三角函数的性质与图像(二).pdf

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1、6.2三角函数的性质与图像（二）【课前预习】【课前预习】一知识梳理一知识梳理1、形如y Asin(x)的函数称为正弦型函数.一般要求A 0,0.（1）正弦型函数的图像T 2f(x)Asin(x)（2）正弦型函数f(x)Asin(x)(A 0,0)的性质：定义域：_；值域：_；周期：_；奇偶性:_；单调区间:_.2、函数f(x)Asin(x)(0)图像的变换：y sin x函数图像上点的横坐标_，纵坐标变为原来的_ 倍y Asin x函数图像向 _ 平移 _ 个单位y Asinx 函数图像点的纵坐标_，横坐标变为原来的_ 倍y Asinx ysinx函数图像上点的横坐标_，纵坐标变为原来的_倍y

2、 Asinx函数图像点的纵坐标_，横坐标变为原来的_倍y Asinx函数图像向 _平移_个单位y Asinx3、函数f(x)Asin(x)(0)图象的对称轴方程是_和对称中心坐标是_.二课前预习作业课前预习作业1、函数y 2sin(3x4)的图像的相邻两对称中心的距离是_.2、函数y 3sin(x 6)的图像是轴对称图形，它在0,)中的对称轴是_.3、右图为y Asin(x)(A 0,0,0)，x R图像的一部分，则函数解析式应为_2sin(2x39)_.4、关于 x 的方程sin x cos x k在区间0,上有两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是_.解:2sin(x 4)k sin(

3、x 4)22k,设f(x)sin(x4),x0,其图像由y sin x向左平移个单位所得,其图像如图所示:f(x)sin(x由图像可知k1,2).4)5、若直线x a与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图像分别交于M、N两点，则MN的最大值是_.6、把函数y sin x(xR R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍（纵 坐 标 不 变），得 到 的 图 象 所 表 示 的 函 数 是_sin(2x 3)_.7、若函数y tanx在(2,2)内是减函数,则实数的取值范围是_1,0_.8、若函数f(x)cos(x)(R)

4、是偶函数,则_k,k Z_.9、已知函数y sin3x在区间0,t上至少取得两个最大值,则正整数 t 的最小值是_.法一:函数的最小正周期为T 6,若区间0,t上至少取得两个最大值，则区间长度至少 1+3744个周期，所以t 672142法二：当33x 2 x 92时,函数达到原点右侧第一个最大值点,函数的最小正周期为T 6,则当x 10.5时函数达到原点右侧第二个最大值点,因此t 10.5,因此 t 的最小整数值为 11.【例题解析】【例题解析】例 1、用五点法作出y 2sin(2x3)在一个周期内的图像.解解（1）y=2sin2x 3的振幅 A=2,周期 T=，初相=.（2）令 X=2x+

5、,则 y=2sin2x 3=2sinX.列表，并描点画出图象：例 2、函数f(x)2asin2x 2 3asin xcosx a b(a 0)的定义域为0,2，值域为5,11，求a,b.解：fx a1cos2x3asin2xab =2asin2x62a b,2x766,6sin2x612,1,a 0,fx3ab,b5,113ab 5,b 11a 163,b 11例 3、设f(x)Asin(x)(A 0,0,|),其图像最高点为D(2,2),最高点运动到相邻最低点时,曲线经过点E(6,0),求f(x)的解析式.解:由最高点纵坐标为,则A 2,由最高点与相邻的零点的横坐标差为T4 4T 16,由T

6、 2f(x)Asin(x)8,2sin(82)2 sin(4)14,即函数解析式为f(x)2sin(x84).例 4、已知函数f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数,其图像关于点M(34,0)对称,且在区间0,2上是单调函数.求,的值.解:由函数是偶函数,则有f(0)0sin 12,由f(x)在区间0,2上是单调函数,可 知 其 最 长 的 单 调 区 间 的 长 度T222 0 2;由f(x)关于M(334,0)对称,则f(4)0,由3332,则f(4)sin(42)0cos40,142k3(24k)(kZ),当k 0时,f(x)cos3x;当k 1时,2,f(x)cos2x.例

7、5、若把f(x)sin(x)(0,0 2)的图像向右平移个单位或向左平移个单位,都可使对应的新函数成为奇函数,则原函数的图像的一条对称轴方程为()A.B.x C.D.x 588解一：y=sin（x+）（其中为锐角）的图象向右平移个单位得到：y=sin（x-）+）=sin（x+-）为奇函数则-=-向左平移个单位得：y=sin（x+）+）=sin（x+）则+=解得：=2，=-故 y=sin（2x-）易得：、是它的一条对称轴故选 D法二：即y sin(x)与y sin(x388)都是奇函数,即sin()0且sin(388)0,则与都是函数的零点,即 k1 (1)8,其中k Z,3 8 k2 (2)(

8、2)(1)2(k2 k1),即是偶数,由0,得2,而如图所示,是y sinx原点右侧的第一个零点,因此是f(x)sin(x),原点左侧的第一个零点,则有8 k2128k(kZ),由题意02,则018k28k 8k 4,由是偶数得8k 2(k Z),T 4k 1,2/T2 4k 1,是奇数,即区间38,8上共有偶数个零点,因此x 12(838)8是其对称轴,由T24k 1,则x 88k 24k 58(4k 1)(kZ)都是其对称轴,当k 0时,x 58是其对称轴,【回顾反思】【回顾反思】:【课后作业】1、已知函数 y=3sin12x 4（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由 y=si

9、nx 的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解解（1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一方法一“先平移，后伸缩”.先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移个单位，得到 y=sinx4的图象；再把 y=sinx4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到y=sin12x 14的图象，最后将 y=sin2x4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍（横坐标不变），就得到 y=3sin12x4的图象.方法二方法二“先伸缩，后平移”先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变

10、），得到y=sinx 的图象；再把y=sinx 图象上所有的点向右平移个单位，得到 y=sin(x-)=sinx24的图象，最后将 y=sinx24的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍（横坐标不变），就得到 y=3sin12x 4的图象.（3）周期 T=4，振幅 A=3，初相是-.(4)令12x 4=+k(kZ Z),得 x=2k+(kZ Z),此为对称轴方程.令 x-=k(kZ Z)得 x=+2k(kZ Z).对称中心为2k2,0(kZ Z).2、函数 y=Asin(x+)(0,|,xR R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 .答案答案y=-4sin8x43、（1）已知函数y sin

11、2x acos2x的图象关于x 6对称，求的值.（2）函数f(x)tan2x的图像的对称中心是_k4,0,k Z_4方程cos2x 2sin x 2m 3 0在0,2)上恰有两个相异的实数根，求m的取值范围.12sin2x2sinx2m3 0,即m sin2xsinx12令t sin x,x0,2则y t2t 1133t 24m(1,3)45、求函数y sin4x 2 3sin xcosxcos4x的最小正周期和值域,写出该函数在0,上的单调递增区间.最小正周期为T,值域为2,2。在0,上,函数在 6,30,0,3上单调递增;函数在56,430,56,上单调递增.6、要得到y cos(x24)

12、的图像,只需将y sinx2的图像(A)A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位.y cos(x214)sin2(x 2)7、已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,|2)的图像与 y 轴交于(0,2),其图像在 y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,3),(x0 2,3),(1)求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)图像的对称轴方程.解:(1)由题意A 3,且T2 2T 412,f(0)33123sin2sin2,由|26,因此函数的解析式为f(x)3sin(1x);(2)对称轴方程为1x2k x 2626232k(kZ)8、已知集合 M 是满

13、足下 列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数，对任意xR有f(xT)Tf(x)成立.若函数f(x)sinkxM，求实数的取值范围.解：sinkxTT sinkx对任意xR都成立T 1T 1时sinkxk sinkxkx k kx 2m或kx k kx 2m对任意xR都成立即k 2m或2kx k 2m（恒不成立，舍）T 1时sinkxk sinkx sinkxkx k kx 2m或kx k kx 2m对任意xR都成立即k m 0或k 2m1,mZT 1时k 2m,mZ；T 1时k 0或k 2m1,mZk n,nZ9、已知直线l1/l2，点到和的距离都是1。以点为顶点作一直角，设该直角的两边分别

14、交和于、，求ABC的周长的最小值.|AC|1sin,|BC|1cos,0,2|AB|111sin2cos2sincos111sincos1p sincossincossincos令sin cos t，则sincost212,t 2sin41,2p 22,t 1,2,pmin 22 1,此时t 142 11函数ysin在区间0，n上至少取得 2 个最大值，则正整数 n 的最小值是_8.解：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法考查了考生对三角函数周期性的理解和灵活利用先根据函数的解析式求得函数的最小正周期，进而依据题意可推断出在区间上至少有个周期进而求得 n6，求得 n 的最小值2若关于的方程3sin x 4cos x a在区间0,2内有两个相异实根,，求实数及的值.解：本题等价于函数y 3sin x4cosx,x0,2与函数y a的图像有两个不同的交点其中，y 3sin x4cosx,x0,2 42arctan,a4,5243 =5sinxarctan由图像得：3342arctan,a5,43 2