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1、3.1.33.1.3空间向量的数量积空间向量的数量积平面向量数量积的相关知识平面向量数量积的相关知识复习：复习：AOBAB平面向量的数量积平面向量的数量积教学过程一、几个概念一、几个概念1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义O OA AB B2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质1 1）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质2 2）是求向量的长度（
2、模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律二、二、课堂练习课堂练习三、典型例题三、典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面与平面内任意直线内任意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnl ll l要证要证l l与与g g垂直，只需证垂直，只需证lglg0 0而而m m，
3、n n不平行，由共面向不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有量定理知，存在唯一的有序实数对序实数对(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要证要证lglg0,0,只需只需l g=l g=xlm+yln=0 xlm+yln=0而而lmlm0 0，lnln0 0故故 lg lg0 0三三、典型例题典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l n nm mgg gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任重合的任一条直线一条直线g,g,在在l l、
4、m m、n n、g g上取非上取非零向量零向量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，相交，得向量得向量m m、n n不平行，由共面向量不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数定理可知，存在唯一的有序实数对（对（x x，y y），使），使 g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg 这就证明了直线这就证明了直线l垂直于垂直于平面平面 内的任一条直线，所以内的任一条直线，所以l 例例2：利用向量知识证明三垂线定理利用向量知识证明三垂线定理aA AO OP P例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知.由由 知知.练练1 1已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。解：解：练练2.2.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.解：解：