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1、2021年全国高中数学联赛试卷解析_2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联合竞赛A卷参考答案及评分标准一试讲明：1.评阅试卷时，请根据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格根据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8小题，每题8分，满分64分1设ba,为不相等的实数，若二次函数baxxxf+=2)(知足)()
2、(bfaf=，则=)2(f答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22aba+=-，即20ab+=，所以(2)424fab=+=2若实数知足tancos=，则4cossin1+的值为答案：2.解：由条件知，sincos2=，反复利用此结论，并注意到1sincos22=+，得)cos1)(sin1(sinsinsincoscossin122224-+=+=+2cossin22=-+=3已知复数数列nz知足),2,1(1,111?=+=+nnizzznn，其中i为虚数单位，nz表示nz的共轭复数，则=2021z答案：2021+1007i解：由己知得，对一切正整数n，有211(1)11
3、(1)2nnnnzznizninizi+=+=+=+,于是202111007(2)20211007zzii=+?+=+4在矩形ABCD中，1,2=ADAB，边DC上包含点D、C的动点P与CB延长线上包含点B的动点Q知足条件BQDP=，则PQPA?的最小值为答案34解：不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,l)设P的坐标为t,l)其中02t，则由|DPBQ=得Q的坐标为2，-t)，故(,1),(2,1)PAtPQtt=-=-,因而，22133()(2)(1)(1)1()244PAPQtttttt?=-?-+-?-=-+=-+当12t=时，min3()4PAPQ?=5在正方体中随机取三条棱，它
4、们两两异面的概率为答案：255解：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析共有312C=220种下面考虑使3条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向即AB、AD、AE的方向，具有一样方向的4条棱两两共面，因而取出的3条棱必属于3个不同的方向可先取定AB方向的棱，这有4种取法不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH由上可知，3条棱两两异面的取法数为42=8，故所求概率为8222055=6在平面直角
5、坐标系xOy中，点集0)63)(63(),(-+-+yxyxyx所对应的平面区域的面积为答案：24解：设1(,)|3|60Kxyxy=+-先考虑1K在第一象限中的部分，此时有36xy+,故这些点对应于图中的OCD及其内部由对称性知，1K对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部同理，设2(,)|3|60Kxyxy=+-，则2K对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被1K、2K中恰好一个所覆盖的部分，因而此题所要求的即为图中阴影区域的面积S由于直线CD的方程为36xy+=，直线GH的方程为36xy+=，故它们的交点P的坐标为33(,)22
6、由对称性知，138842422CPGSS?=?=7设为正实数，若存在实数)2(,w无解；(ii)ww22925则称abcd为P类数；2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析若dccbbadccbba，故Bdcba反之，每个Bdcba唯一对应于从中的元素abcd这建立了1A与B之间的逐一对应，因而有011()()|NPNQABAABA-=-=+-=下面计算0|A对任一四位数00Aabc,b可取0,1，9，对其中每个b，由9由条件知，222,xyzxyz+=+=，故2222224()2zyxzyzyzy-=-=-+8分因而，结合平均值不等式可得，422332111111
7、3(2)3222444yyzyyyyyyy+=+?=12分当212yy=，即312y=时，z的最小值为3324此时相应的x值为3324，符合要求由于2logcz=，故c的最小值32235log(2)log343=-16分10此题满分20分设4321,aaaa为四个有理数，使得：?-=2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析故2231412113,242,82aaaaaa=-=-，15分结合1aQ，只可能114a=由此易知，123411,4,642aaaa=-=-或者123411,4,642aaaa=-=-=检验知这两组解均知足问题的条件故123494aaaa+=20
8、分11此题满分20分在平面坐标系xOy中，21,FF分别为椭圆1222=+yx的左右焦点，设不经过焦点1F的直线l与椭圆交于两个不同的点BA,，焦点2F到直线l的距离为d，假如11,BFlAF的斜率依次成等差数列，求d的取值范围解：由条件知，点1F、2F的坐标分别为-1,0和l,0)设直线l的方程为ykxm=+，点A、B的坐标分别为11(,)xy和22(,)xy，则12,xx知足方程22()12xkxm+=，即222(21)4(22)0kxkmxm+-=由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故12,xx是方程的两个不同实根，因而有的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0kmkm
9、km?=-?+?-=+-，即2221km+由直线11,BFlAF的斜率1212,11yykxx+依次成等差数列知，1212211yykxx+=+，又1122,ykxmykxm=+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kxmxkxmxkxx+=+，化简并整理得，12()(2)0mkxx-+=假设mk=，则直线l的方程为ykxk=+，即z经过点1F-1,0)，不符合条件因而必有1220xx+=，故由方程及韦达定理知，1224()221kmxxk=-+=+，即12mkk=+由、知，222121()2kmkk+=+，化简得2214kk，这等价于2|2k反之，当,mk知足及2|2k时，
10、l必不经过点1F否则将导致mk=，与矛盾,而此时,mk知足，故l与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了1AF、1BF的斜率存在否则12,xx中的某一个为-l，结合1220xx+=知121xx=-，与方程有两个不同的实根矛盾10分点2Fl,0到直线l:ykxm=+的距离为2222|1111|2|(2)221111kmdkkkkkk+=?+=?+注意到2|2k，令211tk=+，则(1,3)t，上式可改写为2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析21313()()222tdttt=?+=?+考虑到函数13()()2fttt=?+在1,3上上单调递减，故由得，(3)(
11、1)fdf2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析引理：设120naaa，则1110(1)niiiaa-=-事实上，由于1(1,2,1)iiaain+=-，故当n是偶数时，1123411(1)()()()0niinniaaaaaaa-=-=-+-+-，11232111(1)()()niinnniaaaaaaaa-=-=-当n是奇数时，11234211(1)()()()0niinnniaaaaaaaa-=-=-+-+-+，1123111(1)()()niinniaaaaaaa-=-=-引理得证30分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)
12、nnnniiiiiiiiiaanaana-=?+-+?，这就证实了结论40分证法三：加强命题：设12,naaa?2n是实数，证实：能够选取12,1,1n?-，使得2221111()()()()nnniiiiiiiaanan=+.证实不妨设22212naaa?，下面分n为奇数和n为偶数两种情况证实.当n为奇数时，取12121n-=?=，13221nnn+=?=-，于是有12221112()()()nnniijniijaaa-+=+-12221122()+()nnijnijaa-+=1222112112()+2()()22nnijnijnnana-+=-?-应用柯西不等式.1222112(1)()
13、+(1)()nnijnijnana-+=-+另外，由于22212naaa?，易证有122211211(1)(1)nnijnijaann-+=+-，因而，由式即得到1222112(1)()+(1)()nnijnijnana-+=-+211()()niinan=+，故n为奇数时，原命题成立，而且由证实经过可知，当且仅当12121n-=?=，13221nnn+=?=-，且12naaa=?=时取等号.2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析当n为偶数时，取1221n=?=，24221nnn+=?=-，于是有2222112()()()nnniijniijaaa+=+-2222
14、2122()+()nnijnijaa+=2222122()+2()()22nnijnijnnana+=?-应用柯西不等式.222212()+()nnijnijnaa+=22111()()()nniiiinanan=+，故n为偶数时，原命题也成立，而且由证实经过可知，当且仅当120naaa=?=时取等号，若12,naaa?不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证.2此题满分40分设,21nAAAS?=其中nAAA,21?是n个互不一样的有限集合)2(n，知足对任意的SAAji,，均有SAAji，若2min1=iniAk，证实：存在iniAx1=，使得x属于nAAA,21?中的至少
15、kn个集合证实：不妨设1|Ak=设在12,nAAA中与1A不相交的集合有s个，重新记为12,sBBB，设包含1A的集合有t个，重新记为12,tCCC由已知条件，1()iBAS，即112(),itBACCC，这样我们得到一个映射12121:,()stiifBBBCCCfBBA=显然f是单映射，于是，st10分设112,kAaaa=在nAAA,21?中除去12,sBBB，12,tCCC后，在剩下的nst-个集合中，设包含ia的集合有ix个1ik，由于剩下的nst-个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个ia，进而12kxxxnst+-20分不妨设11maxiikxx=，则由上式知instxk-，即
16、在剩下的nst-个集合中，包含1a的集合至少有nstk-个又由于),2,1(1tiCAi?=?，故12,tCCC都包含1a，因而包含1a的集合个数至少为(1)nstnsktnsttkkk-+-+=利用2knk利用st)40分3此题满分50分如图，ABC?内接于圆O，P为BC弧上一点，点K在AP上，使得BK平分ABC，过CPK,三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于E，连接PE，延长交AB于F，证实：FCBABC=2证法一：设CF与圆Q交于点L异于C)，连接PB、PC、BL、KL2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆上，结合A
17、、B、P、C四点共圆，可知FEB=DEP=180-DCP=ABP=FBP，因而FBEFPB，故FB2=FEFP10分又由圆幂定理知，FEFP=FLFC，所以FB2=FLFC进而FBLFCB因而,FLB=FBC=APC=KPC=FLK,即B、K、L三点共线30分再根据FBLFCB得，FCB=FBL=12ABC,即ABC=2FCB证法二：设CF与圆交于点L异于C)对圆内接广义六边形DCLKPE应用帕斯卡定理可知，DC与KP的交点A、CL与PE的交点F、LK与ED的交点了共线，因而B是AF与ED的交点，即B=B所以B、K、L共线10分根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四点共圆，得ABC=AP
18、C=FLK=FCB+LBC,又由BK平分ABC知，FBL=12ABC，进而ABC=2FCB4此题满分50分求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n都有1)1(2+-nk不整除!)!(nkn解：对正整数m，设2()vm表示正整数m的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()vmmSm=-，这里()Sm表示正整数m在二进制表示下的数码之和由于1)1(2+-nk不整除()!knn，等价于2()!()(1)!knvknn-，即22()!)(!)knvknnvn-，进而由知，此题等价于求所有正整数k，使得()()SknSn对任意正整数n成立10分我们证实，所有符合条件的k为2(0,1,2,)aa=一方面，由于(2)()aSnSn=对任意正整数n成立，故2ak=符合条件20分另一方面，若k不是2的方幂，设2,0,akqaq=?是大于1的奇数下面构造一个正整数n，使得()()SknSn2021年全国高中数学联赛试卷解析2021年全国高中数学联赛试卷解析对任意整数,(01)ijijt，故212(0,1,1)tulualtq+-?=-的二进制表示中均不包含1，故由可知21()1()()umSSttSmqq-=+?=,因而上述选取的m知足要求综合上述的两个方面可知，所求的k为2(0,1,2,)aa=50分