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1、高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式教案一、教学目标1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.会用等比数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的计算问题.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际问题.4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前n项和.5.掌握等比数列前n项和的性质，并能正确应用.二、教学重难点1、教学重点等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质及应用.2、教学难点等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法.三、教学过程1、新课导入国际象棋起源于古代印度，相传国王
2、要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.2、探索新知让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数
3、列前64项的和.一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.根据等比数列的通项公式，上式可写成.我们发现，如果用公比q乘的两边，可得.两式的右边有很多相同的项，用的两边分别减去的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即.因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.（1）因为，所以公式（1）还可以写成.（2）有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了.由，可得. 这个数很大，超过了.如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.接下来，通过对
4、例题的学习加深对知识的掌握.例1 已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求n.解：（1）因为，所以.（2）由，可得，即.又由，得，所以.（3）把，代入，得.整理，得.解得.例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q.解：若，则，所以.当时，由，得.整理，得，即.所以.例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，成等比数列，并求这个数列的公比.证明：当时，所以，成等比数列，公比为1.当时，.所以.因为为常数，所以，成等比数列，公比为.例4 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，
5、同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，因此，可以利用等差教列、等比数列的知识进行计算.解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，.当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.例5 某牧场今年初牛
6、的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，.（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数；（3）求的值（精确到1）.分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答.解：（1）由题意，得，并且.（2）将化成.比较的系数，可得.解方程组得.所以（1）中的递推公式可以化为.（3）由（2）可知，数列是以
7、-50为首项，1.08为公比的等比数列，则.所以.3、课堂练习1.在等比数列中，则( )A.8B.15C.D.31答案：C解析：由等比数列的前项和公式可得.故选C.2.等比数列的前项和，其中是常数，则( )A.B.C.1D.2答案：B解析：当时，.当时，化为，对于上式时也成立，解得.故选B.3.已知等比数列的前项和为，则数列的公比( )A.B.1C.D.2答案：C解析：等比数列中，则，变形可得，进而可得，解得.4.设等比数列前项和为，若，则( )A.32B.64C.72D.216答案：B解析：设等比数列的公比为.根据题意，等比数列中，若，即，又由，得，则.4、小结作业小结：本节课学习了等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质及应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计4.3.2等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.根据等比数列的通项公式，上式可写成.我们发现，如果用公比q乘的两边，可得.两式的右边有很多相同的项，用的两边分别减去的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即.因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.（1）因为，所以公式（1）还可以写成.（2）