计算方法习题_1.docx

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1、计算方法习题绪论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。(二)温习要求1.知道产生误差的主要来源。2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3.知道四则运算中的误差传播公式。一、重点内容一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。误差：设准确值x*的近似值为x，差exx*称为近似值x的误差(绝对误差)。误差限近似值x的误差限是误差e的一个上界，即|e|xx*|

2、。相对误差er是误差e与准确值x*的比值，。常用计算。相对误差限是相对误差的最大限度，常用计算相对误差限。有效数字假如近似值x的误差限是它某一个数位的半个单位，我们就讲x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。二、难点内容(1)设准确值x*的近似值x，x0.a1a2an10m，a1，a2，an是09之中的自然数，且a10，|xx*|0.510ml，1ln。则x有l位有效数字。(2)设近似值x0.a1a2an10m有n位有效数字，则其相对误差限(3)设近似值x0.a1a2an10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。(4)要求准确到103，取该数的近似值应

3、保留4位小数。三、例题例1设x*=3.1415926近似值x=3.140.314101,即m=1，它的误差是0.0015926，有即n=3，故x=3.14有3为有效数字。x=3.14准确到小数点，后第2位。即m=1,n近似值x=3.1416，它的误差是0.0000074，有，5，x=3.1416有5位有效数字。近似值x=3.1415，它的误差是0.0000926，有即m=1，n4，x=3.1415有4位有效数字。这就是讲某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s1位有效数字。例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限

4、和相对误差限：2.00040.0020090009000.00解由于x1=2.00040.20004101,它的误差限0.00005=0.51015，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效数字.相对误差限x2=0.00200，误差限0.000005，由于m=2，n=3，x2=0.00200有3位有效数字。相对误差限r=0.00005/0.00200=0.25%。x3=9000，绝对误差限为0.5，由于m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，相对误差限r0.5/9000=0.0056%x4=9000.00，绝对误差限0.005，由于m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字

5、，相对误差限为r=0.005/9000.00=0.000056%由x3与x4能够看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例3ln2=0.69314718，准确到103的近似值是多少？解准确到1030.001，即绝对误差限是0.05,故至少要保留小数点后三位才能够。Ln20.693。例4怎样去设计一个好的算法？答：一个好的算法必须知足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个一样号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。四、练习题1.设某数x*，它的保

6、留三位有效数字的近似值的绝对误差是_。2.设某数x*,它的准确到104的近似值应取小数点后_位。3.()的3位有效数字是0.236102。(A)235.54101(B)235.418(C)2354.82102(D)0.00235491034.设a*=2.718181828，取a=2.718,则有(),称a有四位有效数字。(A)(B)(C)(D)5.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是。(A)0.315(B)0.03150(C)0.0315(D)0.003156.下面近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为。(A)0.01234(B)12.34(C)2.2

7、0(D)0.2200五、练习题答案该数有效数字第四位的一半。2.四3.(A)4.(B)5.(C)6.(D)方程求根(一)考核知识点二分法；迭代法牛顿法；弦截法。(二)温习要求1.知道有根区间概念，方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。2.把握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。3.熟练把握牛顿法，把握初始值的选择条件。4.把握弦截法。一、重点内容1.二分法:设方程f(x)0在区间a，b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x*xn=(a0a，b0b)，n0，1，2，有误差估计式：x*xn，n0，1，2，二分区间次数：2.牛顿法：用切线与x轴的交点，逼近

8、曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为n1，2，选初始值x0知足f(x0)f(x0)0，迭代解数列一定收敛。3.弦截法:用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为(n1，2，)二、难点内容：1、迭代法概念:若方程f(x)0表成x?(x)，于是有迭代格式：xn?(xn1)n1，2，x*xn，存在01,|?(x)|，在区间a,b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。2定理一：设)(x在区间【a,b】上具有一阶连续的导数，且知足如下两个条件：当,bax时，,)(bax；存在正常数Lx?时，迭代公式)(1nnxx=+发散。(5)迭代序列收敛阶的概念若存在01，|?(x)|，在区间a,

9、b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。设迭代序列nx收敛于*x，假如存在实数1p与正常数c，使得cxxxxpnnn=-*+1lim,则称序列nx是p阶收敛于*x。特别地，当1=p时，称序列nx为线性一次收敛；nx为线性收敛时，必需要求10，f(1)=sin1=-=-=xxxxxxx?即，此时迭代发散。建立迭代格式)2,1(542454)(,24)(,244455880例4选择填空题1.设函数f(x)在区间a,b上连续，若知足_，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根。答案：f(a)f(b)-=-=-=xxxxxx?故迭代发散。在(B)中1901.03.112),11)(,1133220(

10、C)()(0xfxf0(D)()(0xfxf04.设函数f(x)在区间a,b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)2022-=.lnln)(xx?13.(B)4.f(x)05.1.326.(1)31215.05.1)2(,2nnnnnncxxxcxxx-=-=+线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)温习要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟练把握高斯顺序消去法和列主元消去法。2.把握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭

11、代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。一、重点内容1.高斯消去法：解线性方程组AXb，对增广矩阵顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，进而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元经过中，。注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。2.列主元消去法：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k1，2，3，n1)把第r行作为主方程，做第k次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，进而得到线性方程组的解。3.LU公式法LUA=其中?=?=nnnnnnuuuuuuuuUlllLMOOMMMO2232211312112121111?+=-=+=-=-=-=n,.,

12、ki,uulaln.,k,n,.,k,kj,ulaun,.,i,ualn,.,j,aukkkjjkijikikkiijkikjkjiijj132132*4.雅可比迭代法：解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为(k0，1，2，)4.高斯赛德尔迭代法：解线性方程组AXb的高斯赛德尔迭代法公式为(i1，2，n；k0，1，2，)二、难点内容：解的收敛性定理1高斯消去法消元经过能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。2(迭代法基本定理)：设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭其中i(i1

13、，2，n)为迭代矩阵B的特代公式：X(k1)B(k)Xf，收敛的充分必要条件是,征根。当i为复数时，|i|表示i的模。3(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2)若A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵Aaijn，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。三、例题例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解：x3=1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式：(k=1,2,3,)第1次迭代,k=0

14、：X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,X(2)(5,3,3)T；第2次迭代，k=1：，第3次迭代，k=2：，X(3)(1,1,1)T；第4次迭代，k=3：，X(4)(1,1,1)T；例3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组?=-=+=+2333220221321321xxxxxxxx作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到?=+-=-5.35.125.15.03232xxxx是应填写的内容。2.用选主元的方法解线性方程组AXb，是为了()。(A)提高计算速度(B)减少舍入误差(C)减少相对误差(D

15、)方便计算答案：选择(B)3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组?=+=+=-+5223122321321321xxxxxxxxx式中(k=0,1,2,)的迭代格答案：1211225+-kkxx解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。4.当a()时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A)6(B)=6(C)6答案：(D)解答：当a6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由定理6，迭代解一定收敛。121125+-kkxx四、练习题1.用高斯列主元消去法解线性方程组2.用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。3.

16、证实线性方程组的迭代解收敛。4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是.。5.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为()。(A)3(B)4(C)4(D)9五、练习题答案1、X(4，1，2)T2、(4.66619,7.61897,9.07452)T3、提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。4、线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。5、(C)函数插值与曲线拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；线性拟合、二次拟合。(二)温习要求1.了解插值函数，插值节点等概念。2.熟练把握拉格朗

17、日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3.把握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，把握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4.了解线性拟合和二次多项式拟合的方法。一、重点内容求插值多项式的基本思想：设函数)(xf在区间a,b上连续。已知它在,ba上1+n个互不一样的点nxxx,10处的值nyyy,10。假如多项式)(xp在点ix上知足),1,0()(niyxpii=，则称)(xp是函数)(xf的插值多项式。1.函数插值：已知函数f(x)的n个函数值ykf(xk)，k0，1，2，n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk

18、就是插值节点。误差R(x)f(x)P(x)。2.拉格朗日多项式：称n次多项式Pn(x)y0l0y1l1ynln为拉格朗日插值多项式，其中基函数当n1时，线性插值P1(x)yklk(x)yk+1lk+1(x)，其中基函数。当n2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为，其中(a，b)。3.差商与牛顿插值多项式：函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商(或记作fx0，x1)；二阶差商(或记作fx0，x1，x2)性质n阶差商能够表示成n+1个函数值)(),.,(),(10nxfxfxf的线性组合，即fkxxx,.,10=+-niniiiiiiixxxxxxxxxf0110).()(

19、).()(当n=1时，011100101010)()()()(,xxxfxxxfxxxfxfxxf-+-=-=当n=2时，)()()()()()()()()11()()()()()(1)()(1,12022210112020012022210120210100122211020201002002211010212110210xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxxxfxxxxfxxxxfxxfxxxf-+-+-=-+-+-=-+-+-+-=-+-=-=注：差商有两条常用性质：(1)差商用函数值的线性组合表示；(2

20、)差商与插值节点顺序无关。用差商为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)f(x0)fx0，x1(xx0)fx0，x1，x2(xx0)(xx1)fx0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn-1)牛顿插值多项式的余项为Rn(x)f(x)Nn(x)fx，x0，x1，x2，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)。4.分段线性插值已知n1个互异节点x0，x1，xn构造一个分段一次的多项式P(x)，且知足：(1)P(x)在a，b上连续；(2)P(xk)yk(k0，1，2，n)；(3)P(x)在xk，xk+1上是线性函数。分段线性插值函数其中lk(x)(k0，1，2

21、，n)是分段线性插值基函数。 (i1，2，n1)5.三次样条插值函数 (k0，1，2，n1)(xkxxk1)其中S(xk)mk(k0，1，2，n)，hkxk+1xk(k0，1，2，n1)，m0，m1，mn知足的方程组是(*)其中：，(k1，2，n1)(1)当已知S(x0)y0，S(xn)yn时，(*)式中01，n1，(2)当已知S(x0)y0m0，S(xn)ynmn时，(*)式化为6、最小二乘法用?(x)拟合数据(xk，yk)(k1，2，n)，使得误差的平方和为最小，求?(x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合若，a0，a1知足法方程组 (2)二次多项式拟合若，a0，a1，a2知足法方程组

22、三、例题例1已知函数=()的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日多项式Pn()，并计算P(1)。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解:先构造基函数845-4-=5-2-4-2-0-2-5-4-=0)()()()()(xxxxxxxl405-4-2+=5-04-02-05-4-2+=1)()()()()()()(xxxxxxxl245-2+-=5-40-42+45-2+=2)()()()()()(xxxxxxxl354-2+=4-50-52+54-2-2+=3)()()()()()()(xxxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=ylkkkn=0845-4-?5-)(xxx405

23、-4-2+)()(xxx245-2+?3-)()(xxx354-2+)()(xxx1+2155-141-42523xxx。P3(1)724=1+2155-141-425-例2已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶差商。kXkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商00.400.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.202121.384100.433480.213000.03134计算公式为一阶差商),()()(),(3210=-=1+

24、1+1+kxxxfxfxxfkkkkkk二阶差商),(),(),(),(210=-=2+2+1+1+2+1+kxxxxfxxfxxxfkkkkkkkkk三阶差商),(),(),(),(10=-=3+3+2+1+2+1+3+2+1+kxxxxxfxxxfxxxxfkkkkkkkkkkkk四阶差商404321321043210-=xxxxxxfxxxxfxxxxxf),(),(),(例3设nxxxx,.,210是n+1个互异的插值节点，),.,)(nkxlk210=是拉格朗日插值基函数，证实：(1)10=nkkxl)(2),.,()(nmxxxlmnkmkk210=0=证实(1)Pn(x)=y0l

25、0+y1l1+ynln=ylkkkn=)()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnn+=1+=1+1+当f(x)1时，1)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn1+1+0=1+?1=+由于0=1+)()(xfn，故有10=nkkxl)(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有)()!()()()()()(xnfxlxxRxPxnnnkkmknnm1+1+0=1+=+当nm1时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以mnkkmkxxlx0=)(。注意：对于次数不超过n的多项式011-1-+=axa

26、xaxaxQnnnnn.)(,利用上结果，有：011-1-+=axaxaxaxQnnnnn.)(=0=00=10=1-1-0=+nkknkkknknkknnknkknxlaxxlaxxlaxxla)()(.)()(=0=0=01-1-=+nkkknkknknnknkxlxQaaxxaxaxl)()(.)(可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它本身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它本身。例4已知函数ex的下列数据用分段线性插值法求=0.2的近似值。解用分段线性插值，先求基函数。?300150015010020-3=050-150-=0.)(xxxxxl，?

27、300250025015010-52=100-250-1501002-20=050100-=1.)(xxxxxxxxl?030025020-6=050-300-25015051-10=100015-1501000=2.)(xxxxxxxxl，?3002505-20=050250-2501000=3.)(xxxxxl所求分段线性插值函数为?3002507169680+667590-2501505699830+078190-1501000959930+588820-=30=.)()(xxxxxxxlyxPkkk所以，e0.2=P(0.2)=0.819070.2+0.983569=0.819755。

28、例5选择填空题1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不一样的3个值，那么知足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：由于过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定数。P(xk)=yk,即?=+=+=+202122210112120001202yaxaxayaxaxayaxaxa这是关于a2,a1,a0的线性方程组，它的解唯一，由于系数行列式-=111120202122121020)()(xxxxxxxxxxxx所以，不超过2次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插

29、值多项式P(x)，只要知足(),则P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值y0=0(B)一阶差商为0(C)二阶差商为0(D)三阶差商为0答案：(C)解答：由于二阶差商为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn+=-=(B)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)!1()()()()()1(+=-=+nfxPxfxRnnn(D)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx

30、1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。例6已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。n=5。a0,a1知足的法方程组是?=+=+5.1055515311551010aaaa解得a0=2.45,a1kxkyk2kxxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5例7设是以0，1，2为节点的三次样条函数，则,b,c应取何值?解由定义给出的条件，在这(n-1)个内点上应知足故在处由及连续，可得解得=-2,b=3,c=-1.此时s(x)是0,2上的三次样条函数。四、练习题1.已知函数y=f(

31、x),过点(2,5),(5,9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为。2.过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x)。3.已知多项式P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3阶差商为常数1，一阶，二阶差商均不为0，那么P(x)是()(A)二次多项式(B)不超过二次的多项式(C)3次多项式(D)四次多项式4.已知y=f(x)的差商5=120),(xxxf,9=204),(xxxf,14=234),(xxxf,8=230),(xxxf。那么f(x4,x2,x0)=()(A)5(B)9(C)14(D)85.求过这三个点(0,1),

32、(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多项式。6.构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。7.设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,xn为节点的格朗日插值基函数).()().()()(nnxxxxxxxxxxxxxl-=02020210试证实：).()().()(.)()()()()(nn0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl-+-+-+1=020201-102020101008、已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。9.求数据拟合的直线方程y=a0+a1x的系数a0,a1是使最小。10.已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9

33、,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。试用二次多项式拟x2.57.510y4.07.05.0y0.130.13合这组数据。11.3()1,0,1,2,3fxxxf=+-=设则差商(均差)_，0,1,2,3,4f=_。五、练习题答案1.32-3-5-xx,2.)().()().(543404530-xxxxxxxxxxxx3、C4.B5.x+16.给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.55)+0.28000(x0.40)(x0.55)+0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.

34、03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将x=0.596代入牛顿多项式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)=0.631957.提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。8?-+-+-=)10,5.7()5.7,5.2(8459.851596.340935.41586.05937.150545.68678.00619.0)(2323xxxxxxxxxs9.=-nkkkxaay1210)(10.y=0.145x2+3.324x12.79411.1,0数值积分与微分(一)考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿科茨求积公式，科茨系

35、数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式。(二)温习要求1.了解数值积分和代数精度等基本概念。2.了解牛顿?科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练把握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。一、重点内容1.插值型数值积分梯形公式,截断误差：R1f辛朴生公式,截断误差：()4(42180fababfRs?-=科特斯公式截断误差：()6(64945)(2)(fababFR?-=2、复化梯形公式截断误差：，M2复化辛朴生公式截断误差：，复化科特斯求积公式)(7)(32)(12)(32)(790)(14/32/14/110+-=+=iiiiininxfxfxfxfxfhfC截断

36、误差：6)5()5(4)()(9452?-hbfaf3龙贝格求积公式)(31)(34)(2fTfTfSnnn-=)(151)(1516)(2fSfSfCnnn-=)(631)(6364)(2fCfCfRnnn-=4.微分公式(1)等距节点两点求导公式：(k0，1，2，n1)(2)等距节点三点求导公式：(k1，2，n1)三、例题例1试确定求积公式)()(d)(31+31-?11-ffxxf的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式准确成立的k数值解当f(x)取1,x,x2,计算求积公式何时准确成立.(1)取f(x)=1,有左边2d1d)(1111=?-xxxf,右边211)31(

37、)31(=+=+-ff(2)取f(x)=x,有左边0d0d)(1111=?-xxxf,右边03131)31()31(=+-=+-ff(3)取f(x)=x2,有左边=32dd)(11211=?-xxxxf,右边=32)31()31()31()31(22=+-=+-ff(4)取f(x)=x3,有左边=0dd)(11311=?-xxxxf,右边=0)31()31()31()31(33=+-=+-ff(5)取f(x)=x4,有左边=52dd)(11411=?-xxxxf,右边=92)31()31()31()31(44=+-=+-ff当k3求积公式准确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。

38、例2试用梯形公式、辛卜生公式和科特斯公式计算定积分?150.dxx(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算426780=1+707110?250=1+50250-1?150.)().(.d.ffxx(2)用辛卜生公式/).(.d.1+21+50?4+50650-1?150xx430940=1+038660?4+117070?121=.(3)用科特斯公式系数为907903290129032907,.d.1?7+8750?32+750?12+6250?32+50?79050-1?150xx430960=7+9332629+3922310+2982225+949754?1801.假如要求准确到

39、105，用复化辛卜生公式，截断误差为RNf-bahM288044，)(max)(xfMbxa44=,)(/)(27-41615=xxf511615=27-44.max)(max/)(xxfMbxabxa5-464410例5选择填空题1.科特斯求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是？解答：科特斯求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。2.假如用复化梯形公式计算定积分?10-xxde，要求截断误差的绝对值不超过0.5104，试问n()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差为1)e(max102=-xxM4

40、-22210?50例5：取步长.h02=，用四阶RungeKutta方法求解实值问题。().yxy0x12y01=+?=?,准确解:()xyx2ex1=-解：(1)、求1y，,.0x0h02=(),.(,).(,).().10000200100130020024003003101234Kfxyxy1hhhhKfxyKxyK122222hhhhKfxyKxyK1222222KfxhyhKxhyhK1444hyyK2K2KK124286?=+=?=+=+=?=+=+=?=+=+=?=+=?().021yx2e021*=-=,.61e5510-=?。(2)、求2y，.,.1x02h02=.().11

41、1211131124113211234Kxy14428hhKxyK16870822hhKxyK171150822KxhyhK19851016hyyK2K2KK158363596=+=?=+=?=+=?=+=?=+=?().042yx2e0411*=-=，.52e13510-=?。(3)、求3y，.,.2x04h02=.().122222132224223321234Kxy19836359hhKxyK2281999522hhKxyK2311835822KxhyhK26460031hyyK2K2KK204421296=+=?=+=?=+=?=+=?=+=?().063yx2e06120442376

42、=-=，.53e24710-=?。(4)、求4y，.,.3x06h02=.().133233133324333431234Kxy26442129hhKxyK3008634222hhKxyK3045076322KxhyhK34532282hyyK2K2KK265104166=+=?=+=?=+=?=+=?=+=?().084yx2e0812*=-=，.54e40210-=?。(5)、求5y，.,.4x08h02=.().144244134424443541234Kxy34510416hhKxyK3896145822hhKxyK3940656222KxhyhK44391728hyyK2K2KK343650226=+=?=+=?=+=?=+=?=+=?().105yx2e10134365637=-=，.55e61510-=?。(6)、求6y，.,.5x10h02=.().155255135524553651234Kxy44365022hhKxyK4980152422hhKxyK5034517422KxhyhK56434057hyyK2K2KK444014386=+=?=+=?=+