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1、12.512.5二次根式及其性质二次根式及其性质要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析课时训练课时训练要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.二次根式的定义二次根式的定义(1)(1)式子式子 (a0)a0)叫做二次根式叫做二次根式.(2)(2)二次根式二次根式 中，被开方数必须非负，即中，被开方数必须非负，即a0a0，据此可以确定被开方数为非负数据此可以确定被开方数为非负数.(3)(3)公式公式()()2 2=a(a0).a(a0).2.2.积的算术平方根积的算术平方根(1)(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的
2、积积.(2)(2)公式公式 =(=(a0a0，b0).b0).3.3.二次根式的乘法二次根式的乘法(1)(1)公式公式 =.=.(2)(2)二二次次根根式式的的运运算算结结果果，应应该该尽尽量量化化简简，有有理理数数的的运运算律在实数范围内仍可使用算律在实数范围内仍可使用 4.4.商的算术平方根商的算术平方根(1)(1)商商的的算算术术平平方方根根等等于于被被除除式式的的算算术术平平方方根根除除以以除除式式的算术平方根的算术平方根.(2)(2)公式公式 （a0,ba0,b0 0）.5.5.二次根式的除法二次根式的除法(1)(1)公式公式.(2)(2)二二次次根根式式的的除除法法运运算算，通通过
3、过采采用用化化去去分分母母中中的的根根号号的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.6.6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(1)(1)被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数的因数是整数，因式是整式.(2)(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.(3)(3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.7.7.几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同，这几个
4、二次根式就叫做同类二次根式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.8.8.1.如果最如果最简简二次根式二次根式 与与 是同是同类类根式，那么使有意根式，那么使有意义义的的x x的取的取值值范范围围是是()A.x x 1010 B.x x 10 10 C.x x 1010课前热身课前热身A2.计算：计算：的结果是的结果是 。3.若若 ，则的取值范围是，则的取值范围是 。12x2x2C4.在函数在函数 中，自中，自变变量量x x的取的取值值范范围围是是()A.x x 4 4 B.x x 4 4 C.x x 4 4 D.x x 45.化化简简课前热身课前热身6.直接写出下列各题的计算结果：直接写出下
5、列各题的计算结果：(1)=；(2)；(3)=；(4)(3+)2002(3 )2003=.112487.在在 、中与中与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是 、.8.下列各式属于最下列各式属于最简简二次根式的二次根式的是是()A.B.C.D.9.(1)化简化简(a-1a-1)的结果是的结果是 .(2)当当x5时，化简时，化简 .(3)若若1x4时，则时，则 =。32x-82x-8课前热身课前热身B10.计计算：算：典型例题解析典型例题解析【例【例1】x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：(1)(2)解解:(1)由由2-x0 x2，x2时，时，在实数范
6、围的有意义在实数范围的有意义.(2)由由x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.(3)由由-5x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.【例【例2】计算：计算：(1)(2)(3)(4)解：解：(1)原式原式=(2)原式原式=(10=(10a a515)()=515)()=(3)原式原式=(4)原式原式=【例例3】求代数式的值求代数式的值.(1)(2)若若x2-4x+1=0，求求的值的值.解解:(1)(2)由由x2-4x+1=0 x+-4=0 x+=4.原式原式=【例【例4】比较根式的大小比较根式的大小.(1)(a+b)/2 与与 ；(2)(2)解：解：(1)0 【例【例5】已
7、知：已知：,求求 的值的值.解：已知解：已知x0，a a0,得得1-1-a a0，即即a a1.0a a1 原式原式=1.1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.2.2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分化成最简二次根式，再约分.3.3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知对有关
8、二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.课时训练课时训练1.函数函数 中，自变量中，自变量x x的的2.取值范围是取值范围是 .3.函数函数中，中，自变量自变量x的取值的取值 范围是范围是 .2.若实数若实数ab，则化简，则化简 的的结果是结果是 ()A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b4.当当m22时时，化，化简简：D33x55课时训练课时训练5.计算：计算：7.观观察下列各式：察下列各式：请请你将猜想到的你将猜想到的规规律用含自然数律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：的代数式表示出来：6.化简：化简：34 4