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1、第3章,fluent湍流模型第三章，湍流模型第一节，前言湍流流动模型很多，但大致能够归纳为下面三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。即：2121xuuut?=-31推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ijijjitjikxuxuuu32-?+?=-32模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，能够分为零方程模型代数方程模型，单方程模型和双方程模型。第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。第三类是大涡模拟。
2、前两类是以湍流的统计构造为基础，对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。实际求解中，选用什么模型要根据详细问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。FLUENT提供的湍流模型包括：单方程Spalart-Allmaras模型、双方程模型标准-模型、重整化群-模型、可实现(Realizable)-模型及雷诺应力模型和大涡模拟。湍流模型种类示意图包含更多物理机理每次迭代计算量增加提的模型选RANS-basedmodels第二
3、节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。对于速度，有：iiiuuu+=33其中，iu和iu分别是平均速度和脉动速度i=1,2,3类似地，对于压力等其它标量，我们也有：+=34其中，表示标量，如压力、能量、组分浓度等。把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均去掉平均速度iu上的横线，我们能够把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：0)(=?+?iiuxt35()jijllijijjijiiuuxxuxuxuxxpDtDu-?+?-?+?+?-=3236上面两个方程称为雷诺平均的Navier-StokesRANS方程
4、。他们和瞬时Navier-Stokes方程有一样的形式，只是速度或其它求解变量变成了时间平均量。额外多出来的项jiuu-是雷诺应力，表示湍流的影响。假如要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。假如密度是变化的流动经过如燃烧问题，我们能够用法夫雷Favre平均。这样才能够求解有密度变化的流动问题。法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均。变量的密度加权平均定义为：/=37符号表示密度加权平均；对应于密度加权平均值的脉动值用表示，即有：+=。很显然，这种脉动值的简单平均值不为零，但它的密度加权平均值等于零，即：0，0=Boussinesq近似与雷诺应力输运模型为了封闭方程，必须
5、对额外项雷诺应力jiuu-进行模拟。一个通常的方法是应用Boussinesq假设，以为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即：ijiitijjitjixukxuxuuu)(32?+-?+?=-38Boussinesq假设被用于Spalart-Allmaras单方程模型和-k双方程模型。Boussinesq近似的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比拟少，例如在Spalart-Allmaras单方程模型中，只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在-k双方程模型中，只需多求解湍动能k和耗散率两个方程，湍流粘性系数用湍动能k和耗散率的函数。Boussinesq假设的缺点是以为湍流粘性系数t是各向同性标量，
6、对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限制性。另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率方程。这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解4个输运方程，而三维湍流问题需要多求解7个方程，需要比拟多的计算时间，对计算机内存也有更高要求。在很多问题中，Boussinesq近似方法能够得到比拟好的结果，并不一定需要花费很多时间来求解雷诺应力各分量的输运方程。但是，假如湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力驱动的二次流等流动中，求解雷诺应力分量输运方程无疑能够得到更好的结果。第三节，湍流模型3.3.1单方程Spalart-Allmaras模型Sp
7、alart-Allmaras模型的求解变量是，表征出了近壁粘性影响区域以外的湍流运动粘性系数。的输运方程为：YxCxxGDtDjbjj-?+?+?+=)(1239其中，G是湍流粘性产生项；Y是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；和2bC是常数；是分子运动粘性系数。湍流粘性系数用如下公式计算：1ft=其中，1f是粘性阻尼函数，定义为：31331Cf+=，并且。湍流粘性产生项，G用如下公式模拟：1SCGb=310其中，222fdkSS+，而1211ff+-=。其中，1bC和k是常数，d是计算点到壁面的距离；Sijij2。ij定义为：?-?=jiijijxuxu21311由于平均应变率对湍流
8、产生也起到很大作用，FLUENT处理经过中，定义S为：),0min(ijijprodijSCS-+312其中，0.2=prodC，ijijij，ijijijSSS2，平均应变率ijS定义为：?+?=jiijijxuxuS21313在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小。这合适涡流靠近涡旋中心的区域，那里只要“单纯的旋转，湍流遭到抑止。包含应变张量的影响更能体现旋转对湍流的影响。忽略了平均应变，估计的涡旋粘性系数产生项偏高。湍流粘性系数减少项Y为：21?=dfCYww314其中，6/1636631?+=wwwCgCgf315)(62rrCrgw-+=31622dkSr317其中，1
9、wC，2wC，3wC是常数，222fdkSS+。在上式中，包括了平均应变率对S的影响，因此也影响用S计算出来的r。上面的模型常数在FLUENT中默认值为：1335.01=bC，622.02=bC，3/2=，1.71=C，2211/)1(/bbwCkCC+=，3.02=wC，0.23=wC，41.0=k。壁面条件在壁面，湍流运动粘性设置为零。当计算网格足够细，能够计算层流底层时，壁面切应力用层流应力应变关系求解，即：yuuu=318假如网格粗错不能用来求解层流底层，则假设与壁面近邻的网格质心落在边界层的对数区，则根据壁面法则：?=yuEkuuln1319其中，k=0.419，E=9.793。对流
10、传热传质模型在FLUENT中，用雷诺类似湍流输运的概念来模拟热输运经过。给出的能量方程为：heffijjitpiiiSuxTtckxpEuxEt+?+?+?=+?+?)(Pr)()(320式中，E是总能量，effij)(是偏应力张量，定义为：ijiieffjiijeffeffijxuxuxu?-?+?=32)()(321其中，effij)(表示粘性加热，耦合求解。假如默以为分开求解，FLUENT不求解处effij)(。但是能够通过变化“粘性模型面板上的湍流普朗特数Prt，其默认值为0.85。湍流质量输运与热输运类似，默认的Schmidt数是0.7，该值同样可以以在“粘性模型面板上调节。标量的壁
11、面处理与动量壁面处理类似，分别选用适宜的壁面法则。综上所述，Spalart-Allmaras模型是相对简单的单方程模型，只需求解湍流粘性的输运方程，并不需要求解当地剪切层厚度的长度尺度。该模型对于求解有壁面影响流动及有逆压力梯度的边界层问题有很好模拟效果，在透平机械湍流模拟方面也有较好结果。Spalart-Allmaras模型的初始形式属于对低雷诺数湍流模型，这必须很好解决边界层的粘性影响区求解问题。在FLUENT中，当网格不是很细时，采用壁面函数来解决这一问题。当网格比拟粗糙时，网格不知足准确的湍流计算要求，用壁面函数也许是最好的解决方案。另外，该模型中的输运变量在近壁处的梯度要比-k中的小
12、，这使得该模型对网格粗糙带来数值误差不太敏感。但是，Spalart-Allmaras模型不能预测均匀各向同性湍流的耗散。并且，单方程模型没有考虑长度尺度的变化，这对一些流动尺度变换比拟大的流动问题不太合适。比方，平板射流问题，从有壁面影响流动忽然变化到自由剪切流，流场尺度变化明显。3.3.2标准-k模型标准-k模型需要求解湍动能及其耗散率方程。湍动能输运方程是通过准确的方程推导得到，但耗散率方程是通过物理推理，数学上模拟类似原形方程得到的。该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响能够忽略。因而，标准-k模型只合适完全湍流的流动经过模拟。标准-k模型的湍动能k和耗散率方程为如下形式：Mbkikt
13、iYGGxkxDtDk-+?+?=322kCGCGkCxxDtDbkikti2231)(-+?+?=323在上述方程中，kG表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，bG是用于浮力影响引起的湍动能产生；MY可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响。湍流粘性系数2kCt=。在FLUENT中，作为默认值常数，1C1.44，2C=1.92，09.0=C，湍动能k与耗散率的湍流普朗特数分别为k1.0，1.3。能够通过调节“粘性模型面板来调节这些常数值。3.3.3重整化群-模型重整化群-模型是对瞬时的Navier-Stokes方程用重整化群的数学方法推导出来的模型。模型中的常数与标准-模型不同，而且方程中也出现
14、了新的函数或者项。其湍动能与耗散率方程与标准-模型有类似的形式：()MbkieffkiYGGxkxDtDk-+?=324()RkCGCGkCxxDtDbkieffi-+?=2231)(325kG表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，bG是用于浮力影响引起的湍动能产生；MY可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响，这些参数与标准-模型中一样。k和分别是湍动能k和耗散率的有效湍流普朗特数的倒数。湍流粘性系数计算公式为：172.132dCkd-=?326其中，/eff=，100C对上面方程积分，能够准确得到有效雷诺数涡旋尺度对湍流输运的影响，这有助于处理低雷诺数和近壁流动问题的模拟。对于高雷诺数，上面方
15、程能够给出：2kCt=，0845.0=C。这个结果非常有意思，和标准-模型的半经历推导给出的常数09.0=C非常近似。在FLUENT中，假如是默认设置，用重整化群-模型时候是针对的高雷诺数流动问题。假如对低雷诺数问题进行数值模拟，必须进行相应的设置。重整化群-模型有旋修正通常，平均运动有旋时候对湍流有重要影响。FLUENT中重整化群-模型通过修正湍流粘性系数来考虑了这类影响。湍流粘性的修正形式为：),(0kfstt=327其中，0t是不考虑有旋计算出来的湍流粘性系数；是FLUENT计算出来的特征旋流数；s是旋流常数，不同值表示有旋流动的强度不同。流动能够是强旋或者中等旋度的。FLUENT默认设
16、置s0.05,针对中等旋度的流动问题，对于强旋流动，能够选择较大的值。湍动能及其耗散率的有效湍流普朗特数倒数的计算公式为：effmol=+-3679.006321.003929.23929.23929.13929.1328式中，01，在高雷诺数流动问题中，1/?effmol，393.1=k。湍流耗散率方程右边的R为：kCR23031)/1(+-=329其中，/Sk，38.40=，012.0=。为了更清楚体现R对耗散率的影响，我们把耗散率输运方程重写为：()kCkCGCGkCxxDtDbkieffi2*22231)(-+?=330则：+=2*2CC3031)/1(+-C331在0的区域，R的奉献
17、为正；*2C大于2C。以对数区为例，3，0.2*2C，这和标准-模型中给出的2C1.92接近。因而，对于弱旋和中等旋度的流动问题，重整化群-模型给出的结果比标准-模型的结果要大。重整化群模型中，42.11=C，68.12=C。3.3.4可实现-模型可实现-模型的湍动能及其耗散率输运方程为：MbkjktjYGGxkxDtDk-+?+?=332bjttjGCkCkCSCxxDtD31221+-+?+?=333其中，?+=5,43.0max1C，/Sk=在上述方程中，kG表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，bG是用于浮力影响引起的湍动能产生；MY可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响。2C和1C是常
18、数；k，分别是湍动能及其耗散率的湍流普朗特数。在FLUENT中，作为默认值常数，1C1.44，2C=1.9，k1.0，1.2。可实现-模型的湍动能的输运方程与标准-模型和重整化群-模型有一样的形式，只是模型参数不同。但耗散率方程有较大不同。首先耗散率产生项方程右边第二项不包含湍动能产生项kG，如今的形式更能体现能量在谱空间的传输。另外的特色在于耗散率减少项中，不具有奇异性。并不象标准-模型模型那样把K放在分母上。该模型合适的流动类型比拟广泛，包括有旋均匀剪切流，自由流射流和混合层，腔道流动和边界层流动。对以上流动经过模拟结果都比标准-模型的结果好，十分是可实现-模型对圆口射流和平板射流模拟中，
19、能给出较好的射流扩张角。湍流粘性系数公式为2kCt=，这和标准-模型一样。不同的是，在可实现-模型中，C不再是个常数，而是通过如下公式计算：KUAACs*01+=334其中，ijijijijSSU+=*，kijkijij2-=，kijkijij-=，ij是isthemeanrate-ofrotationtensorviewedinarotatingreferenceframewiththeangularvelocityk。模型常数04.40=A，cos6=sA，而：)6arccos(31W=，式中WSSSSkjjkij，ijijSSS=，)(21jiijijxuxuS?+?=我们能够发现，C是
20、平均应变率与旋度的函数。在平衡边界层惯性底层，能够得到C0.09,与标准-模型中采用底常数一样。双方程模型中，无论是标准-模型、重整化群-模型还是可实现-模型，三个模型有类似的形式，即都有和的输运方程，它们的区别在于：1，计算湍流粘性的方法不同；2，控制湍流扩散的湍流Prandtl数不同；3，方程中的产生项和Gk关系不同。但都包含了一样的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生kG，用于浮力影响引起的湍动能产生bG；可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响MY。湍动能产生项ijjikxuuuG?-=335itibxTtgG?=Pr336式中，Prt是能量的湍流普特朗数，对于可实现-模型，默认设置值为0
21、.85。对于重整化群-模型，/1Pr=t，pCk/Pr/1=。热膨胀系数pT?-=1，对于理想气体，浮力引起的湍动能产生项变为：itibxtgG?-=Pr337在FLUENT程序中，假如有重力作用，并且流场里有密度或者温度的梯度，浮力对湍动能的影响都是存在的。浮力对耗散率的影响不是很清楚，因而，默认设置中，耗散率方程中的浮力影响不被考虑。假如要考虑浮力对耗散率的影响，用“粘性模型面板来控制。浮力对耗散率影响是用3C来体现。但3C并不是常数，而是如下的函数形式：uvCtanh3=338v是平行于重力方向的速度分量；u是垂直于重力方向的速度分量。假如流动速度与重力方向一样的剪切流动，3C1，对于流
22、动方向与重力方向垂直的剪切流，3C0。对于高马赫数的流动问题，可压速性对湍流影响在MY中体现。22tMMY=其中，tM是马赫数，定义为：2akMt=RTa是声速。默认设置中，只要选择可压速理想气体，可压速效应都是考虑的。在上述的双方程模型中，对流传热传质模型都是通过雷诺类似湍流动量输运方程得到的。能量方程形式为：()heffijjieffiiiSuxTkxpEuxEt+?+?=+?+?)()(339式中，E是总的能量，effk是有效导热系数；effij)(是偏应力张量，定义为：ijiieffjiijeffeffijxuxuxu?-?+?=32)(340effij)(表示的是粘性加热，耦合求解时
23、总是计算。假如不是耦合求解时候，作为默认设置，并不求解该量。假如有需要，需在“粘性模型面板中设置。对于重整化群-模型，有效导热系数为：effpeffck=341用328计算，式中，pCk/Pr/10=。事实上，随着effmol/的变化而变化，这是重整化群-模型的一个优点，由于实验中证实，湍流普朗特数随分子普朗特数及湍流而变化。湍流质量输运处理经过与能量输运经过类似。对于标准-模型和可实现的-模型，默认的Schmidt数是0.7，重整化群模型中，是通过方程328来计算的，其中，Sc/10=，Sc是分子Schimidt数。3.3.5雷诺应力模型RSM雷诺应力模型是求解雷诺应力张量的各个分量的输运方
24、程。详细形式为：=?+?)()(jikkjiuuUxuut对流项ijC?+?-jikkjikikjkjikuuxxuupuuux)(湍流扩撒项TijD分子扩散LijD()ijjikikjkjkiugugxUuuxUuu+-?+?-应力产生项ijP浮力产生项目ijGkjkiijjixuxuxuxup?-?+?+2压力应变项ij耗散项ij()jkmmiikmmjkuuuu+-2342系统旋转产生项ijF上面方程中，ijC，LijD，ijP，ijF不需要模拟，而TijD，ijG，ij，ij需要模拟以封闭方程。下面简单对几个需要模拟项的模拟。TijD能够用DelayandHarlowL38的梯度扩散模
25、型来模拟，即：?=ljilkksTijxuuuukxCD343但这个模型会导致数值不稳定，因而FLUENT程序中采用标量湍流扩散模型：?=kjiktkTijxuuxD344式中，湍流粘性系数用2kCt=来计算，根据LienandLeschzinerL98，82.0=k，这和标准-模型中选取1.0有所不同。根据GibsonandLaunderL58,FuL55,LaunderL88,L89,压力应变项ij能够分解为三项，即：wijijijij+=2,1,3451,ij，2,ij和ijw分别是慢速项，快速项和壁面反射项。?-=kuukCijjiij3211,，常数8.11=C。()()?-+-+-
26、=CGPCGFPCijijijijijij3222,，60.02=C，kkPP21=，kkGG21=，kkCC21=。壁面反射项用于重新分布近壁的雷诺正应力分布，主要是减少垂直于壁面的雷诺正应力，增加平行于壁面的雷诺正应力。该项模拟为：dCknnuunnuunnuukClkikjkjkiijmkmkijw2/312323?-=dCknnnnnnClkijkkjikijmkkm2/32,2,2,22323?-+346式中，1C0.5，3.02=C，kn是kx在垂直于壁面方向上的单位分量，d是到壁面的距离；kCCl/4/3=，09.0=C，k=0.41。默认设置时候，FLUENT不计算ijw。假如
27、需要计算时候，在“粘性模型面板中设置。线性压力应变模型对于小雷诺数流动，十分是用双层模型求解近壁流动问题时，FLUENT中通过改良模型常数1C，2C，1C和2C来改良压力应变项LaunderL91。这一经过只要在选择双层流模型时候，在“粘性模型面板上调节。?-+=-2)Re0067.0(21158.21teAACAC75.02=67.13211+-=CC?-=0,6132max222CCC其中，)/(Re2kt=，参数A和张量不变量A2,A3定义为：?-)(89132AAAkiikA2jikjikA3式中，ij是雷诺应力张量各向异性部分，定义为：?+-=kkuuijjiij32347二阶压力应
28、变模型二阶压力应变模型由SpezibleL157等人提出。ijijijijmnmnkjikijijkSbbCCbbbbCbPCC)()31()(*332*11-+-+-=)()32(54ikjkjkikijmnmnikjkjkikbbkCSbSbSbkC+-+348式中，ijb是雷诺应力各向异性张量，定义为：?+-=kkuubijjiij232349平均应变率ijS定义为:?+?=jiijijxuxuS21；?-?=jiijijxuxu21；模型常数4.31=C，8.1*1=C，2.42=C，8.03=C，3.1*3=C，25.14=C，4.05=C。二阶压力应变模型不需要考虑壁面反射影响去模
29、拟对数区湍流边界层经过。浮力对湍流的影响浮力引起的产生项模拟为：?+?=ijjitijxTgxTgtGPr350其中，Prt是能量的湍流普朗特数，默认设置值为0.85。对于理想气体，把热膨胀系数的定义代入上式，得：?+?-=ijjitijxgxgtGPr351耗散项ij的模拟耗散张量ij模拟为：)(32MijijY+=352式中，22tMMY=，tM是马赫数；标量耗散率用标准k-模型中的采用的耗散率输运方程求解。雷诺应力模型的边界条件在流场进口，雷诺应力模型需要各个雷诺应力分量和湍动能耗散率的值。这些值能够直接输入，可以以湍流强度和特征长度来计算。在壁面，雷诺应力模型通过壁面函数，给出各个雷诺应力分量和耗散率的值。雷诺应力模型的能量与质量输运方程在雷诺应力模型中，对流传热传质模型都是通过雷诺类似湍流动量输运方程得到的。能量方程形式为：()heffijjitpiiiSuxTtckxpEuxEt+?+?+?=+?+?)()Pr()(353式中，E是总的能量；effij)(是偏应力张量，定义为：ijiieffjiijeffeffijxuxuxu?-?+?=32)(354effij)(表示的是粘性加热，耦合求解时总是计算。假如不是耦合求解时候，作为默认设置，并不求解该量，并且Prt=0.85。假如有需要，需在“粘性模型面板中设置。