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1、第一章 勾股定理一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列各组数中,是勾股数的为()A.13,14,15B.0.6,0.8,1.0C.1,2,3D.9,40,412.在RtABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为()A.2B.4C.6D.83.a,b,c为ABC的三边长,下列条件不能判定ABC是直角三角形的是()A.a2=c2-b2B.a=3,b=4,c=5C.ABC=345D.a=5k,b=12k,c=13k(k为正整数)4.如图1,分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形,其中两个正方形的面积分别为26和10,则正方形A的边长是()图1A.4B.8C.16D.365.一
2、艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时、同地以12海里/时的速度向西南方向航行,它们离开港口3小时后相距()A.60海里B.30海里C.20海里D.80海里6.如图2,在由边长均为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点上,构成图中三条线段AB,BC,CD.现在取出这三条线段AB,BC,CD首尾相连拼成三角形,下列判断正确的是()图2A.能拼成一个直角三角形B.能拼成一个锐角三角形C.能拼成一个钝角三角形D.不能拼成三角形7.如图3,圆柱的底面直径为16,BC=12,动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,则移动的最短路径长为()图3A.10B
3、.12C.14D.208.如图4,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,若小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,则一个直角三角形的周长是()图4A.6B.7C.12D.159.如图5所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方距离地面4.5 m高的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光.一个身高1.5 m的学生走到离墙多远的地方灯刚好发光()图5A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m10.如图6,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC边的中点,MNAC于点N,那么MN等于()图6A.65B.85C.125D.245二、填空题(
4、每小题4分,共24分)11.某直角三角形的周长为60,斜边长与一条直角边长之比为135,则这个三角形的三边长分别为.12.如图7,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少为米.图713.如图8,在四边形ABCD中,ABDC,B=90.若BC=4 cm,AD=DC=5 cm,则AB=cm.图814.如图9,在ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则ABD的面积是.图915.如图10,AD是ABC的中线,AD=12,AB=13,BC=10,若AC边上的高为BH,则BH的长为.图1016.如图11,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,已
5、知CE=3,AB=8,则BF=.图11三、解答题(共46分)17.(6分)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根四尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是如图12所示,在ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=4,求AC的长.图1218.(6分)如图13,一个工人拿一个2.5米长的梯子,底端放在离墙脚0.7米处,另一端靠墙.如果梯子的顶部下滑0.4米,那么梯子的底部向外滑了多少米?图1319.(8分)如图14是一个无盖长方体容器,其底面是一个边长为3 cm的正方形,高为20 cm.现有一根彩带从底面点A开始绕长方体四
6、个侧面,刚好缠绕4周到达点B(假设彩带完美贴合长方体表面,彩带宽度不计),则彩带的长度最短是多少?图1420.(8分)如图15,某电信公司计划在A,B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔,且使C,D两个村庄到E的距离相等.已知ADAB于点A,BCAB于点B,AB=80 km,AD=50 km,BC=30 km,则5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方?图1521.(8分)如图16,在ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=50,BC=130,BE=120.(1)判断ABE的形状,并说明理由;(2)求ABC的周长.图1622.(10分)阅读材料,并回答相应问题.2000多年来,人们对勾股定
7、理的证明颇感兴趣,不但因为这个定理重要、基本,还因为这个定理贴近人们的实际生活,所以很多人都探讨、研究它的证明,新的证法不断出现.如图17是传说中毕达哥拉斯的证明图形:图17证明:在图(a)中,S大正方形=(a+b)2,S大正方形=四个直角三角形的面积+两个小正方形的面积=4+.在图(b)中,S大正方形=(a+b)2,S大正方形=四个直角三角形的面积+小正方形的面积=4+.所以4+=4+.整理,得2ab+a2+b2=2ab+c2.所以.问题:(1)将材料中的空缺部分补充完整;(2)如图18,在ABC中,A=60,ACB=75,CDAB于点D,AC=4,AD=2,求BC2的值.图18答案1.D2
8、.D3.C4.A5.A解析 作出图形如图所示,因为东南方向线和西南方向线的夹角为90,所以ABC为直角三角形.在RtABC中,AC=163=48(海里),BC=123=36(海里),则AB2=AC2+BC2=482+362=602,所以AB=60 海里.故选A.6.A7.A8.C9.A10.C解析 如图,连接AM.因为AB=AC,M为BC边的中点,所以AMBC(三线合一),BM=CM.因为BC=6,所以BM=CM=3.在RtABM中,AB=5,BM=3,所以根据勾股定理得AM2=AB2-BM2=52-32=16,所以AM=4.又因为SAMC=12MNAC=12AMCM,所以MN=AMCMAC=
9、125.故选C.11.26,24,1012.713.8解析 过点D作DEAB于点E,如图所示.由题意知四边形BCDE是长方形,所以CD=BE=5 cm,DE=BC=4 cm.在RtADE中,AE2=AD2-DE2=9,所以AE=3 cm,所以AB=AE+BE=8(cm).故答案为8.14.15解析 延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE.因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD.在ABD和ECD中,因为BD=CD,ADB=EDC,AD=ED,所以ABDECD(SAS),所以CE=AB=5,BAD=E.因为AE=2AD=12,CE=5,AC=13,所以CE2+AE2=AC2,所以E=90,所
10、以BAD=90,即ABD为直角三角形,ABD的面积=12ADAB=15.故答案为15.15.12013解析 因为AD是ABC的中线,BC=10,所以BD=CD=5.可得AD2+BD2=AB2,所以ADB是直角三角形,ADB=90,所以ADC=90,所以AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=13.因为AC边上的高为BH,所以BCAD2=ACBH2,即10122=13BH2,解得BH=12013.故答案为12013.16.6解析 由折叠的性质知AD=AF,DE=EF=8-3=5.在RtCEF中,EF=5,CE=3,由勾股定理可得CF=4.若设AD=AF=x,则BC=x,BF=x-
11、4.在RtABF中,由勾股定理可得82+(x-4)2=x2,解得x=10,故BF=x-4=6.17.解:因为在ABC中,ACB=90,所以AC2+BC2=AB2.设AC=x,则AB=10-x,所以x2+42=(10-x)2,解得x=215.故AC的长为215.18.解:如图,在RtABC中,AB=2.5米,AC=0.7米,由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=2.52-0.72=5.76,所以BC=2.4米.因为BE=0.4米,所以EC=BC-BE=2.4-0.4=2(米).又因为DE=AB=2.5米,所以在RtDEC中,由勾股定理,得DC2=DE2-EC2=2.52-22=2.25.所以DC
12、=1.5米.所以DA=DC-AC=1.5-0.7=0.8(米).因此,梯子的底部向外滑了0.8米.19.解:如图,将长方体的侧面沿AB展开,取AB的四等分点C,D,E,取AB的四等分点C,D,E,连接BE,DE,CD,AC,则AC+CD+DE+EB=4AC即为所求.因为AC2=AA2+AC2=122+52=169,所以AC=13 cm,所以AC+CD+DE+EB=4AC=52 (cm).故彩带的长度最短是52 cm.20.解:设AE=x km,则BE=(80-x) km.因为ADAB,BCAB,所以ADE和BCE都是直角三角形,所以DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2.又因为AD=5
13、0 km,BC=30 km,DE=CE,所以502+x2=(80-x)2+302,解得x=30.故5G信号塔E应该建在离A乡镇30 km的地方.21.解:(1)ABE是直角三角形.理由:因为BC2=1302=16900,BE2=1202=14400,CE2=502=2500,所以BE2+CE2=BC2,所以BCE为直角三角形,且BEC=90,所以AEB=90,故ABE是直角三角形.(2)设AB=AC=x,则AE=x-50.由(1)可知ABE是直角三角形,所以BE2+AE2=AB2,所以1202+(x-50)2=x2,解得x=169,所以ABC的周长为AB+AC+BC=169+169+130=468.22.解:(1)12aba2b212abc212aba2b212abc2a2+b2=c2(2)因为CDAB,所以ADC=BDC=90.因为A=60,所以ACD=30.又因为ACB=75,所以BCD=45,所以B=45,所以BD=CD.在RtACD中,CD2=AC2-AD2=42-22=12,所以BD2=CD2=12.在RtBCD中,BC2=BD2+CD2=24.