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1、三棱锥的外接球问题三棱锥三棱锥的外接球问题的外接球问题三棱锥的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文三棱锥的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从三棱锥的题型出发，进行归类总结，使学生全面掌握这些方法，提高解决这从三棱锥的题型出发，进行归类总结，使学生全面掌握这些方法，提高解决这类题的能力。类题的能力。1 1 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为12512512
2、5125 B.C.D.12963B2.三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，且SA AC SB BC 2 2，SC 4，则该球的A.体积为25632 B C16 D6433D3在三棱锥S ABC中，AB BC,AB BC 2，SA SC 2，二面角S AC B的余弦值是A3，若S,A,B,C都在同一球面上，则该球的表面积是3A8 6B6C24D6A4.在平面四边形ABCD中，AB AD CD 1，BD 2，BD CD，将其沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面ABD 平面BCD，若四面体A BCD顶点都在同一个球面上，则该球的体积为32 B3 C D22315.设直线l与球O有且只有一
3、个公共点P，从直线l出发的两个半平面,截球O的两个截面圆的半径 A分别为 1 和3，二面角l 的平面角为uuu ruuu r225 平行四边形 ABCD 中，ABBD=0，沿 BD 将四边形折起成直二面角A 一 BDC，且2 AB BD 4，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为（），则球O的表面积为 .162 B C4 D224uuu r uuu ruuu ruuu r试题分析：ABBD 0,所以AB BD,因为ABCD为平行四边形,所以CD BD,AB CD.因为AABDC为直二面角,所以面ABD 面CBD,因为面ABDI 面CBD=BD,AB 面ABD,AB BD,所以AB 面CBD.因
4、为BC 面CBD,所以AB BC.分析可知三棱锥ABCD的外接球的球心为AC的中22222222AC AB BC AB(CD BD)2AB CD 4,所 以AC 2.则 三 棱 锥点.因 为ABCD的外接球的半径为 1,表面积为4.故 C 正确.题型题型等腰四面体的外接球等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1.在三棱锥ABCD中，AB CD 6,AC BD AD BC 5，则该三棱锥的外接球的表面积为_43题型题型直角四面体的外接球直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径补成长方体，长方体对角线
5、长为球的直径科三棱锥的外接球问题1.已知正三棱锥P ABC，点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_。33 2设 A，B，C，D 是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足ABAC0，ADAC0，ABAD0，用 S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD 的面积，则 S1S2S3的最大值是_答案8 解析由ABAC0，ADAC0，ABAD0，ABAC，ADAC，ABAD，由点 A，B，C，D 构成的AB2AC22222三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为 2，AB AC AD(22)16，即2AB2AD2AD2AC21
6、116ABACABADACAD，S1S2S3(ABACABADACAD)22224 316，当且仅当 ABACAD时，3S1S2S3取得最大值 8.3三棱锥P ABC中，ABC为等边三角形，PA PB PC 2，PA PB，三棱锥P ABC的外接球的表面积为（）A48 B12 C4 3 D32 3【答案】B【解析】试题分析：由题意得：PA,PB,PC两两相互垂直，以PA,PB,PC为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC的外接球，半径为3，表面积为4(3)212，选 BC4.在正三棱锥ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，EF DE，若BC 2，则ABCD外接球的表面积为 A B2
7、 C3 D4C5.在正三棱锥S ABC中，M,N分别是SC,BC的中点，且MN AM，若侧棱SA 2 3，则正三棱锥S ABC外接球的表面积为A12 B32 C36 D486 已知直角梯形 ABCD，AB AD，CD AD，AB 2AD 2CD 2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为解：如图，AB 2，AD1，CD1，AC432，BC2，BC AC.取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，当三棱锥体积最大，平面DCA平面ACB，OBOAOCOD，OB1即为外接球的半径.此时三棱锥外接球的体积：434R 337已知正方形APP12P3的边长为 4，点B,C分别是边
8、PP12,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折叠成一个三棱锥P ABC（使P，则三棱锥P ABC的外接球的体积为（）1,P2,P3重合于点P）A.24 B.8 6 C.4 6 D.4三棱锥的外接球问题试 题 分 析：折 成 的 三 棱 锥P ABC如 图 所 示.由 题 意 可 知PA,PB,PC两 两 互 相 垂 直 且PA PB PC 4,AB AC 2 5,BC 2 2.设此棱锥外接球的半径r,则r 考点：棱锥的外接球.题型题型按定义找球心按定义找球心D1 已知三棱锥A BCD中，AB AC BD CD 2,BC 2AD,直线AD底面BCD所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是()A8B2
9、2 226.则外接球的体积为V 43r 8 6.故 B 正确.3，324 28 2CD3332 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A外接球的半径为3B表面积为7 3 1C体积为3D外接球的表面积为43的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为，所以外接球的表面积为解：由三视图可知，这是侧面ACDABC，高，设外接球的圆心为 0，半径为 x，则在直角三角形 OEC 中，OE2+CE2=OC2，即整理得，解得半径，所以 A，C，D 都不正确，故选 B三棱锥的外接球问题题型题型平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是
10、d，球的半径为，球的半径为R，截面圆的半径为，截面圆的半径为r，则有，则有R2 d2 r21.已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB 18,BC 24,AC 30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.1200 B.1400 C.1600 D.18002.已知一个球的球心O到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，3233.已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且AB 6,BC 2 3,则棱锥O ABCD的体若AB BC CA 3，则球的体积为.积为。8 3C4.高为2的四棱锥S ABCD的底面是边长为 1 的
11、正方形，点S.A.B.C.D均在半径为 1 的同一球面上，4则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为A22B C1 D242来源学5如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为6D1B1ODABC1A1C4 3，6 连结球面上两点的线段称为球的弦 半径为 4 的球的两条弦AB,CD的长度分别等于2 7、M,N分别为AB,CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB,CD可能相交于点M；弦AB,CD可能相交于点N；MN的最大值为 5；MN的最小值为 l.其中真命题的个数为 3 个题型题型求锥体的体积求锥体的体积1.已知三棱
12、锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2，则此棱锥的体积为 A2322 B C D6632三棱锥的外接球问题oC2（2011 辽宁理）已知球的直径SC 4，A,B是该球面上的两点，AB 3，ASC BSC 30，则三棱锥S ABC的体积为 A3 3 B2 3 C3 D 1uuu ruuu ruuu rB3 三棱锥P ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O,满足OAOB OC 0，A点在侧面PBC上的射影H是PBC的垂心，PA 6，则此三棱锥体积最大值是（）A12 B36 C48D244 4 正四棱锥正四棱锥S ABCD,SA 2 3,当它的体积最大时，它的高为当它的体积最大时，它的高为 2 2题型题型补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处1.已知P,A,B,C,D在球O的表面上，PA ABCD，PA 2 6，ABCD是边长为2 3的正方形，则OAB的面积为_3 32.三棱锥P ABC中，底面ABC是边长为 2 的正三角形，则三棱锥P ABCPA底面ABC，PA 3，的体积等于_。33.三棱锥P ABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC为等边三角形，PA平面 ABC，PA 2AB 2a,则该球的体积是32 33a27