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1、第第4章章 线性系统根轨迹法线性系统根轨迹法平顶山学院计算机科学与技术学院根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，
2、因此在工程实践因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制系统性则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。能的方法。4.1 根根轨迹法基本概念轨迹法基本概念4.4.1 根轨迹概念根轨迹概念根轨迹根轨迹指开环系统指开环系统某某一参数从零变化到一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根无穷时，闭环系统特征方程式的根(闭环极点闭环极点)在在s平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。=D(s)=s +2s+2 K=0例：已知单位反馈系例：已知单位反馈系统结构图如图所示，统结构图如图所示，
3、系统开环传系统开环传函函为：为：Gk(s)=Ks(0.5s+1)2K K s(s+2)s(s+2)首首1型型即即2系统开环极点系统开环极点:p1=0,p2=2，没有开环零点。没有开环零点。将这两个开环极点绘于图上，将这两个开环极点绘于图上，并用并用“”表示。表示。由开环传递函数得由开环传递函数得闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程为：为：1+Gk(s)=0所以所以,闭环系统的特征根闭环系统的特征根(闭环极点闭环极点)为为当系统开环增益当系统开环增益K从从0到无穷变化时，系统闭环到无穷变化时，系统闭环极点极点s1与与s2随参数随参数K变变化，形化，形成一条轨迹，称为成一条轨迹，称为系统的根轨迹。
4、系统的根轨迹。4.4.2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1.稳定性稳定性当开环增益当开环增益K从从0变化变化到无穷时，根轨迹均在到无穷时，根轨迹均在s左半平面变化，不会进入左半平面变化，不会进入s右半平面，因此，对任右半平面，因此，对任意意K值，系值，系统统均稳定。均稳定。2.稳态性能稳态性能因为因为开开环环系统只有一个系统只有一个极点位于原点，所以系统极点位于原点，所以系统为为I型系统，其静态速度型系统，其静态速度误差系数为误差系数为K。(1)K=0时时,闭环极点闭环极点s1,s2与开环与开环3.动态性能动态性能极点极点p1,p2重合重合;(2)0K0.5时时,s1,s2为不相等为不相等的
5、负实根；的负实根；(过阻尼过阻尼)(3)K=0.5时时,s1=s2=1,即两闭即两闭环极点重合，特征方程有两相等环极点重合，特征方程有两相等的负实根的负实根;(临界阻尼临界阻尼)(4)当当K0.5时时,特征方程有两不相等的互为共轭复根特征方程有两不相等的互为共轭复根;(欠阻尼欠阻尼)通过分析系统的根轨迹，可以通过分析系统的根轨迹，可以清楚地清楚地看出看出闭环系统极点随系统某个参数变化的关系。闭环系统极点随系统某个参数变化的关系。需要指出的是需要指出的是,绘制根轨迹时选择的可变绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量参数可以是系统的任何参量,但实际中最常用但实际中最常用的是系统的的是系统的
6、开环增益开环增益。对于高阶系统对于高阶系统,利用解析法绘利用解析法绘制根轨迹比制根轨迹比较困难，可以利用已知的较困难，可以利用已知的开环传函开环传函，直接绘制，直接绘制闭环系统的根轨迹闭环系统的根轨迹，还可以借助于计算机求解。，还可以借助于计算机求解。4.4.3 闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系由于开环零、极点是已知的，建立开由于开环零、极点是已知的，建立开环零环零、极点与闭极点与闭环环零、极点之间的关系，有助于闭环零、极点之间的关系，有助于闭环函数为：函数为：(s)=G(s)1+G(s)H(s)系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：Gk(s)=G(s)H(s
7、)系统根轨迹的绘制。系统根轨迹的绘制。控制系统如图控制系统如图所示所示.系统闭环传递系统闭环传递K (s zi)Gk(s)=G(s)H(s)=(s p j)K*H (s z j)(s p j)(s z)(s z)(s p)(s p)(K =KG H 称根轨迹增益称根轨迹增益)K i ji j l j=1hj=1f*Gi=1qj=1f li=1 j=1q hi=1 j=1=K(s)=(s z)KG(s p)(s z)(s z)(s p)(s p)K*(s zi)(s p j)(s p)+K (s z)ii i j i j i jfi=1qi=1f li=1 j=1q hi=1 j=1f hi=1
8、 j=1n mi=1 j=1G(s)1+G(s)H(s)1+K=G*比较开比较开环传递函数与闭环环传递函数与闭环传递函数可得：传递函数可得：(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增道根轨迹增益益。对单位反馈系对单位反馈系统，闭环系统根轨迹统，闭环系统根轨迹增益等于增益等于开环系统根轨迹增开环系统根轨迹增益益。(2)闭环零点由闭环零点由开环开环传递函数中前向通道传递函传递函数中前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。(3
9、)闭环极点与开环零、极点及开环闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹系统根轨迹增益增益K*有关。有关。根轨迹法的根本任务是：如何由已根轨迹法的根本任务是：如何由已知的知的开开环零、极点环零、极点的分布及根轨迹增益，通过的分布及根轨迹增益，通过图解法图解法找出闭环极点。从找出闭环极点。从而确定闭环传函的形式而确定闭环传函的形式，并，并进一步得到闭环系统的各项性能指标。进一步得到闭环系统的各项性能指标。4.4.4 根轨迹方程根轨迹方程为了绘制根轨迹为了绘制根轨迹,需要从系统的闭环特征方需要从系统的闭环特征方程入手。程入手。反馈系统的特征方程为：反馈系统的特征方程为：1+G(s)H(s)0或：或：G
10、(s)H(s)1根轨迹方程根轨迹方程当系统有当系统有m个开环零点和个开环零点和n个开环极点时，个开环极点时，|(s zK*=1|(s p)|(s z j)(s pi)=(2k+1)因为因为GK(s)为复数，所以根轨迹方程等于：为复数，所以根轨迹方程等于：Gk(s)=Gk(s)Gk(s)=1即：即：m j)|j=1n ii=1 m n j=1 i=1幅值幅值条件条件相角条件相角条件(k=0,1,2)幅值幅值条件为充分条件，用于确定条件为充分条件，用于确定K*的值；的值；相角条件为充相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。要条件，用于绘制根轨迹。=45 120 79 26 =180满足相角条件，所以满
11、足相角条件，所以s1是根轨迹上的点是根轨迹上的点o o o oo在在s平面上取一试验点平面上取一试验点s11.5+j2.5，检验它是否为，检验它是否为根轨迹上的点，若是则确定它所对应的根轨迹上的点，若是则确定它所对应的K*值是多少？值是多少？解：系统开环极点：解：系统开环极点：p1=0,p2 =2,p3 =6.6;开环零点：开环零点：z1 =4由相角条件：由相角条件：(s1 z1)(s1 p1)(s1 p2)(s1 p3)例：单位反馈系统开环传函例：单位反馈系统开环传函K =11.94由幅值由幅值条条件：件：K*(s1+4)s1(s1+2)(s1+2)*2.9 2.6 5.73.6s1(s1+2)(s1+6.6)(s1+4)得：得：=1