《2019版高中数学 第二章2.3.1 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第二章2.3.1 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、12.3.12.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题知识点一 离散型随机变量的均值设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg.思考 1 任取 1 个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案 X5,6,7.思考 2 X取上述值时，对应的概率分别是多少？答案 P(X5) ，P(X6) ，P(X7).4
2、 121 33 121 45 12思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？答案 5 6 7.5 46 37 5 121 31 45 1273 12梳理 (1)离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)均值的性质若YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，Y也是随机变量；E(aXb)aE(X)b.知识点二 两点分布、二项分布的均值1两点分布：若X服从两点分布，则E(X)p.2二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np.1随机变量X的均值E(X)
3、是个变量，其随X的变化而变化( )22随机变量的均值与样本的平均值相同( )3若随机变量X的均值E(X)2，则E(2X)4.( )类型一 离散型随机变量的均值命题角度1 利用定义求随机变量的均值例 1 袋中有 4 个红球，3 个白球，从袋中随机取出 4 个球设取出一个红球得 2 分，取出一个白球得 1 分，试求得分X的均值考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算解 X的所有可能取值为 5,6,7,8.X5 时，表示取出 1 个红球 3 个白球，此时P(X5)；C1 4C3 3 C4 74 35 X6 时，表示取出 2 个红球 2 个白球，此时P(X6)；C2 4C2
4、 3 C4 718 35X7 时，表示取出 3 个红球 1 个白球，此时P(X7)；C3 4C1 3 C4 712 35X8 时，表示取出 4 个红球，此时P(X8).C4 4 C4 71 35所以X的分布列为X5678P4 3518 3512 351 35所以E(X)5678.4 3518 3512 351 3544 7反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值(2)求出X取每个值的概率P(Xk)(3)写出X的分布列(4)利用均值的定义求E(X)跟踪训练 1 现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元，1.18 万元，
5、1.17 万元的概率分别为 ，随机变量X表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则X1 61 21 33的均值为( )A1.18 B3.55C1.23 D2.38考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为X的所有可能取值为 1.2,1.18,1.17，P(X1.2) ，P(X1.18) ，P(X1.17) ，1 61 21 3所以X的分布列为X1.21.181.17P1 61 21 3所以E(X)1.2 1.18 1.17 1.18.1 61 21 3命题角度2 两点分布、二项分布的均值例 2 (1)设XB(40，p)，且E(X)16，则p等于(
6、)A0.1 B0.2C0.3 D0.4(2)一次单元测试由 20 个选择题组成，每个选择题有 4 个选项，其中仅有 1 个选项正确，每题选对得 5 分，不选或选错不得分一学生选对任意一题的概率为 0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为_考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 (1)D (2)90解析 (1)E(X)16，40p16，p0.4.故选 D.(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则XB(20,0.9)，Y5X.由二项分布的均值公式得E(X)200.918.由随机变量均值的性质得E(Y)E(5X)51890.反思与感悟 (1)常见的两种
7、分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则4两点分布E(X)p；二项分布E(X)np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度(2)两点分布与二项分布辨析相同点：一次试验中要么发生要么不发生不同点：a随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2，n.b试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验跟踪训练 2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X表示该地的 100
8、位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)设所求概率为P1，则P11(10.5)(10.6)0.8.故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是 20.类型二 离散型随机变量均值的性质例 3 已知随机变量X的分布列为：X21012P1 41 31 5m1 20若Y2X，则E(Y)_.考点 离
9、散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 17 15解析 由随机变量分布列的性质，得5 m1，解得m ，1 41 31 51 201 6E(X)(2) (1) 0 1 2.1 41 31 51 61 2017 30由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y)2.(17 30)17 15引申探究本例条件不变，若aX3，且E()，求a的值11 2解 E()E(aX3)aE(X)3a3，17 3011 2所以a15.反思与感悟 若给出的随机变量与X的关系为aXb，a，b为常数一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E()也可以利用X的分布列得到的分布列，关
10、键由X的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E()跟踪训练 3 已知随机变量和，其中127，且E()34，若的分布列如下表，则m的值为( )1234P1 4mn1 12A. B. C. D.1 31 41 61 8考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 A解析 因为127，则E()12E()7，即E()12734.(1 1 42 m3 n4 1 12)所以 2m3n ，5 3又 mn1，1 41 12所以mn ，2 36由可解得m .1 31已知离散型随机变量X的分布列为X123P3 53 101 10则X的均值E(X)等于( )A. B23 2C.
11、 D35 2考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 E(X)1 23 .3 53 101 103 22抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得1 分，则得分X的均值为( )A0 B. C1 D11 2考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为P(X1) ，P(X1) ，1 21 2所以由均值的定义得E(X)1 (1) 0.1 21 23若p为非负实数，随机变量的分布列为012Pp1 2p1 2则E()的最大值为( )7A1 B. C. D23 22 3考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型
12、随机变量均值的计算答案 B解析 由p0， p0，得 0p ，则E()p1 .故选 B.1 21 23 24若随机变量B(n,0.6)，且E()3，则P(1)的值是( )A20.44 B20.45C30.44 D30.64考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 C解析 因为B(n,0.6)，所以E()n0.6，故有 0.6n3，解得n5.则P(1)C 0.60.4430.44.1 55袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n(n1,2,3,4)个现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值；(2)若a4，E()1，求a的值考点 离散
13、型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合解 (1)的分布列为01234P1 21 201 103 201 5的均值E()0 1234 .1 21 201 103 201 53 2(2)E()aE()41，又E() ，3 2则a 41，a2.3 21求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；8(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值2若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值一、选择题1设 15 000 件产品中有 1 000 件废品，从中抽取 15
14、0 件进行检查，则查得废品数X的均值为( )A20 B10 C5 D15考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 B解析 废品率为，所以E(X)15010.1 151 152随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的均值是( )A0.6 B1 C3.5 D2考点 题点 答案 C解析 抛掷骰子所得点数的分布列为123456P1 61 61 61 61 61 6E()1 2 3 4 5 6 3.5.1 61 61 61 61 61 63离散型随机变量X的可能取值为 1,2,3,4，P(Xk)akb(k1,2,3,4)，E(X)3，则ab等于( )A10 B5C. D.1 5
15、1 10考点 离散型随机变量的均值的性质9题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 D解析 易知E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即 30a10b3.又(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即 10a4b1，由，得a，b0.1 104设的分布列为1234P1 61 61 31 3又设25，则E()等于( )A. B. C. D.7 617 617 332 3考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 D解析 E()1 2 3 4 ，1 61 61 31 317 6E()E(25)2E()525.17 632 35一个课外兴趣小组共有 5
16、 名成员，其中 3 名女性成员，2 名男性成员，现从中随机选取2 名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )A. B.6 53 10C. D.4 51 5考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 由题意得，P(X0)，C2 2 C2 51 10P(X1) ，P(X2).C1 2 C1 3 C2 56 103 5C2 3 C2 53 10E(X)01 2 ，故 A 正确1 103 53 106 5106同时抛掷 5 枚均匀的硬币 80 次，设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上，3 枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A20 B3
17、0 C25 D40考点 离散型随机变量均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 C解析 抛掷一次正好出现 3 枚反面向上，2 枚正面向上的概率为，所以C2 5 255 16XB，故E(X)8025.(80，5 16)5 167今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于( )A0.765 B1.75C1.765 D0.22考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 B解析 P(X0)(10.9)(10.85)0.10.150.015，P(X1)0.9(10.85)0.85(
18、10.9)0.22，P(X2)0.90.850.765.E(X)00.01510.2220.7651.75.8在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的 5 名同学的投篮命中率分别为 ，3 51 22 33 41 3每人均有 10 次投篮机会，至少投中 6 次才能晋级下一轮测试假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( )A1 人 B2 人C3 人 D4 人考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 C解析 5 名同学投篮各 10 次，相当于各做了 10 次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为 10 6,10 6,10 6,10 E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大