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1、近世近世代数代数第第8节节子群的陪集子群的陪集主要内容主要内容:l子群的陪集子群的陪集lLagrange定理定理lLagrange定理的应用定理的应用l正规子群与商群正规子群与商群预备知识：预备知识：等价关系等价关系等价类等价类集合的划分集合的划分商集商集1近世近世代数代数陪集的定义陪集的定义定义定义1设设H是群是群G的子群，的子群，aG.令令aH=ah|hH称称aH是子群是子群H在在G中的中的左陪集左陪集.称称a为为aH的的代表元素代表元素.令令Ha=ha|hH，称，称Ha是子群是子群H在在G中的中的右陪集右陪集.称称a为为Ha的的代表元素代表元素.2近世近世代数代数陪集的陪集的实例实例例例
2、1设设G=e,a,b,c是是Klein四元群，四元群，H=(a)=e,a是是G的子群的子群.H所有的左陪集是：所有的左陪集是：eH=e,a=H,aH=a,e=H,bH=b,c,cH=c,b不同的左陪集只有两个，即不同的左陪集只有两个，即H和和b,c.e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e H所有的右陪集？所有的右陪集？3近世近世代数代数陪集的陪集的实例实例例例2设设S=1,2,3,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132).H所有的所有的左陪集左陪集是：是：(1)H=(1),(12)=(12)H=H(13)H=(13),(
3、132)=(132)H(23)H=(23),(123)=(123)H 不同的左陪集只有不同的左陪集只有3个个,即即H,(13)H,(23)H.H=(1),(12)是是S3的子群的子群.H所有的所有的右陪集右陪集是：是：H(1)=(1),(12)=H(12)=HH(13)=(13),(123)=H(123)H(23)=(23),(132)=H(132)不同的右陪集只有不同的右陪集只有3个个,即即H,H(13),H(23).4近世近世代数代数左陪集的基本性质左陪集的基本性质性质性质1设设H是群是群G的子群，则的子群，则(1)eH=H;(2)aG 有有aaH.性质性质2设设H是群是群G的子群，则的子
4、群，则 a,bG有有abH baH a 1bH aH=bH.性质性质3设设H是群是群G的子群的子群,则则(1)aG，aH;(2)a,bG，aH=bH或或aHbH=;(3)aH=G.性质性质4设设H是群是群G的子群，则的子群，则H的所有左陪集构成的的所有左陪集构成的集族是集族是G的一个划分的一个划分.5近世近世代数代数右陪集的基本性质右陪集的基本性质性质性质1设设H是群是群G的子群，则的子群，则(1)He=H;(2)aG 有有aHa.性质性质2设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG有有aHb bHa ba 1H Ha=Hb.性质性质3设设H是群是群G的子群的子群,则则(1)aG，Ha;(
5、2)a,bG，Ha=Hb或或HaHb=;(3)Ha=G.性质性质4设设H是群是群G的子群，则的子群，则H的所有右陪集构成的所有右陪集构成的集族是的集族是G的一个划分的一个划分.6近世近世代数代数有关陪集的有关陪集的问题问题设设H是群是群G的子群。的子群。H的所有左陪集都是的所有左陪集都是G的非空子集。的非空子集。请问：请问：H的左陪集一定是的左陪集一定是G的子群吗？的子群吗？判别群判别群G的非空子集的非空子集是是其子群的方法？其子群的方法？判别群判别群G的非空子集的非空子集不是不是其子群的方法？其子群的方法？7近世近世代数代数性质性质6设设H是群是群G的子群，令的子群，令Sl为为H的所有左陪集
6、构的所有左陪集构成的集族，成的集族，Sr为为H的所有右陪集构成的集族，则的所有右陪集构成的集族，则|Sl|=|Sr|.陪集的基本性质陪集的基本性质性质性质5设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb|.8近世近世代数代数Lagrange定理定理定理定理1（Lagrange）设）设G是有限群，是有限群，H是是G的子群，则的子群，则|G|=|H|G:H其中其中G:H是是H在在G中的不同左陪集中的不同左陪集(或右陪集或右陪集)个数，个数，称为称为H在在G 中的中的指数指数.证证设设G:H=r，a1,a2,ar分别是分别是H 的的r个不同右陪个不同右陪
7、集的代表元素，集的代表元素，G=Ha1Ha2Har|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|由由|Hai|=|H|，i=1,2,r,得得|G|=|H|r=|H|G:H9近世近世代数代数Lagrange定理的推论定理的推论推论推论1设设G是是n阶群，则阶群，则 aG，|a|是是n的因子，且有的因子，且有an=e.证证任取任取aG，(a)是是G的子群，的子群，(a)的阶是的阶是n的因子的因子.(a)是由是由a生成的子群，若生成的子群，若|a|=r，则，则(a)=a0=e,a1,a2,ar 1即即(a)的阶与的阶与|a|相等相等,所以所以|a|是是n的因子的因子.从而从而an=e.10近世近世代数代
8、数Lagrange定理的推论定理的推论推论推论2对阶为素数的群对阶为素数的群G，必存在，必存在aG使得使得G=(a).证证设设|G|=p，p是素数是素数.由由p2知知G中必存在非单位元中必存在非单位元.任取任取aG，a e，则，则(a)是是G的子群的子群.根据根据Lagrange定理，定理，(a)的阶是的阶是p的因子，即的因子，即(a)的阶是的阶是p或或1.显然显然(a)的阶不是的阶不是1，这就推出，这就推出G=(a).11近世近世代数代数Lagrange定理的应用定理的应用命题命题：如果群：如果群G 只含只含1阶和阶和2阶元，则阶元，则G 是是Abel群群.证证设设a为为G中任意元素，有中任
9、意元素，有a 1=a.任取任取x,yG，则，则xy=(xy)1=y 1x 1=yx，因此因此G是是Abel群群.12近世近世代数代数Lagrange定理的应用定理的应用例例3证明证明6阶群中必含有阶群中必含有3阶元阶元.证证设设G是是6阶群，则阶群，则G中元素只能是中元素只能是1阶、阶、2阶、阶、3阶阶或或6阶阶.若若G中含有中含有6阶元，设为阶元，设为a，则，则a2是是3阶元阶元.若若G中不含中不含6阶元，下面证明阶元，下面证明G中必含有中必含有3阶元阶元.如若不然，如若不然，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，即阶元，即 aG，有，有a2=e，由命题知，由命题知G是是Abel群群.取取G中中2
10、阶元阶元a 和和b，a b，令，令H=e,a,b,ab，则，则H 是是G的子群，的子群，但但|H|=4，|G|=6，与，与Lagrange定理矛盾定理矛盾.13近世近世代数代数例例4证明阶小于证明阶小于6的群都是的群都是Abel群群.Lagrange定理的应用定理的应用证证1阶群是平凡的，显然是阶群是平凡的，显然是Abel群群.2,3和和5都是素数，由推论都是素数，由推论2它们都是单元素生成的它们都是单元素生成的循环群，都是循环群，都是Abel群群.设设G是是4阶群阶群.若若G中含有中含有4阶元，比如说阶元，比如说a，则，则G=(a)是循环群，可知是循环群，可知G是是Abel群群.若若G中不含
11、中不含4阶元，阶元，G中只含中只含1阶和阶和2阶元，由命题可阶元，由命题可知知G也是也是Abel群群.14近世近世代数代数注意：注意：设设G是一个是一个n阶有限群，由阶有限群，由Lagrange定理可定理可知：知：G的子群的阶必是的子群的阶必是n的一个因子的一个因子.但反过来，则未必成立，即：但反过来，则未必成立，即：对对n的任一因子的任一因子d，G未必有一个未必有一个d阶子群阶子群.例如例如：交代群：交代群A4中就没有中就没有6阶子群阶子群.但在群论中有以下结论：但在群论中有以下结论：结论：结论：若若G是一个有限交换群，则是一个有限交换群，则Lagrange定理的定理的逆成立逆成立.例如：例
12、如：若若G=(a)是是n阶循环群，则对阶循环群，则对n的每个正因子的每个正因子d，G有且仅有一个有且仅有一个d 阶子群阶子群.Lagrange定理的注释定理的注释15近世近世代数代数等价关系与子群的陪集等价关系与子群的陪集设设H是群是群G的子群，在的子群，在G上定义二元关系上定义二元关系R：a,bG,(a,b)R a 1bH则则R是是G上的等价关系，且上的等价关系，且aR=aH.设设R是非空集合是非空集合X上的等价关系上的等价关系,则则 aX,aa。等价类的性质等价类的性质:陪集的性质陪集的性质:设设H是群是群G的子群，则的子群，则(1)eH=H;(2)aG 有有aaH.16近世近世代数代数等
13、价类的性质等价类的性质:陪集的性质陪集的性质:设设H是群是群G的子群，则的子群，则 a,bG有有abH baH a 1bH aH=bH.设设R是非空集合是非空集合X上的等价关系上的等价关系,则则 a,bX,有有(a,b)R abba a=b.等价关系与子群的陪集等价关系与子群的陪集17近世近世代数代数设设R是非空集合是非空集合X上的等价关系上的等价关系,则则(1)aX,a。(2)a,bX，a=b或或ab=;(3)a=X.等价类的性质等价类的性质:陪集的性质陪集的性质:设设H是群是群G的子群的子群,则则(1)aG，aH;(2)a,bG，aH=bH或或aHbH=;(3)aH=G.等价关系与子群的陪
14、集等价关系与子群的陪集18近世近世代数代数左陪集的定义左陪集的定义:等价类的定义等价类的定义:a=b|(a,b)R,bG设设H是群是群G的子群，的子群，aG.子群子群H在在G中的左陪集：中的左陪集：aH=ah|hH由于由于 a,bG,(a,b)R a 1bH所以，子群所以，子群H在在G中的左陪集：中的左陪集：aH=ah|hH=b|(a,b)R,bG=a =b|a 1bH,bG等价关系与子群的陪集等价关系与子群的陪集19近世近世代数代数正规子群与商群正规子群与商群定义定义1设设H是群是群G的子群。如果的子群。如果 aG有有aH=Ha，则，则称称H是群是群G的的正规子群正规子群或或不变子群不变子群
15、，记作，记作HG.定理定理1设设H是群是群G的正规子群，则的正规子群，则H的所有左陪集构成的所有左陪集构成的集合对的集合对群子集乘法群子集乘法形成一个群形成一个群.定义定义2群群G的正规子群的正规子群H的所有左陪集构成的集合对的所有左陪集构成的集合对群子集乘法形成一个群称为群子集乘法形成一个群称为G对对H的的商群商群，记为，记为G/H.20近世近世代数代数正规子群的判别正规子群的判别定理定理2(正规子群的判别定理正规子群的判别定理)设设H是群是群G的一个的一个子群子群，则则(1)H是群是群G的正规子群的正规子群 aG有有aHa-1=H;(2)H是群是群G的正规子群的正规子群 aG有有aHa-1
16、 H;(3)H是群是群G的正规子群的正规子群 aG,hH有有aha-1H.注意：注意：(1)定理定理2的前提条件是：的前提条件是：H是群是群G的一个的一个子群子群，而不是：而不是：H是群是群G的一个的一个非空子集非空子集.(2)子群与正规子群之间的关系子群与正规子群之间的关系.21近世近世代数代数主要内容：主要内容：l子群陪集的定义和性质子群陪集的定义和性质lLagrange定理定理lLagrange定理的一些简单应用定理的一些简单应用l正规子群的定义和判别正规子群的定义和判别总总 结结基本要求：基本要求：l熟悉陪集的定义和性质熟悉陪集的定义和性质l熟悉熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用定理及其推论，学习简单应用l熟悉正规子群的定义及商群的构造熟悉正规子群的定义及商群的构造22