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1、关于平面向量的夹角关于平面向量的夹角现在学习的是第1页，共14页平面向量数量积的相关知识平面向量数量积的相关知识复习：复习：平面向量的夹角：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量叫做向量 a与与 b的夹角。的夹角。已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b，在平面上取一点在平面上取一点O，作作OA=a,OB=b,则则现在学习的是第2页，共14页平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积平面向量的数量积已知两个非零向量已知两个非零向量a,b，则，则|a|b|cos叫做向量叫做向量a,b的数量积，记作的数量积，记作即即并规定并规定 0现在学习的是第3页，共14页教学过程一、几
2、个概念一、几个概念1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义O OA AB B现在学习的是第4页，共14页2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。现在学习的是第5页，共14页3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质1 1）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质2 2）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：现在学习的是第6页，共14页4)
3、4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律现在学习的是第7页，共14页二、二、课堂练习课堂练习现在学习的是第8页，共14页三、典型例题三、典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交的交点为点为B，且，且l m，l n，求证：求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面内任与平面内任意直线意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnl ll l要证要证l l与与g g垂直，只需证垂直，只需证lglg0 0而而m m，n n不平行，由共面向量
4、不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实定理知，存在唯一的有序实数对数对(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要证要证lglg0,0,只需只需l g=xlm+yln=0l g=xlm+yln=0而而lmlm0 0，lnln0 0故故 lglg0 0现在学习的是第9页，共14页三三、典型例题典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的的交点为交点为B，且，且l m，l n，求证：，求证：l n nm mgg gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任一重合的任一条直线条直线g,g,在在l
5、l、m m、n n、g g上取非零向量上取非零向量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理可知，不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（存在唯一的有序实数对（x x，y y），），使使 g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 l g 这就证明了直线这就证明了直线l垂直于平垂直于平面面 内的任一条直线，所以内的任一条直线，所以l 现在学习的是第10页，共14页例例2：利用向量知识证明三垂线定理利用向量知识证明三垂线定理aA AO OP P现在学习的是第11页，共14页例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .现在学习的是第12页，共14页练练1 1已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。解：解：现在学习的是第13页，共14页27.09.2022感谢大家观看现在学习的是第14页，共14页