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1、.1.41.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例课时作业A 组基础巩固1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度为f错误错误!xx8,那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是A8C1B.错误错误!D82232解析：原油温度的瞬时变化率为fx2x 1,所以当x1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案：C2以长为 10 的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为A10C25B15D50解析：如图,CDEF为半圆O的内接矩形,C、D为圆上的动点,连接OC,设COF,则CF5sin,OF5cos,S矩形CDEF25cos5sin25sin 20S
2、矩形CDEF的最大值为 25.答案：C3某人要购买 8 件礼物,分两次购买,商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方,若使购买礼物付款额最省,此人每次购买礼物的数量分别为A2,6C3,5B4,4D1,733解析：设第一次购买了x件礼物,则第二次购买了8x件,则付款额fx,f3x2323,令f0,得x4,当x4 时,付款额最省答案：B4 某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,.若总收入R与年产量x的关系是R错误错误!400 x,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是A150C250B200D300解析：由题意可得总利润P错误错
3、误!300 x20 000,0 x390,由P错误错误!3000,得x300.当 0 x300 时,P0；当 300 x390 时,P0,所以当x300 时,P最大答案：D5某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k0,贷款的利率为 0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为xx,为使银行获得最大收益,则存款利率应定为A0.032C0.04B0.024D0.03623解析：设存款利率为x,依题意：存款量是kx,银行应支付的利息是kx,贷款的收益是0.048kx,x所以银行的收益是y0.048kxkx0 x,由于y0.096kx3kx,令y0
4、 得x0.032 或x0,又当 0 x0；当0.032x0.048 时,y0,所以当x0.032 时,y取得最大值答案：A6海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 海里/时,当速度为10 海里/时时,它的燃料费是每小时25 元,其余费用都是每小时 400 元如果甲乙两地相距 800 海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为_解析：由题意设每小时的燃料费y与航速v间满足yav,又25a10,a错误错误!.设从甲地到乙地海轮的航速为v,总费用为f,则fav错误错误!错误错误!40020v错误错误!,由f40v错误错误!0,得v2030.答案
5、：20 海里/时7某工厂需要围建一个面积为512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_解析：设长,宽分别为a,b,则ab512,且la2b,l2b错误错误!,l2错误错误!,令l0 得b256,b16,a32.即当长、宽分别为 32 m、16 m 时最省材料答案：32 m,16 m8某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库.232332223.存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,y1和y2分别为 2 万元和 8 万元那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建
6、在离车站_ km 处解析：依题意可设每月土地占用费y1错误错误!,每月库存货物的运费y2k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数于是由 2错误错误!得k120；由 810k2得k2错误错误!.因此,两项费用之和为y错误错误!错误错误!0,y错误错误!错误错误!,令y0,得x5,或x5 当 0 x5 时,y5 时,y0.因此,当x5 时,y取得极小值,也是最小值故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积,S2Rh2R2由VR h,得h错误错误
7、!,则2S2R错误错误!2R2错误错误!2R2,令S错误错误!4R0,解得,R错误错误!,从而h错误错误!错误错误!错误错误!2错误错误!.即h2R.因为S只有一个极值,所以它是最小值所以当罐的高与底直径相等时,所用材料最省10用长为 90 cm,宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm,容器的体积为Vcm.则Vx4x276x4 320 x0 x323V12x2552x4 3201212 0 x令V0,得x110,x236.当 0 x10
8、时,V0,V是增函数；当 10 x24 时,V0,V是减函数；因此,在定义域内,函数V只有当x10 时取得最大值,其最大值为V1019 600故当容器的高为 10 cm 时,容器的容积最大,最大容积是 19 600 cm.B 组能力提升1横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为A.错误错误!d,错误错误!dC.错误错误!d,错误错误!dB.错误错误!d,错误错误!dD.错误错误!d,错误错误!d233解析：如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y,由题意,知当xy取最大值时,横梁的强度最大ydx,xyx0
9、x令fx0 x,求导数,得fd3x.令f0,解得x错误错误!d,或x错误错误!d当 0 x错误错误!d时,f0；当错误错误!dxd时,f0,因此,当x错误错误!d时,f取得极大值,也是最大值综上,当矩形横断面的高为错误错误!d,宽为错误错误!d时,横梁的强度最大答案：C2已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y4x在x轴上方的曲线上,则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为A2,错误错误!C.错误错误!,2B.错误错误!,错误错误!D4,错误错误!22222222222解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为,其中 0 x0,则另一个在抛物线上的顶点为,在x轴上的两个顶点分别为,设矩
10、形的面积为S,则S2x0 x,则S86x.令S0,得x错误错误!或22x错误错误!当 0 x0；当错误错误!x2 时,S0.因此,当x错误错误!时,S取得极大值,也就是最大值,此时,2x错误错误!,4x错误错误!.所以矩形的长和宽分别为错误错误!和错误错误!时,矩形的面积最大.2.答案：B3某厂生产某种产品x件的总成本：C1 200错误错误!x,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产 100 件这样的产品的单价为50 元,总利润最大时,产量应定为_解析：设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a xk,由题知k250 000,则a x250 000,所以a错误错误!,总利润y
11、500错误错误!错误错误!x1 2000,3223y错误错误!错误错误!x2,由y0,得x25,当x时,y0,当x时,y0,所以当x25 时,y取得最大值答案：25 件4若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为_解析：如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则Rrcos,l2rsin.S侧2Rl2rcos2rsin4rsincos.由S侧4r0,得错误错误!.当错误错误!,即R错误错误!r时,S侧最大,且S侧最大值为 2r.答案：2r5某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销经调查,每投入广告费t,可增加销售额约为t5t若该公司将当年广告费的投入控制在3 百万元之
12、内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大？现该公司准备共投入3 百万元,分别用于广告促销和技术改造经预测,每投入技术改造费x,可增加的销售额约为错误错误!xx3x请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大解析：设投入t的广告费后增加的收益为f,则有ftt4t 40故当t2时,f取得最大值4百万元,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大设用于技术改造的资金为x,则用于广告促销的资金为,又设由此而获得的收益是g,则有222322222222g253错误错误!x34x3.2gx4.令g0,解得x2或x2.又当 0 x2 时,g0；当 2x3 时,g0,故g在0,2上
13、是增函数,在2,3上是减函数当x2 时,g取得最大值,即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销时,该公司由此获得的收益最大6设某物体一天中的温度T是时间t的函数：Tatbtctdt0表示12点,t0表示12点以后,t0表示12点以前 若测得该物体在8点的温度为8,12点的温度为 60,13 点的温度为58,并且该物体的温度在8 点和 16 点有相同的变化率写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；该物体在 10 点到 14 点这段时间内,在何时温度最高？最高值是多少？解析：根据题意,得错误错误!即错误错误!又该物体的温度在 8 点和 16 点有相同的变化率,且T3at2btc,TT,即48a8bc48a8bc.b0.将b0 代入上述方程组中,并进行化简得错误错误!错误错误!该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为Tt3t60.由,T3t33,令T0,得t1.当t变化时,T和T的变化情况如下表：23232tTT210极大值 6210极小值 5826258可知t1 是函数的极大值点,且极大值为T62；t1 是函数的极小值点,且极小值为T58.又函数在区间2,2的端点函数值为T58,T62,比较以上数值可以得出,当t2 或1 时,T取最大值,即在 11 点、14 点时物体的温度最高,最高温度为 62.