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1、主讲人：张主讲人：张 彪彪20232023年年年年1 1月月月月2222日日日日核反应堆物理核反应堆物理中子扩散理论中子扩散理论第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论主要内容引言引言单能中子扩散方程单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度扩散长度、慢化长度和徙动长度第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论一、引言 反反应应堆堆物物理理的的核核心心问问题题之之一一：确确定定堆堆内内中子通量密度中子通量密度按按空间空间和和能量能量的分布。的分布。第第二二章章通通过过求求解解中中子子慢慢化化方方程程，解解决决了了中中子子通通量量密密度度按按能能量
2、量的的分分布布，即即中中子子能能谱谱；本本章章将将学学习习中中子子扩扩散散方方程程，研研究究中中子子通通量量密密度按空间的分布。度按空间的分布。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论1.输运过程及输运理论输运过程及输运理论由由于于中中子子与与原原子子核核的的无无规规则则碰碰撞撞，中中子子在在介介质质内内的的运运动动是是一一种种杂杂乱乱无无章章的的具具有有统统计计性性质质的的运运动动；在在堆堆内内某某一一位位置置具具有有某某种种能能量量及及某某一一运运动动方方向向的的中中子子，在在稍稍晚晚时时刻刻将将以以另另一一能能量量和和另另一一运运动动方方向向运运动动到到堆堆内内另另一一位位置置，这这一一现现
3、象象称称为为中中子子在在介介质质内内的的输输运运过过程程，描描述述这这一一过过程程的的精精确确方方程程为为玻玻尔尔兹曼输运方程。兹曼输运方程。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论输输运运理理论论：微微观观粒粒子子(中中子子、光光子子、电电子子、离离子子和和分分子子等等)在在介介质质中中的的迁迁移移统统计计规规律律的的数数学学理理论论；不不是是研研究究个个别别粒粒子子的的运运动动，而而是是研研究究大大量量粒粒子子运运动动所所表表现现的的非非平平衡衡统统计计运动规律运动规律。发展简史：发展简史：1.Clausius、Maxwell、Boltzmann的的工工作作奠奠定定了了最最早早的的粒粒子子输输
4、运运理理论论分分子子运运动动论论的基础；的基础；第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论发展简史：发展简史：2.Hilbert论论述述了了Boltzmann方方程程解解的的存存在在性性与唯一性，奠定了输运理论的与唯一性，奠定了输运理论的数学基础数学基础；3.天天体体物物理理、等等离离子子物物理理、激激光光物物理理和和固固体体物物理理等等的的发发展展提提出出并并进进一一步步推推动动了了辐辐射射输输运理论的研究；运理论的研究；4.Von Neumann 和和 Ulam等等开开发发了了第第一一个个用用概概率率论论方方法法（Monte Carlo方方法法）计计算算中中子链式反应的程序；子链式反应的程序；第
5、第3章章 中子扩散理论中子扩散理论2.中子状态的描述中子状态的描述中中子子状状态态：位位置置矢矢量量 r(x,y,z)、能能量量 E(或或运运动动速速度度 v)、方方向向 (,)、时间、时间 t（7个）个）：单单位位矢矢量量，模模等等于于1，方方向向表表示示中中子子的的运运动动方方向向，通通过过极极角角 和方位角和方位角 来表示。来表示。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中中子子角角密密度度：在在 r 处处单单位位体体积积内内和和能能量量为为 E的的单单位位能能量量间间隔隔内内，运运动动方方向向为为 的的单单位位立体角内的中子数目，立体角内的中子数目，。中中子子角角通通量量密密度度：沿沿 方
6、方向向在在单单位位时时间间内内穿穿过过垂垂直直于于这这个个方方向向的的单单位位面面积积上上的的中中子子数目，数目，。中子密度：中子密度：中子通量密度：中子通量密度：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中子扩散理论：中子扩散理论：求求出出介介质质内内中中子子角角通通量量密密度度的的分分布布,才才算算对对介质内中子的分布有了全面了解。介质内中子的分布有了全面了解。要要做做到到这这一一点点，需需要要研研究究中中子子输输运运理理论论，求求解解中中子子输输运运方方程程。这这是是一一个个非非常常复复杂杂和和困困难难的的任任务务。在在本本章章的的课课程程中中，我我们们研研究究输输运运理理论论的的简简化化形形
7、式式中中子子扩扩散散理理论论。其第一步是研究中子通量的空间分布：其第一步是研究中子通量的空间分布：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论3.反应堆物理与屏蔽计算基本方法反应堆物理与屏蔽计算基本方法确确定定性性方方法法：1）数数学学模模型型用用数数学学物物理理方方程程表表示示，然然后后采采用用数数值值方方法法求求解解；2）优优点点：计计算算快快速速，相相对对精精确确等等；3）缺缺点点：模模型型简简化，大型多维问题结果可能数值发散。化，大型多维问题结果可能数值发散。非非确确定定性性方方法法：1）基基于于统统计计理理论论，通通过过计计算算机机的的随随机机模模拟拟来来跟跟踪踪中中子子在在介介质质中中的的
8、运运动动；2）优优点点：计计算算精精确确，可可以以模模拟拟三三维维复复杂几何模型；杂几何模型；3）缺点：非常耗时。）缺点：非常耗时。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论二、单能中子扩散方程1.引言引言稳态或临界状态时：稳态或临界状态时：玻玻玻玻尔尔尔尔兹兹兹兹曼曼曼曼输输输输运运运运方方方方程程程程假设中子通量密度角分布各向同性假设中子具有单一能量中中中中子子子子扩扩扩扩散散散散方方方方程程程程单单单单能能能能中中中中子子子子扩扩扩扩散散散散方方方方程程程程第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论2.斐克定律斐克定律(Ficks Law)扩散现象：扩散现象：香水分子的扩散（无风状态）香水分子的扩散
9、（无风状态）香水分子的扩散（无风状态）香水分子的扩散（无风状态）墨滴在静水中的扩散墨滴在静水中的扩散墨滴在静水中的扩散墨滴在静水中的扩散杂质原子在硅片中的扩散杂质原子在硅片中的扩散杂质原子在硅片中的扩散杂质原子在硅片中的扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散粒粒子子的的扩扩散散是是粒粒子子与与周周围围介介质质（或或其其它它粒粒子子）的的碰碰撞撞、散散射射而而造造成成的的，结结果果是是从从密密度大度大的地方的地方向密度小向密度小的地方迁移。的地方迁移。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中中子子
10、从从通通量量高高的的地地方方流流向向通通量量低低的的地地方方，通通量差别越大，中子量差别越大，中子“流量流量”越大。越大。斐克定律：斐克定律：物物质质总总是是从从浓浓度度高高的的地地方方向向浓浓度度低低的的地方扩散；地方扩散；扩扩散散的的速速度度与与浓浓度度梯度的大小成正比。梯度的大小成正比。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中子流密度：中子流密度：上上式式中中被被 称称为为被被称称为为中中子子流流密密度度（简简称称中子流）中子流）；中子流密度是一个向量；中子流密度是一个向量；其方向是通量场的负梯度方向；其方向是通量场的负梯度方向；其其数数值值等等于于垂垂直直于于梯梯度度方方向向的的单单位位
11、面面积积上上每秒穿过的净中子数目；每秒穿过的净中子数目；单位：中子单位：中子/cm2.s第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中中子子流流密密度度是是向向量量，可可以以写写成成三三个个分分量量之之和：和：其其中中三三个个分分量量分分别别称称为为该该方方向向的的分分中中子子流流密度每个分量可写成两个分量之差：密度每个分量可写成两个分量之差：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论如如果果某某平平面面与与中中子子流流密密度度 方方向向不不垂垂直直，那那么么每每秒秒通通过过该该平平面面上上单单位位面面积积的的净净中中子子数是数是第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中子流密度中子流密度 与中子通量密度与中子
12、通量密度 的差别：的差别：1.中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量2.中子通量密度用于计算核反应率，是标量中子通量密度用于计算核反应率，是标量中子通量密度用于计算核反应率，是标量中子通量密度用于计算核反应率，是标量3.两者的量纲相同两者的量纲相同两者的量纲相同两者的量纲相同4.当当当当所所所所有有有有中中中中子子子子运运运运动动动动方方方方向向向向相相相相同同同同时时时时，中中中中子子子子通通通通量量量量与与与与中中中中子子子子流数量（大小）相等。流数量（大小）相等。流数
13、量（大小）相等。流数量（大小）相等。场论知识回顾：场论知识回顾：1.梯度：梯度：梯度：梯度：2.散度：散度：散度：散度：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论3.斐克定律推导斐克定律推导在在dV中中，单单位位时时间间发发生生散散射射的的中中子数为：子数为：假设假设1：中子的散射是各向同性的：中子的散射是各向同性的中子从微元体中子从微元体dV发生散射后，向微元面发生散射后，向微元面dA所对应的立体角方向运动的概率是：所对应的立体角方向运动的概率是：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论单单位位时时间间内内，在在微微元元体体dV中中发发生生散散射射后后向向微元面微元面dA方向运动的中子数为：方向运动的
14、中子数为：这些中子实际能到达微元面这些中子实际能到达微元面dA的概率为：的概率为：单单位位时时间间在在微微元元体体dV中中发发生生散散射射后后，能能到到达微元面达微元面dA的中子数为：的中子数为：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论假设假设2：介质为弱吸收介质：介质为弱吸收介质单单位位时时间间内内，在在微微元元体体dV中中发发生生散散射射后后向向微元面微元面dA方向运动的中子数为：方向运动的中子数为：假设假设3：介质为无限均匀介质：介质为无限均匀介质单单位位时时间间内内，从从x-y平平面面上上方方向向下下穿穿过过微微元元面面dA的中子数为：的中子数为：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论假设假
15、设4：通量密度随空间位置缓慢变化：通量密度随空间位置缓慢变化引入一阶泰勒展开：引入一阶泰勒展开：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论类类推推可可以以得得到到在在(x0,y0,z0)处处沿沿x+、x-、y+、y-、z+方向的分中子流密度：方向的分中子流密度：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论在在(x0,y0,z0)处，三个分中子流密度：处，三个分中子流密度：扩散系数：扩散系数：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论 单单位位时时间间内内通通过过任任一一法法向向量量为为 的的平平面面上上单位面积的净中子数是：单位面积的净中子数是：4.斐克定律的适用范围斐克定律的适用范围假设假设1：中子的散射是各向
16、同性的中子的散射是各向同性的假设假设2：介质为弱吸收介质介质为弱吸收介质假设假设3：介质为无限均匀介质介质为无限均匀介质假设假设4：通量密度随空间位置缓慢变化通量密度随空间位置缓慢变化第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论假设假设1：中子的散射是各向同性的：中子的散射是各向同性的 需需要要对对扩扩散散系系数数进进行行修修正正，输输运运平平均均自由程自由程 ，略大于散射平均自由程。，略大于散射平均自由程。假设假设2：介质为弱吸收介质：介质为弱吸收介质 在在强强吸吸收收体体附附近近，斐斐克克定定律律不不适适用用，在较远处近似成立。在较远处近似成立。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论假设假设3：介质
17、为无限均匀介质：介质为无限均匀介质 有有限限介介质质内内，在在距距离离表表面面平平均均自自由由程程之之外外的的内内部部区区域域，斐斐克克定定律律近近似似成成立立，在在距距真真空空边边界界条条件件两两三三个个自自由由程程以以内内的的区区域域不适用。不适用。假设假设4：通量密度随空间位置缓慢变化：通量密度随空间位置缓慢变化 强强中中子子源源附附近近或或者者两两种种扩扩散散介介质质显显著著不不同同的的交交界界面面附附近近，斐斐克克定定律律不不适适用用，在在较远处近似成立。较远处近似成立。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论思考：思考：左右两边左右两边通量分布通量分布相同相同，材料的，材料的散射散射截
18、面不同截面不同，请问交，请问交界面上有无从左至界面上有无从左至右的净中子流？写右的净中子流？写出理由。出理由。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论中中子子数数守守恒恒：在在一一定定体体积积内内，中中子子总总数数对对时时间间的的变变化化率率应应等等于于在在该该体体积积内内中中子子的的产产生生率率减减去去该该体体积积内内中中子的吸收率和泄漏率。子的吸收率和泄漏率。5.单能中子扩散方程的建立单能中子扩散方程的建立产生率产生率(S)-泄露率泄露率(L)-吸收率吸收率(A)第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论对对于于一一个个微微元元体体来来说说，泄泄露露就就是是从从这这个个微微元元体体的六个表面泄露出去
19、：的六个表面泄露出去：中子连续方程：中子连续方程：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论直角坐标系下：直角坐标系下：圆柱坐标系下：圆柱坐标系下：球坐标系下：球坐标系下：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论如如果果斐斐克克定定律律成成立立，中中子子连连续续方方程程可可以以写写成下式，即成下式，即单能中子扩散方程单能中子扩散方程：假假设设中中子子通通量量密密度度不不随随时时间间变变化化，可可得得稳稳态单能中子扩散方程态单能中子扩散方程：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论常用边界条件：常用边界条件：1.无无限限介介质质边边界界条
20、条件件：在在扩扩散散方方程程适适用用范范围围内内，中中子子通通量量密密度度必必须须为为正正的的、有有限限的、实数。的、实数。2.连连续续介介质质边边界界条条件件：在在两两种种不不同同扩扩散散性性质质的的介介质质交交界界面面上上，垂垂直直于于分分界界面面的的中中子流密度相等，中子通量密度相等。子流密度相等，中子通量密度相等。6.扩散方程的边界条件扩散方程的边界条件第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论垂垂直直于于分分界界面面的的中中子子流密度相等：流密度相等：分界面上中子通量密度相等：分界面上中子通量密度相等：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论常用边界条件：常用边界条件：3.真真空空边边界界条条
21、件件：介介质质与与真真空空交交界界的的外外表表面面上上，自自真真空空返返回回介介质质的的中中子子流流密密度度为为零。零。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论常用边界条件：常用边界条件：3.外推边界条件：外推边界条件：4.反反照照率率边边界界条条件件：在在计计算算域域外外，堆堆芯芯介介质质交交界界处处不不是是真真空空，中中子子出出了了交交界界面面后后有一部分中子被返回来。有一部分中子被返回来。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论三、非增殖介质内中子扩散方程的解1.引言引言非增殖介质内中子扩散方程：非增殖介质内中子扩散方程：1.无限介质内点源的情况无限介质内点源的情况2.无限平面源位于有限厚度介质
22、内的情况无限平面源位于有限厚度介质内的情况3.包含两种不同介质的情况包含两种不同介质的情况第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论稳态单能中子扩散方程稳态单能中子扩散方程：若若S(r)=0，即即对对无无源源区区域域，扩扩散散方方程程可可写写成如下形式（波动方程）：成如下形式（波动方程）：或或其中其中 ，称为，称为中子扩散长度中子扩散长度第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论常见波动方程常见波动方程 的解的解第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论无无限限均均匀匀介介质质内内有有一一个个每每秒秒各各向向同同性性地地放放出出S个个中中子子的点源情况：的点源情况：边界条件：边界条件：1)无限介质边界条件无限介
23、质边界条件2)中子源条件中子源条件2.无限介质点源的情况无限介质点源的情况第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论查表得通解：查表得通解：根据无限介质边界条件，显见根据无限介质边界条件，显见C=0第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论无无限限均均匀匀介介质质内内有有一一个个每每秒秒单单位位面面积积各各向向同同性性地地放放出出S个中子的平面点源情况：个中子的平面点源情况：边界条件：边界条件：1)无限介质边界条件无限介质边界条件2)中子源条件中子源条件3.无限平面源介质内的情况无限平面源介质内的情况第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论查表得通解：查表得通解：不妨讨论不妨讨论 x 0时的情况，显见时的情况
24、，显见C=0第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论有有限限厚厚度度均均匀匀介介质质内内有有一一个个每每秒秒单单位位面面积积各各向向同同性性地地放放出出S个中子的平面点源情况：个中子的平面点源情况：边界条件：边界条件：1)真空边界条件真空边界条件2)中子源条件中子源条件4.无限平面源有限介质内的情况无限平面源有限介质内的情况第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论查表得通解：查表得通解：不妨讨论不妨讨论 x 0时的情况时的情况第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论有有限限厚厚度度均均匀匀介介质质1内内有有一一个个每每秒秒单单位位面面积积各各向向同同性性地地放放出出S个
25、个中中子子的的平平5.无限平面源两种介质内的情况无限平面源两种介质内的情况面面点点源源，它它的的外外侧侧是是无无限限大大均均匀匀介介质质2的的情情况：况：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论不妨讨论不妨讨论 x 0时的情况时的情况 为有限正实数为有限正实数查表得通解：查表得通解：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论确定待定系数：确定待定系数：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论四、扩散长度、慢化长度、徙动长度1.扩散长度扩散长度第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论扩散长度的物理意义：扩散长度的物理意义：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论在在无无限限介介质质内内点点源源的的情情况况下下，扩扩散
26、散长长度度的的平平方方等等于于热热中中子子从从产产生生地地点点到到被被吸吸收收地地点点穿行的直线距离方均值的六分之一。穿行的直线距离方均值的六分之一。扩扩散散长长度度L的的大大小小将将影影响响反反应应堆堆内内热热中中子子泄泄露露，L越越大大，则则热热中中子子自自产产生生地地到到被被吸吸收收地地点点所所移移动动的的平平均均距距离离也也越越大大，因因而而热热中中子子泄露到反应堆外的几率就也大。泄露到反应堆外的几率就也大。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论单单位位时时间间单单位位体体积积内内快快中中子子与原子核发生散射的次数为：与原子核发生散射的次数为：一一个个源源中中子子从从初初始始能能量量E0
27、慢慢化化到到Eth以以下下需需要要的的平平均均碰碰撞撞次数为：次数为：2.慢化长度慢化长度第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论定义移出截面：定义移出截面：那那么么，单单位位时时间间内内单单位位体体积积内内快快中中子子慢慢化化成热中子的数量为：成热中子的数量为：第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论类似热中子定义快中子慢化长度：类似热中子定义快中子慢化长度：穿行穿行r被慢化为热中子数被慢化为热中子数 总的慢化中子数总的慢化中子数第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论在在无无限限介介质质内内点点源源的的情情况况下下，慢慢化化长长度度的的平平方方等等于于快快中中子子从从产产生生地地点点到到被被慢慢化化成
28、成热热中中子子地地点点穿穿行行的的直直线线距距离离方方均均值值的的六六分分之之一。一。慢慢化化长长度度的的大大小小将将影影响响反反应应堆堆内内快快中中子子泄泄露露，其其值值越越大大，则则快快中中子子自自产产生生地地到到被被慢慢化化成成热热中中子子地地点点所所移移动动的的平平均均距距离离也也越越大大，因而快中子泄露到反应堆外的几率就也大。因而快中子泄露到反应堆外的几率就也大。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论3.徙动长度徙动长度第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论 徙动面积：徙动面积：徙动长度：徙动长度：徙徙动动面面积积M2是是中中子子由由作作为为快快（裂裂变变）中中子子产产生生出出来来，经经
29、过过慢慢化化变变为为热热中中子子阶阶段段，直直至至热热中中子子在在扩扩散散阶阶段段被被吸吸收收，所所穿穿行行直直线线距离均方值的六分之一。距离均方值的六分之一。由由此此可可以以看看到到，徙徙动动长长度度M是是影影响响反反应应堆堆内内堆堆芯芯中中子子泄泄漏漏程程度度的的重重要要参参数数，其其值值越越大，则中子不泄露几率大，则中子不泄露几率 L L 就越小。就越小。第第3章章 中子扩散理论中子扩散理论随堂测验随堂测验设设有有R=1.2m的的石石墨墨球球内内，球球心心有有一一源源强强为为S=106/s的的点点源源，试试求求r=0.2,0.5和和1m处处的的通通量密度。量密度。已已知知：石石墨墨的的扩扩散散长长度度为为L=1.85m，扩扩散散系数为系数为D=，一维球坐标系下波，一维球坐标系下波动方程的通解形式为：动方程的通解形式为：