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1、第九章第九章重 积 分 几何意义：几何意义：乘积的和的极限乘积的和的极限三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义二、二重积分的定义二重积分的概念与性质 第九章 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高平顶柱体平顶柱体曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出基本思想基本思想：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积平顶柱体平顶柱体曲顶柱体：曲顶柱体：播放播放求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似
2、、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法.（1 1）分割）分割（2 2）近似）近似 每个小曲顶柱体每个小曲顶柱体的体积用小平顶柱体近似的体积用小平顶柱体近似.（3）求和求和（4
3、）取极限取极限求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，相加求极限即得薄片相加求极限即得薄片的总质量。的总质量。思路：思路：二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量面面面面积积积积元元元元素素素素二重积分是二元函数在平面区域上的积分。二重积分是二元函数在平面区域上的积分。即即注意：注意：(2)二重积分从数值上看是乘积的和的极限二重积分从数值上看是乘积的和的极限.(1)积分值与积分区域的分割方法无关积分值
4、与积分区域的分割方法无关.(3)可以证明，二元连续函数在有界闭区域可以证明，二元连续函数在有界闭区域 上是可积的。上是可积的。曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积平面薄片的质量平面薄片的质量用二重积分的符号，用二重积分的符号，变高变高二重积分的几何意义二重积分的几何意义:当被积函数小于零时，二重当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的相积分是曲顶柱体的体积的相反数反数性质性质2 2(k为常数为常数)性质性质3 3（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1 1性质性质4积分对区域的可加性积分对区域的可加性性质性质5 若在若在D上上
5、则有则有性质性质6（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）证证:由性质由性质6可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点使得使得因此因此几何意义几何意义：曲顶柱体的体积等于某个跟它同底、曲顶柱体的体积等于某个跟它同底、高为曲顶柱体的某一变高的平顶柱体的体积高为曲顶柱体的某一变高的平顶柱体的体积.例例1.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有解解:解：解：解：解：二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶
6、柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答