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1、24.124.3一、选择题(每小题3分,共21分)1.已知为锐角,tan=3,则的度数为()A.60B.30C.45D.902.已知是等腰直角三角形的一个锐角,则sin的值为()A.12B.22C.32D.13.化简(tan60-1)2的结果为()A.1-33B.3-1C.33-1D.3+14.如图1,在ABC中,B=90,BC=2AB,则cosA的值为()图1A.52B.12C.255D.555.如图2,ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cosABC等于()图2A.55B.255C.5D.236.如图3,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,ACD=3BCD,E是斜边AB的中点,
2、则ECD的度数为()图3A.22.5B.30C.36D.457.如图4,要测量点B到河岸AD的距离,在点A处测得BAD=30,在点C处测得BCD=60,又测得AC=100米,则点B到河岸AD的距离为()图4A.100米B.503米C.20033米D.50米二、填空题(每小题4分,共24分)8.如图5,在ABC中,CE,BF是两条高.若A=70,BCE=30,则EBF的度数是,FBC的度数是.图59.已知在RtACB中,C=90,AB=13,AC=12,则cosB的值为.10.若一个三角形三个内角的度数比为123,则这个三角形中最小角的正切值为.图611.九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,
3、在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.”翻译成数学问题是:如图6所示,在ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,那么可列方程为.12.如图7是一张直角三角形纸片,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,如图所示,那么在RtABC中,sinB的值是.图713.如图8,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC的延长线上.若CAE=15,则AE=.图8三、解答题(共55分)14.(15分)计算:(1)tan45-sin30cos60;(2)sin30+sin245-13t
4、an260;(3)3tan30-1cos60+8cos45+(1-tan60)2.15.(5分)已知是锐角,且2cos(-15)=3,计算:2-4sin2+tan45.16.(6分)如图9,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,BD=3,CD=4,求A的三个三角函数值.图917.(9分)在ABC中,锐角A,B满足关系式|2cosA-2|+(tanB-1)2=0,试判断ABC的形状.18.(10分)如图10,在等腰三角形ABC中,BAC=120,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,且EF=3,求BF,CF的长.图1019.(10分)已知:如图11,CD是RtABC的斜
5、边AB上的高,用余弦、正切的定义证明:(1)BC2=ABBD;(2)CD2=ADBD.图11答案1.A2.B3.B解析 原式=|tan60-1|=|3-1|=3-1.4.D解析 设AB=x,则BC=2x,根据勾股定理得AC=5x,所以cosA=ABAC=x5x=55.故选D.5.B6.D7.B8.2040解析 在RABF和RtACE中,A=70,EBF=20,ECA=20.又BCE=30,ACB=50,则FBC=40.故答案为20,40.9.513解析 因为BC=132-122=5,所以cosB=513.10.33解析 三角形三个内角的度数比为123,可设三个内角的度数分别为x,2x,3x,x
6、+2x+3x=180,解得x=30,这个三角形中最小角的正切值为tan30=33.11.x2+32=(10-x)2解析 设AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在RtABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.故答案为x2+32=(10-x)2.12.32解析 sinB=sin60=32.13.814.解:(1)原式=1-1212=34.(2)原式=12+222-13(3)2=12+12-1=0.(3)原式=333-112+822+(1-3)2=3-2+2+3-1=23-1.15.解:2cos(-15)=3,cos(-15)=32,-15=30,=45,
7、则原式=2-4(22)2+1=2-2+1=1.16.解:由勾股定理,得BC=CD2+BD2=42+32=5.ACB=90,A+B=90.CDAB,BDC=90,B+BCD=90,A=BCD,sinA=sinBCD=BDBC=35,cosA=cosBCD=CDBC=45,tanA=tanBCD=BDCD=34.17.解:由题意知|2cosA-2|=0,(tanB-1)2=0,即2cosA-2=0,tanB-1=0,解得cosA=22,tanB=1,则A=45,B=45,所以C=180-A-B=180-45-45=90,所以ABC是等腰直角三角形.18.解析 根据等腰三角形的两底角相等求出B=C=
8、30.根据“直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”可得BF=2EF.连结AF,根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=BF.根据“等边对等角”可得BAF=B,再求出CAF=90,再次利用“直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”可得CF=2AF.解:BAC=120,AB=AC,B=C=12(180-120)=30.EF为AB的垂直平分线,EFAB,BF=2EF=23=6.如图,连结AF.EF为AB的垂直平分线,AF=BF=6,BAF=B=30,CAF=120-30=90,CF=2AF=26=12.19.解析 (1)根据余弦的定义,分别在RtABC和RtDBC中表示出cosB,根据等式的性质计算即可;(2)证明ACD=B,根据ACD和B的正切值相等计算.证明:(1)CD是RtABC的斜边AB上的高,ACB=CDB=90.在RtABC中,cosB=BCAB,在RtDBC中,cosB=BDBC,BCAB=BDBC,即BC2=ABBD.(2)ACB=CDB=90,ACD+BCD=90,B+BCD=90,ACD=B.在RtADC中,tanACD=ADCD,在RtDBC中,tanB=CDBD,ADCD=CDBD,即CD2=ADBD.