位矩阵，证明是对称矩阵，且证 首先请注意是一阶方阵，即一个数，所以 是对称矩阵.是阶方阵而基本性质：（1）若都是对称矩阵，则对称矩阵（其中 为任意常数）.都是（2）若都是对称矩阵，则为对称矩阵的充要条件是定理定理 设 ，是两个 阶方阵，则推论
9、设 均为 阶方阵，则五、方阵乘积的行列式称为矩阵 的伴随矩阵伴随矩阵试证（2）当 时，例4 阶方阵 的各个元素的代数余子式 所构成的如下的矩阵（1）证 （1）设 ，则于是类似地，（2）由（1）且根据本节定理1可知由于 ，故 在数的乘法中，如果常数 ，则存在 的逆 ：，使这使得求解一元线性方程 变得非常简单对 阶方阵 ，是否也存在着“逆”即是否存在一个 阶方阵 使第三节 逆 矩 阵如果有一个 阶方阵定义 对于 阶方阵则称 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵如果方阵 可逆，则它的逆矩阵是唯一的使注意注意：在定义中，、的地位是平等的即如果（1）成立，则 也可逆，并且例1 设且求解解 因为所以定理 方
10、阵 可逆的充分必要条件是且当 可逆时，其中 为矩阵的伴随矩阵.注：当 时，称 为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵p可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵法因为 可逆，即存在 ，故所以由本章第二节例知，因为故有所以，按逆矩阵的定义，即有证 必要性.使充分性.例2 设 ，试问：满足什么条件时，方阵 可逆？可逆.这时解解 当时，当 可逆时，求则（1）若 阶方阵 可逆，则 也可逆且（2）若 可逆，数 ，则 可逆且推论 若 阶方阵 、满足运算规律运算规律（3）若 、为同阶方阵且均可逆，则亦可逆，且（4）若 可逆，则 也可逆，且（5）若 可逆，且 ，则例3 求方阵 的逆矩阵解所以 存在，且而类似可得从而例4 设 为4阶方阵，求 的值.解解 因为 ，所以 可逆，且 所以所以例5 设 均为 阶可逆矩阵，证明证证 （1）由 可知，（1）（2）为可逆矩阵.又所以（2）由从而可得