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1、本课内容：本课内容：垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理三种语言：定理定理:垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.z x x k 学科网学科网OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.文字语言文字语言图形语言图形语言几何语言几何语言直线直线MN过圆心过圆心O MNABAC=BC弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN垂径定理垂径定理：MOACBN直线直线MN过圆心过圆心 AC=BCMNAB弧弧AM=弧弧BM 弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：结论结论：二、垂径二、垂径定理的推定理的推论论OABMN一个圆
2、的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1.(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CDMOACBN MNAB AC=BC直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：推论推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;.z x x k 学科网学科网MOACBN MNAB AC=BC 弧弧AM=弧弧BM直线直线M
3、N过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：推论推论1:(3)(3)平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径,垂直平垂直平分弦分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。的另一条弧。.z x x k 学科网学科网推论推论1:(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧;.;.(3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直垂直平分弦平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一
4、条弧。n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理及其推论可概括成以下结论如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分平分(不是直径不是直径)弦的直径垂直于弦弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦
5、,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的
6、弧相等。的弧相等。.z x x k 学科网学科网挑战自我挑战自我OABCDOABCD 2.两弦在圆心的两侧两弦在圆心的两侧OABCD 3.一条弦经过圆心一条弦经过圆心1.两弦在圆心的同侧两弦在圆心的同侧EF推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD作直径作直径MN垂直于弦垂直于弦ABABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CD于是于是 弧弧AM弧弧BM，弧弧CM弧弧DM弧弧AM弧弧CM 弧弧BM弧弧DM 即即弧弧AC弧弧BDCDABE例：例：平分已知弧平分已知弧ABAB已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线
7、CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。mnCDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGHCABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以
8、OO为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：挑战自我填一填1、判断：、判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行(弦的垂直平分线一定平分这
9、条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）错错对对错错错错对对 例例 已知已知 O的直径是的直径是50 cm，O的两条的两条平行弦平行弦AB=40 cm，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。.AEBOCD20152525247讲解讲解.AEBOCDFEF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦，MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOANCDB 圆内圆内平行弦平行弦的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的。的。已知：已知：AB、CD是是 O的
10、两条平行弦，的两条平行弦，MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOABNCD分析分析：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：MN过圆心过圆心O是直径是直径由由ABCD，MNAB 则有：则有：MNCD由垂径定理，得由垂径定理，得MN平分平分CD所以：所以：MN垂直平分垂直平分CDMOBNCD证明证明：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 MN过圆心是直径过圆心是直径MNCD MN平分平分CDAABCD，MNABMN垂直平分垂直平分CD MOABNCD证明：证明：由由ABCD可得可得：弧弧AC=弧弧BDMN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有
11、：则有：MN过圆心过圆心O是直径是直径弧弧AM=弧弧BMMN垂直平分垂直平分CD 弧弧AM弧弧AC 弧弧BM弧弧BD 即即 弧弧CM弧弧DMOPABCD例例：如图，：如图，P是是 O外一点，射线外一点，射线PAB，PCD分别分别交交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，求证：求证：PO平分平分BPDFEOPABCD若把上题改为：若把上题改为：P是是 O内一点，直内一点，直线线APB，CPD分分别交别交 O于于A、B和和C、D，已知，已知AB=CD，结论还成立吗？结论还成立吗？FE如如图图，O的的半半径径为为5，弦弦AB的的长长为为8，M是是弦弦AB上上的的动动点点，则则线线段段OM的
12、的长长的的最最小小值值为为_._.最大值为最大值为_._.35 如图，矩形如图，矩形ABCDABCD与圆与圆O O交于点交于点A A、B B、E E、F F，DE=1cmDE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cm5如图，在圆如图，在圆O中，已知中，已知AC=BD，试说明：试说明：（1）OC=OD （2）AE=BF回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心;(2)直线直线MN垂直垂直AB;(3)直线直线MN平分平分AB;(4)直线直线MN平分弧平分弧AMB;(5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进
13、行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.课堂小结：课堂小结：本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。要要分分清清推推论论1的的题题设设和和结结论论,即即已已知知什什么么条条件件,可可推推出出什什么么结结论论.这这是是正正确确理理解解应应用用推推论论1的关键的关键;基本几何作图基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用.