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1、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物点、线、面、体及其性质研究点、线、面、体及其性质研究采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第十章第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重重 积积 分分 ( )y f x , xa b ( , )z f x y ( , )x yD ( , , )u f x yz ( , , )x yz 采用PP管及配件
2、：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物， d)(axxf， bxxf d)(.d)( xxf01lim()niiiAfx 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.定义定义3.推广推广 baxxf d)(01lim()niiifx (1)被积函数被积函数在在a,b为为有界函数有界函数.)(xf(2)积分区间积分区间a,b是有限区间是有限区间.(1)被积函数被积函数在在a,b为为无界函数无界函数.)(xf(2)积分区间积分区间a,b是是无限区间无限区间.4.定积分思想：定积分思想：分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、
3、取极限.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 第十章第十章 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物10-1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：特点：平顶平顶.柱体体积柱体体积=？特点：特点：),(y
4、xfz D 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割、近似、求和、取极限近似、求和、取极限”的方法，的方法，曲顶柱体曲顶柱体曲顶曲顶.一、引例一、引例采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代
5、变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积),(yxfz Dxzyo采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”
6、的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根
7、据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、分割、近似、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，
8、边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xozy( , )z f xy D( , )iif i 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物步骤如下：步骤如下：用用若干个小平顶柱若干个小平顶柱xzyoD),( yxfz 先先分割分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的底，.),(1iiniif 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积( ,)iiiivf 为各小闭区域的为各小闭区域的直径的最大者直径的最大者.曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积，体体积之和近似体体积之和近似并取典型小区域，并取典型小区域，i ),(ii
9、0lim V采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物求平面薄片的质量求平面薄片的质量xyo( ,)iiiim ),(ii i 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为其面密其面密 ( , )x y 若若设设D D 的面积为的面积为 , , 则则M若若),(yx非常数非常数 , , 仍可用仍可用( (常数常数) )“大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和, ,求极限求极限” ” 解决解决. .
10、所有所有小块质量之小块质量之和和近似等于薄片近似等于薄片总质量总质量:01lim(,).niiiiM 其中：其中： 为各小闭区域为各小闭区域的直径的最大者的直径的最大者.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物两个问题的共性：两个问题的共性：(1) (1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) (2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, ,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积: : 平面薄片的质量平面薄片的质量: : (3) (3) 极
11、限值均取决与一个函数与其定义区域极限值均取决与一个函数与其定义区域. .01lim(,).niiiiVf 01lim(,).niiiiM 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域(1, 2 , ),iin 任取任取一点一点(,),iii 若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使01lim(,)niiiiIf 可积可积 , ( , )f x y( , )dDf x y (
12、 , )If x y称称为为在在D上的上的二重积分二重积分.,x y积分和积分和( , )dDf x y 积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D上的有界函数上的有界函数 , 则称则称称为积分变量称为积分变量采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1.对定义的说明：对定义的说明： Dyxf d),( 表示一个表示一个确定的数值确定的数值，它只与它只与Dyxf、),(有关，有关， 与与D的分割法、的分割法、),(ii 的取法、的取法
13、、积分变量所使积分变量所使用的字母用的字母无关无关， 即即( , )d( , )d .DDf x yf uv (1)(2)当当),( yxf在闭区域在闭区域D上上连续连续时，时，定义中和式的定义中和式的极限极限必存在，必存在， 即即二重积分必存在二重积分必存在.(3)底为底为D，顶为，顶为( , )z f x y 的的曲顶柱体的体积为：曲顶柱体的体积为： d),( Dyxfv) 0),( yxf平面薄片的质量为：平面薄片的质量为：( , )d ( ( , )0)Dmx yx y 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持
14、熔接部位干净无污物2.二重积分的几何意义二重积分的几何意义 Dyxf d),( Dyxf d),(即即当被积函数当被积函数大于大于零时，零时，当被积函数当被积函数小于小于零时，零时， 二重积分二重积分二重积分是柱体的体积二重积分是柱体的体积特殊地：特殊地：若在若在D上上,，1),( yxf则则 Dyxf d),( D dD的面积的面积是是柱体的体积的负值柱体的体积的负值.) 0),( yxf, v) 0),( yxf, v xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 222222xyRRxy dxdy 例例如如？采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP
15、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物d( , )Df x y yxddd 则面积元素为则面积元素为xyoD3.直角坐标系下的面积元素直角坐标系下的面积元素d( ,.d)Dxfyx y 如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常dd dx y二重积分记作二重积分记作,kkkyx 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作222222xyRRxy dxdy 例例如如？xzyRo222zRxy采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材
16、，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物性质性质当当k为常数时，为常数时， Dyxkf d),(性质性质 Dyxgyxf d),(),(.d),(d),( DDyxgyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1,性质性质2统称为统称为线性性质线性性质.d),( Dyxfk 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物性质性质对区域对区域D具有具有可加性可加性 Dyxf d),(性质性质 若若 为为D的面积，的面积，
17、D d1性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf Dyxf d),(特殊地特殊地.d),(d),( DDyxfyxf 12()DDD 则有则有 1d),(Dyxf .d),(2 Dyxf .d D.d),( Dyxg 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） Dyxf d),( Dyxf d),(二重积分估值不等式二重积分估值不等式)设设M、m分别是分别是f(x,y)在闭区域在闭区域D上的上的最大值最大值和和最小值，最小值， 为为D的面积，的面
18、积， 则则性质性质7设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上上连续，连续， 为为D的面积，的面积，则在则在D上至少存在一点上至少存在一点( , ), 使得使得 m M ),(f证：证：( , ),f x yD在在 上上连连续续( , )d,Dmf x yM 0 , 当当时时1( , )d,Dmf x yM 由闭区域上连续函由闭区域上连续函数的介质定理，数的介质定理，( , )D ，使使1( , )( , )dDff x y ，( , )d( , ) .Df x yf = =采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔
19、接部位干净无污物例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,而域而域 D 位位, 1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D1.xy 相相切切与直线与直线采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解2 yx例例2比较积分
20、比较积分 d)ln( Dyx d )ln(2 Dyx与与的大小，的大小，其中其中D是三角形闭区域，三顶点各为是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程为三角形斜边方程为在在D内有内有21 yx故故0ln()1,xy 于是于是 d)ln( Dyx2ln()ln() ,xyxy 因此因此.d )ln(2 Dyx oxy1212D2 yx., e 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例3. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxy
21、xD解解: D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解ab ，例例4区域区域D的面积的面积在在D上上22()dxyDIeD 不不作作计计算算, ,估估计计的的值值, ,其其中中 是是椭椭圆圆闭闭区区22221 (0).xyb aab 域域：2220,xya 22yxe,d222)(aDyxee 22()dxyDe ab
22、2.aab e 由性质由性质6知知01e ,2ae22(49)dDIxyD 不不作作计计算算, ,估估计计的的值值, ,其其思思考考 ：中中题题是是圆圆形形224.xy 区区域域采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. 422 yx解解在在D上，上， 9422yx2 2 dyxD)94(2236.100例例5估计积分估计积分 d) 94(22 yxID的值，的值，其中其中D是是圆形区域：圆形区域：而区域而区域D的面积的面积由性质由性质6知知9 9)( 422yx25944 4，所以所以 I即即94
23、，254 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分计算二重积分.(1)Dy若若区区域域 关关于于 轴轴对对称称, , 1( , )( , ),0 ,Dx yx yD x 记记则则( , )dDf x y (, )( , )fx yf x y 当当时时12( , )dDf x y ，(, )( , )fx yf x y 当当时时0，xyO1DD(2)Dx若若区区域域 关关于于 轴轴对对称称, , 2(
24、 , )( , ),0 ,Dx yx yD y 记记则则( , )dDf x y ( ,)( , )f xyf x y 当当时时22( , )dDf x y ，( ,)( , )f xyf x y 当当时时0，采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物yzxxyz采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 3(3)( , ),00DDx yD xy 若若区区域域 关关于于原原点点对对称称, ,记记或或，则则( ,
25、 )dDf x y (,)( , )fxyf x y 当当时时32( , )dDf x y (,)( , )fxyf x y 当当时时0，(4)Dyx 若若区区域域 关关于于对对称称则则注意注意:,使使用用时时必必须须兼兼顾顾被被积积函函数数和和积积分分区区域域两两方方面面 只只有有被被积积,.函函数数的的奇奇偶偶性性和和积积分分区区域域的的对对称称性性相相匹匹配配时时 才才能能使使用用( , )d d( , )d dDDf x yx yf y xx y 注：注： 关于关于 对称，即对称，即 互换互换 ， 保持不变保持不变. .Dyx , x yD（轮换对称性），轮换对称性），( , )dDf
26、 y x 1( , )d( , )d ,2DDf x yf y x 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 22( , )4,0,0 , ( )Dx y xyxyf xD 设设区区域域为为例例6(2005), a b上上的的正正值值连连续续函函数数，为为常常数数, ,则则( )( )d( )( )Da f xb f yf xf y （ ）( ); ( ); ( )() ; ( ).22ababA abBC abD 解解 由轮换对称性，有由轮换对称性，有( )( )d( )( )Da f xb f y
27、f xf y ( )( )d( )( )Da f yb f xf xf y ( )( )( )( )1dd2( )( )( )( )DDa f xb f ya f yb f xf xf yf xf y ( )( )( )( )1d2( )( )Daf xf ybf yf xf xf y d2Da b .2a b 21R4D采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例7. 证明证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cos
28、sin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 DDyxyxfyxfdd),(d),( .),(lim10iiniif Ixxfba d)(iniixf )(lim10 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直
29、角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:31111ddxyIxyxy 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且
30、 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xbad 六、曲顶柱体体积的计算六、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD