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1、1专题对点练专题对点练 2222 直线与圆及圆锥曲线直线与圆及圆锥曲线1 1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为 4.2 4 (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.2 2.(2018 全国,文 20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8. (1)求l的方程. (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3 3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1 和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2 内切. (
2、1)求圆心P的轨迹E的方程; (2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k0),AMN 的面积为S,求的取值范围.24 4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4 相切.3(1)求圆O的方程; (2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0 对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;3(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5 5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4 为半径的圆上任意一 点,线段MF的垂直平分线
3、交MN于点R. (1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程; (2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交 于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若 不存在,请说明理由.6 6.(2018 天津,文 19)设椭圆=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,22+225 3|AB|=.13 (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0,即m-1 时,x1,2=22. + 1从而|AB|=|x1-x2|=4.22( + 1)由题设知|AB|=2|MN|,即 4=2(m+1
4、),2( + 1)解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7. 2 2.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2).由 = ( - 1), 2= 4?得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.22+ 42所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;42+ 42由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.42+ 42 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x
5、0,y0),则0= - 0+ 5,(0+ 1)2=(0- 0+ 1)22+ 16.?解得0= 3,0= 2?或0= 11,0= - 6.?因此所求圆的方程为 (x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 3 3.解 (1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4, 所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,3所以椭圆的方程为=1(x-2).2 4+2 3(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,2 4+2 34可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2
6、-12=0.A(-2,0)在椭圆=1 上,2 4+2 3x0(-2)=,则x0=,162- 123 + 426 - 823 + 42|AM|=.1 + 2(6 - 823 + 42+ 2)=1 + 2123 + 42同理|AN|=.1 +1212232+ 4所以S=|AM|AN|=.1 21 + 2123 + 421 +1212232+ 4,令k2+1=t1, =72(2+ 1)(32+ 4)(42+ 3),所以(0,6). =72(2+ 1)(32+ 4)(42+ 3)=72(4 - 1)(3 + 1)=7212 + 1 -1 4 4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4
7、 的距离,3即r=2.41 + 3 所以圆O的方程为x2+y2=4. (2)由题意,可设直线MN的方程为 2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,| 5所以+()2=22,即m=.2 535 所以直线MN的方程为 2x-y+=0 或 2x-y-=0.55(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.( + 2)2+ 2( - 2)2+ 2因为=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故2+ 2|NF|, R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,3曲线E
8、的方程为=1;2 4+2 3 (2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x, 假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|. 直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0, y1+y2=, y1y2=-4,|AF|=|FB|,=-2,215由解得k=2.2k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).22(1 2, -2)2直线与椭圆方程联立解得P,A.(2 5, -6 25) (10 7,6 27)yB2yQ,Q不是FB的中点
9、,即A,F,Q不是线段PB的四等分点. 同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,2不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6 6.解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得 2a=3b.由|AB|=,22=5 92+ 2= 13 从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.2 9+2 4 (2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2x10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由 BPM的面积是BPQ面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为 2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组2 + 3 = 6, = ,?6 3 + 2消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得2 9+2 4= 1, = ,?692+ 492+ 418k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-90,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题12 5 意. 所以,k的值为-.