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1、-1 1、导数的概念、导数的概念 2 2、导数的基本公式和运算法则、导数的基本公式和运算法则3 3、函数的微分、函数的微分4 4、二元函数的偏导数与全微分、二元函数的偏导数与全微分本章要点本章要点-2.1 2.1 导数的概念导数的概念-2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景一一.非匀速运动物体的速度问题非匀速运动物体的速度问题运动方程运动方程(位置函数位置函数)为为匀速直线运动，匀速直线运动，变速直线运动，变速直线运动，则从则从 到到 的平均速度的平均速度2.1 2.1 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念-物体由物体由 运动到运动到 时间间隔时间间隔 愈小，愈小，速度速度愈
2、接近于愈接近于 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景平均平均-如图如图二二二二.曲线切线的斜率曲线切线的斜率y=f(x)L2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景-定义定义点点 P 是曲是曲当点当点 P沿沿曲线曲线 L 趋向于点趋向于点 P0 时时，如果割线如果割线 PP0 的极限位置的极限位置 P0 T 存在存在，则则称直线称直线设点设点 P0 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点，线线L上的动点上的动点，P0 T 为曲线为曲线 L 在点在点 P0 处的切线处的切线.2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景-设曲线方程
3、为设曲线方程为 y=f(x).y=f(x)在点在点 P0(x0,y0)处的附近取处的附近取一点一点 P(x0+x,y0+y).则割线则割线 的斜率为的斜率为2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景-y=f(x)2.1.1 2.1.1 导数产生的背景导数产生的背景如果当点如果当点P沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点P0时，时，割线割线P0P 的极限的极限位置存在，位置存在，即即点点P0处处的的切切线线存存在在，此刻此刻 x 0，割线斜率割线斜率 tan 趋向切线趋向切线P0 T 的斜率的斜率 tan ，即，即-2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义三三三三.导数的
4、定义导数的定义1、在在 处可导处可导设设 在点在点 的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，当当在在 处取得增量处取得增量 (点点 仍在该邻域内仍在该邻域内)时，时，函数函数 取得增量取得增量若极限若极限 存在存在则则称此函数称此函数 在点在点 处可导，处可导，此极限为函数此极限为函数-2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义在点在点 的导数，的导数，函数在点函数在点 的导数记为的导数记为 即即 也可记为也可记为若极限不存在，则称函数若极限不存在，则称函数 在在 处处不可导不可导.-1 1、导数的另一种表示形式、导数的另一种表示形式：说明说明或或若若 ,则等价形式为：则
5、等价形式为：2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义-其中方块其中方块 为为 或或 的函数的函数,且且 2 2、对于函数、对于函数 在点在点 处可导的定义，处可导的定义，需要更进一步的理解为结构式是需要更进一步的理解为结构式是：2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义当当 时，时，只要符合上面只要符合上面的结构式的结构式,其极限值也为函数在其极限值也为函数在点的导数点的导数.-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义如：如：-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义练一练练一练1、设函数、设函数 在
6、在 处可导处可导,且且则则2、设函数、设函数 在在 处可导处可导,当当-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义3、设函数、设函数 在在 处可导处可导,且且则则4、设、设 则则 -提示：提示：2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义-2 2、求某一点导数的一般步骤为：、求某一点导数的一般步骤为：（1）求函数的改变量求函数的改变量（2）计算比值计算比值（3）求极限求极限2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的
7、定义导数的定义-例例2 2利用导数的定义讨论函数利用导数的定义讨论函数在在 处是否可导处是否可导.解：解：函数函数 的定义域为的定义域为故函数故函数 在在 处有定义处有定义.设函数设函数 在在 处附近有增量处附近有增量 .则则2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义-故函数故函数 在在 处可导处可导.2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义3 3、左、右导数（单侧导数）：、左、右导数（单侧导数）：左导数左导数:若极限若极限-存在存在,在在 点的左导数，记为点的左导数，记为则称其为则称其为2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的
8、定义右导数右导数:若极限若极限存在存在,则称其为则称其为在在 点的右导数，记为点的右导数，记为-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义函数函数 在在 可导的条件可导的条件:函数函数 f(x)在点在点 处可导处可导的充分必要的充分必要左导数左导数 和右导数和右导数 都存在且都存在且条件是：条件是：相等相等.即即函数函数 f(x)在点在点 处可导处可导-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义函数函数 f(x)在点在点 的左右导数有一个不的左右导数有一个不存在，存在，或者或者 f(x)在点在点 的左右导数都存在的左右导数都存在但不相等，但不相等，则
9、则 f(x)在点在点 不可导不可导.例例3 3解解-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义故函数故函数 f(x)在点在点 处不可导处不可导.-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义或或故函数故函数 f(x)在点在点 处不可导处不可导.-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义课堂练习判断函数判断函数 在在在在 处的可导性处的可导性.提示：-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义故函数故函数 f(x)在点在点 处不可导处不可导.-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义说
10、明说明已知分段函数已知分段函数求函数是否在求函数是否在 处可导处可导.步骤：步骤：1、当、当 时，按导数公式求时，按导数公式求当当 时，按导数公式求时，按导数公式求2、判定函数、判定函数 在点在点 处的连续性处的连续性.-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义若在分段点若在分段点 不连续，则函数在不连续，则函数在 处处不可导不可导.若函数若函数 在在 处连续处连续,则有则有(3).3、当、当 在分段点在分段点 处的连续时处的连续时,计算计算与与若若 ,则则 在点在点 处处-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义可导可导.否则用定义求导否则用定
11、义求导.例4设函数设函数 在在 处处 可导，求常数可导，求常数 解解 在在 处可导处可导 在在 处连续处连续-在在 处可导处可导2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义 即即整理得整理得解得解得-2.1.1 2.1.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义如果函数如果函数 在开区在开区 间间 内的内的每点每点处都可导，处都可导，则称函数则称函数 在开区间在开区间4 4、在区间可导在区间可导区间区间 可导可导:内可导内可导.区间区间 可导可导:若函数若函数 在开区间在开区间 内可导，内可导，-则称则称 在闭区间在闭区间 可导可导.且右导数且右导数 和左导数和左导数 都
12、存在，都存在，2.1.2 求导数举例求导数举例5 5、导函数、导函数若函数若函数 在开区间在开区间 内可导，内可导，这时，这时，对于任意对于任意都对应着都对应着的一个确定的导数值的一个确定的导数值.这样就构成了这样就构成了-2.1.1 导数的定义导数的定义这个函数叫做函数这个函数叫做函数 的的导导一个一个新函数，新函数，函数，函数，简称导数简称导数.记作记作即即-说明说明 1 1、函数、函数 在点在点 处的导数处的导数 是导函数是导函数 在点在点 处的函数值处的函数值,即即2.1.1 导数的定义导数的定义-2.1.2 求导数举例求导数举例6 6、求导函数的一般步骤为：、求导函数的一般步骤为：（
13、1）求函数的改变量求函数的改变量（2）计算比值计算比值（3）求极限求极限-2.1.3 导数基本公式导数基本公式四四四四.导数的基本公式导数的基本公式导数的基本公式导数的基本公式1 1、常函数、常函数2 2、幂函数、幂函数3 3、指数函数、指数函数-2.1.3 导数基本公式导数基本公式4 4、对数函数、对数函数5 5、三角函数、三角函数-2.1.3 导数基本公式导数基本公式-2.1.3 导数基本公式导数基本公式6 6、反三角函数、反三角函数-几何上表示曲线几何上表示曲线 在点在点五五五五.导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义
14、导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 在点在点 处的导数处的导数 在在处的切线斜率处的切线斜率.MT其中其中是切线的倾角是切线的倾角1 1、导数的几何意义、导数的几何意义-2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义2 2、在点在点 处的切线方程处的切线方程3 3、在点在点 处的法线方程处的法线方程MT-2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义例例5 5求等边双曲线求等边双曲线 在点在点 处处的切线的斜率的切线的斜率,并写出该点处的切线方程并写出该点处的切线方程和法线方程和法线方程.解解 所求切线的斜率为：所求切线的
15、斜率为：-切线方程为：切线方程为：2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义法线斜率为法线斜率为法线方程为法线方程为-2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义练一练练一练时的切线时的切线方程方程和法线方程和法线方程提示：法线斜率为法线斜率为-切线方程为：切线方程为：法线方程为：法线方程为：2.1.4 2.1.4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义-导数的物理意义导数的物理意义六六.导数的物理意义导数的物理意义-导数的物理意义导数的物理意义例例6 6一物体的运动方程为一物体的运动方程为 求该物体求
16、该物体在在 时的瞬时速度时的瞬时速度解：解：-函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：函数在某点可导，则必连续；函数在某点可导，则必连续；连续不一定可导；连续不一定可导；函数不连续，则必不可导函数不连续，则必不可导.-函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系分析：分析：若若函数函数 在点在点 处可导，即处可导，即 由函数与其极限值的关系知：由函数与其极限值的关系知：-函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系故函数故函数 在在 连续连续.-如：如：函数函数函数函数 在在 处连续，处连续，函数函数 在在 不
17、可导不可导.-随 堂 练 习讨论讨论 在在 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.1 1、已知：、已知：2 2、设、设 在点在点 可导，且可导，且 则则-3 3、设、设 ，且极限，且极限 存在存在,则则4 4、设、设 在在 处不连续，则处不连续，则必存在必存在必不存在必不存在必存在必存在必不存在必不存在-1、可导也连续可导也连续2、23、B4、B-思思考考题题当人们夜晚在马路上行走时，当人们夜晚在马路上行走时，如果如果身后有一盏路灯，身后有一盏路灯，就会看到前方的路就会看到前方的路面上留下了一条长长的身影，面上留下了一条长长的身影，而且人影移动的速度而且人影移动的速度明显比人行走的速度快了许多，明显比人行走的速度快了许多，请用导数解释这种请用导数解释这种现象现象.-2.2.2 2.2.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则-