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1、高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案一、教学目标1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.二、教学重难点1. 教学重点归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.2. 教学难点正确区分“分类”和“分步”.三、教学过程（一）新课导入问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？（要求学生自主思考，举手回答，教师总结）英文字母共有2
2、6个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.（二）探索新知1. 分类加法计数原理思考：观察上述问题的特征，总结计数过程的基本环节.首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到号码的总数.上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.分类加法计数原理：完成一件事有两类不
3、同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为.2. 分步乘法计数原理思考：用前6个大写英文字母和19这9个阿拉伯数字，以的方式给教室
4、里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？在前一个问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码.上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确
5、定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为.3. 两个计数原理的综合应用两个原理的区别与联系：分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步区别每类方法都能独立完成这件事各
6、步都完成，才能完成这件事各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复联系都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题例3 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个字符要求用数字19，最多可以给多少个程序模块命名？解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从19中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是1399=1053，即最多可以给1053个程序模块命名.例4 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、
7、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为.（2
8、）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为.（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位
9、和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为.综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.用两个计数原理解决计数问题时的注意点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.分类要做
10、到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.（三）课堂练习1.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A.8种B.9种C.10种D.11种答案：B解析：设四位监考教师分别为，所教班级分别为.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同的方法.同理A监考时，也分别有3种不同的方法.由分类加法计数原理得，监考方法共有种. 故选B.2.从集
11、合中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有( )A.30个B.42个C.36个D.35个答案：C解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b，且，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有个虚数.故选C.3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为( )A.64B.56C.53D.51答案：C解析：由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，其中，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为.故选C
12、.4.某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从两人中安排一人，第四节课只能从两人中安排一人，则不同的安排方案共有_种.(用数字作答)答案：36解析：分两类：第一类，第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法；第二类，第一节课若安排B，则第四节课可安排A或C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有种排法.因此不同的安排方案有种.5.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1
13、个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法?（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法?答案：（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分类加法计数原理，知共有种不同的选法.（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法.由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类，从高一、高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法；第三类，从高二、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法.故共有种不同的选法.（四）小结作业小结：（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）两个计数原理的综合应用.作业：四、板书设计6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. 分类加法计数原理；2. 分步乘法计数原理；3. 两个原理的区别与联系；4. 两个计数原理的综合应用.