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1、学科数学年级/册九年级（上）教材版本人教版课题名称一元二次方程根的判别式的应用难点名称一元二次方程根的判别式的应用难点分析从知识角度分析为什么难应用一元二次方程根的判别式（或根的情况）解较为复杂的方程、不等式或证明问题等综合应用在中考中是必考内容，对于学生是易错点，也是难点.从学生角度分析为什么难学生已经学过一元二次方程的解法，并对=b2-4ac的作用有初步的了解，在此基础上，进一步研究=b2-4ac的应用，分类讨论、归纳总结，它是前面知识的深化和总结.难点教学方法1.通过根的判别式定理学习的基础上，能够由b2-4ac的符号判断一元二次方程根的情况（由一元二次方程根的情况判断b2-4ac的符号
2、），从而解决字母的取值范围、代数式的值、三角形的形状等问题，进一步理解根的判别式的意义；2.采用教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践认识实践”的认知规律，利用根的判别式解决相关问题.教学环节教学过程导入一元二次方程ax2 +bx+c=0（ a0 ）的根的判别式通常用“”来表示，即=b2-4ac，我们学到的的最基本的作用是利用=b2-4ac的符号判别一元二次方程根的情况：当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程无实数根. 反之，仍然成立. 现在我们一起来学习根的判别式的其他应用.知识讲解（难点突破）类型1 利用根的判
3、别式求字母的取值范围 例1 若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0 有实数根，则k的取值范围是 . 解析：由已知b-1+=0 ，根据非负数的性质得b-1=0，且a-4=0，所以a=4，b=1，所以方程为kx2+4x+1=0 ，由题意b2-4ac=42-4k0，所以k4，又一元二次方程二次项系数k0 ，所以k4且k0 .类型2 利用根的判别式求代数式的值 例2 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，求的值. 解：由题意得=b2-4ac=0，而c=1，则b2=4a，所以=4 例3 （山东潍坊中考）已知关于x的方程（a -6）x2-8x+6=0有实数根，则整数a
4、的最大值是（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 解析：此题要分类讨论：（1） 当a=6时，此方程为一元一次方程，方程的实数根为x=；（2） 当a6时，此方程为一元二次方程，由题得b2-4ac0，即(-8)2 -46(a-6)20，解得a，又因为a为整数，所以a的最大值是8. 综上可知，a的最大值是8.类型3 运用根的判别式判断三角形的形状 一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别由ABC的三边的代数式构成，已知方程的根的情况；利用根的判别式得出关于三角形三边长的等式即可判断ABC的形状. 一般来说，如果让我们判断三角形的形状，那么这个三角形大多数
5、情况是特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形），因此，通过化简根的判别式得出三角形两边（或三边）相等，或两边平方的和等于第三边的平方，则可以判断ABC的形状. 例4 已知关于x的方程4(a+c)x2+4bx+a-c=0有两个相等的实数根，试判断以a、b、c为三边的三角形的形状.解：以a、b、c为三边的三角形是直角三角形. 理由如下：因为方程4(a+c)x2+4bx+a-c=0有两个相等的实数根，所以b2-4ac=0，即(4b)2-44(a+c)(a-c)=0，所以b2-a2+c2=0，即b2 +c2= a2，所以以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.课堂练习（难点巩固）1.如果关于x
6、的一元二次方程kx2-x+1=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .2.已知a、b、c是三角形的三边长，且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.小结（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的考点，所以必须牢固掌握好它.（2）一元二次方程ax2 +bx+c=0（a0）（=b2-4ac） 根的判别式 根的情况 b2-4ac0 方程有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根 b2-4ac0 方程无实数根()()()（3）利用一元二次方程根的情况与b2-4ac的符号之间的关系可以解决字母的取值范围、代数式的值、三角形的形状等问题.