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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【创新设计】2016-2017 学年高中数学第一章导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业新人教版选修 2-2 明目标、知重点1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路是：优化问题 用函数表示的数学问题优化问题的答案 用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.情境导学 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常
2、称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学一些生活中的优化问题探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案例 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣
3、传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm，则版心的宽为128x dm，此时四周空白面积为S(x)(x4)128x2 128 2x512x8，x0.求导数，得S(x)2512x2.令S(x)2512x20，解得x16(x 16 舍去)于是宽为128x128168.当x(0,16)时，S(x)0.因此，x16 是函数S(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小反思与感悟(1)在求最值时，往往建立
4、函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_米答案32,16 解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L2x512x(x0)，则L 2512x2.令L 0，得x16.x0，x 16.当x16 时
5、，Lmin64，此时堆料场的长为5121632(米)探究点二利润最大问题例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是yf(r)0.2 43r3 0.8 r20.8 r33r2，0r6.令f(r)0.8(r22r)0.当r2 时，f(r)0.当r(0,2)时，f(r)0.因此，当半径r2 时，f(r)0，它表示f(r)单调
6、递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值半径为 6 cm 时，利润最大反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax3 10(x6)2，其中 3x6，a为常数已
7、知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3 元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5 时，y11，所以a210 11，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310(x6)2 210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值 42单调递减由上表可得，x4
8、 是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大探究点三费用(用材)最省问题例 3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y1kv2，当v12 时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意，得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学yy1200v81 000v2v8，y2 000v v8 1 000v2v821 000v216 000vv82.
9、令y 0，得v16，当v016，即v16 km/h 时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0 时，y0，即y在(8，v0 上为减函数，当vv0时，ymin1 000v20v08(元)综上，当v016 时，v16 km/h 全程燃料费最省，为 32 000 元；当v016，即vv0时全程燃料费最省，为1 000v20v08元反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v16 时取得最小值本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35 海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500 海里，每小时的
10、运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960 元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得y500 x(960 0.6x2)480 000 x300 x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y480 000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知，y480 000 x2300，令y 0，解得x40 或x 40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当 0 x35 时，y0)已知贷款的利率为0.048 6
11、，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6 答案B 解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0 x0.048 6)，则y 0.097 2kx3kx2(0 x0.048 6)令y 0，得x0.032 4或x0(舍去)当 0 x0；当 0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.
12、032 4时，银行获得最大收益3统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y1128 000 x3380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)1128 000 x3380 x 8 100 x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学11 280 x2800 x154(0 x120)，h(x)x640800 x2x3803640 x2(0
13、x120)令h(x)0，得x80.因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80 时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升 呈重点、现规律 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)13
14、x3x28(0 x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.203 C 1 D 8 答案C 解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0 x5)，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3V B.32V C.34V D 23V答案C 解析设底面边长为x，则表面积S32x243xV(x0)S3x2(x34V)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令S 0，得x34V.3如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.l63B.l33C.l43D.14l43答案
15、A 解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则 4r2hl，hl4r2，Vr2hl2r22r30r0，rl6是其唯一的极值点当rl6时，V取得最大值，最大值为l63.4用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120 000 cm3B128 000 cm3C150 000 cm3D158 000 cm3答案B 解析设水箱底边长为x cm，则水箱高h 60 x2(cm)水箱容积VV(x)x2h60 x2x32(cm3)(0 x390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B 200
16、 C 250 D 300 答案D 解析由题意得，总利润P(x)x3900300 x20 000，0 x390，70 090 100 x，x390，令P(x)0，得x300，故选 D.二、能力提升6.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)答案6 3 解析设y为流出的水中杂质的质量分数，则ykab，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使
17、y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b30a2a(0a20，y25.两栏面积之和为2(x20)y 25218 000，由此得y18 000 x2025.广告的面积Sxyx(18 000 x20 25)18 000 xx20 25x.S18 000 x20 xx20225360 000 x20225.令S0 得x140，令S0 得 20 x140.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)当x140 时，y175.即当x140，y175 时，S取得最小值24 500，故当广告
18、的高为140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256 万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m 640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即nmx1.所以yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2x)x256mxm x2m256.(2)由(1)知，f(x)2
19、56mx212mx12m2x2(x32512)令f(x)0，得x32512，所以x64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64 处取得最小值此时nmx16406419.故需新建9 个桥墩才能使y最小11一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40 元，其他费用每小时需200 元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.小学+初中+高
20、中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则总费用f(x)(kx3200)axa(kx2200 x)由已知条件，得40k203，k1200，f(x)a(1200 x2200 x)令f(x)a x320 000100 x20，得x10320.当 0 x10320时，f(x)0；当 10320 x0.当x10320时，f(x)有最小值，即速度为10320 km/h 时，总费用最少三、探究与拓展12某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米
21、建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2l43r3，又V803，故lV43r3r2803r243r43(20r2r)由于l2r，因此 0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r43(20r2r)3 4r2c，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学因此y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得y 8(c2)r160r28c2r2(r320c2)，03，所以c 20.当r320c2 0 时，r320c 2.令320c2m，则m0，所以y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，令y 0，得rm.当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即 3c92时，当r(0,2 时，y0，函数单调递减，所以r2 是函数y的最小值点综上所述，当392时，建造费用最小时r320c2.