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1、基于线性代数与基于线性代数与 差分方程方法的模型差分方程方法的模型 在第三章中，我们有多处对不连续变化的变量采取了连续在第三章中，我们有多处对不连续变化的变量采取了连续化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以下原因：下原因：第一第一，有时变量事实上只能取自一个有限的集合；，有时变量事实上只能取自一个有限的集合；第二第二，有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法，有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法求出问题的解，从而只能求它们的数值解。也就是说，在求出问题的解，从而只能求它们的数值解。也就是说，在建模时我们对离散变量作了连续
2、化处理，而在求解时，又建模时我们对离散变量作了连续化处理，而在求解时，又对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。所对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。所以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能，这就十分自然地提出了提供了实现的可能，这就十分自然地提出了一个问题，对具有离散变量的实际问题直接一个问题，对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍的几个模型就是基于这
3、种想法建立起来的。的几个模型就是基于这种想法建立起来的。4.1 状态转移问题状态转移问题 所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何具体实现？具体实现？具体实现？具体实现？例例4.1 人、狗、鸡、米过河问题人、狗、鸡、米过河问
4、题 这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，而在彼岸时则取而在彼岸时则取 为为0，例如，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。而狗和米则在对岸。（i）可取状态可取状态：根据题意，并非
5、所有状态都是允许的，例如：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：人在此岸人在此岸 人在对岸人在对岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。要条件。（ii）可取运
6、算可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（有（1，0，0，0，）、（，）、（1，1，0，0）、（）、（1，0，1，0）、）、（1，0，0，1）四个。）四个。规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与规定一个状态向量与转移向量之间的运算。
7、规定状态向量与规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，且规定且规定且规定且规定0+0=00+0=0，1+0=0+1=11+0=0+1=1，1+1=01+1=0。在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：为：由由初始状态（初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数
8、次上述运算转化为（）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。）的转移过程。我们可以如下进行分析我们可以如下进行分析 ：（第一次渡河）（第一次渡河）（第二次渡河）（第二次渡河）以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。例例4.2 夫妻过河问题夫妻过河问题这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯法律
9、，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？这一问题的状态和运算与这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别样要反映出性别 故可如下定义：故可如下定义：（i）可取状态可取状态：用用H和和W分别表示此岸的男子和分别表示此岸的男子和女子数，状态可用矢量女子数，状态可用矢量（H，W）表示，其中表示，其中0H、W3。可取状态为（。可取状态为（0,i），），(i,
10、i)，(3,i)，0i3。(i,i)为可取状态，这是因为总可以适为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他们是当安排而使他们是 i对夫妻。对夫妻。（ii）可取运算可取运算：过河方式可以是一对夫妻、两个：过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，当然也可以是一人过河。转移男人或两个女人，当然也可以是一人过河。转移向量可取成向量可取成(1)im,(1)in)，其中其中m、n可取可取0、1、2，但必须满足，但必须满足1m+n2。当。当j为奇数时表示为奇数时表示过河。过河。当当j为偶数时表示由对岸回来，运算规则同为偶数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加法。普通向量的加法。问题归结为由状态问题归结
11、为由状态(3,3)经经奇数次奇数次可取运算，即由可取状可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化态到可取状态的转移，转化 为为(0,0)的转移问题。和上题一样，的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用用作图作图方法来求解。方法来求解。在在HW平面坐标中，以平面坐标中，以“”表示可取状态，表示可取状态，从从A(3,3)经奇经奇数次转移到数次转移到 达达O(0,0)。奇数次。奇数次转移时向左或下移转移时向左或下移 动动1-2格而格而落在一个可取状态上，落在一个可取状态上，偶数次偶数次转移时向右或上移转移
12、时向右或上移 动动1-2格而落格而落在一个可取状态上。为了区分起见在一个可取状态上。为了区分起见 ,用用红红箭线表示箭线表示奇奇数次转数次转移，用移，用蓝蓝箭线表示第箭线表示第偶偶数数 次转移次转移,下图给出了一种可实现的方下图给出了一种可实现的方案案 ,故故 A(3,3)O(0,0)HW这这三三对夫妻是可以过河的对夫妻是可以过河的。假如按。假如按这样的方案过这样的方案过 河河,共需经过共需经过十一十一次次摆渡。摆渡。不难看出不难看出,在上述规则下在上述规则下,4对夫妻对夫妻就无法过河了就无法过河了,读者可以自行证明之读者可以自行证明之.类似可以讨论船每次可载三人的情类似可以讨论船每次可载三人的情况况,其结果其结果 是是5对夫妻是可以过河的对夫妻是可以过河的,而而六六对以上时就对以上时就 无法过河无法过河了。了。