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1、复变函数1第一章 复数与复变函数1 复数及代数运算21.复数的概念在实数范围,方程x2=-1是无解的.因此引进一个新数i,称为虚数单位,并规定i2=-1从而i是方程x2=-1的一个根.对于任意二实数x,y,称z=x+iy或z=x+yi为复数,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)3当x=0,y0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时z=x+0i,将其看作是实数x.两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0.2.复数的代数运算 两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x
2、2)+i(y1y2)(1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(1.1.2)称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致.4称满足z2z=z1(z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商,复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.5把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z62 复数的几何表示1.复平面 由于
3、一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法.此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或z平面.这样,复数与复平面上的点成一一对应,并且把点z作为数z的同义词,从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.7在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值,记作OxyxyqPz=x+iy|z|=r8显然,下列各式成立Oxyx
4、yqPz=x+iy|z|=r9在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角,记作Arg z=q这时,有OxyxyqPz=x+iy|z|=r10任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则Arg z=q1+2kp(k为任意整数)(1.2.3)给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足 -pq0p的q0称为Arg z的主值,记作q0=arg zOxyxyqPz=x+iy|z|=r11当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:12由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不
5、等式|z1+z2|z1|+|z2|(三角不等式),(1.2.5)13减法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|z1|-|z2|(1.2.6)14一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而|z|=|z|,如果z不在负实轴和原点上,还有arg z=-arg zOxy15利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将z表示成三角表示式:z=r(cosq+sinq),(1.2.7)利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:z=r eiq(1.2.8)OxyxyqPz=x+iy|z|=r162.复球面NSOxyPz17除了复数的平面表示方法外,
6、还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面,球面上的一点S与原点重合.通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极,S为南极.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.18关于的四则运算作如下规定:加法:a+=+a=(a)减法:a-=-a=(a)乘法:a=a=(a0)193 复数的乘幂与方根20乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2(cosq1+i
7、sinq1)(cosq2+isinq2)=r1r2(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)=r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2)于是|z1z2|=|z1|z2|(1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.21z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy22如果用指数形式表示复数:由此逐步可证,如果23按照商的定义,当z10时,有定理二 两个复数的商的模等于它
8、们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.24如果用指数形式表示复数:定理二可简明地表示为252.幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn则根据(1.3.4),对任意正整数n,我们有zn=rn(cos nq+isin nq).(1.3.7)如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).(cos q+isin q)n=cos nq+isin nq.(1.3.8)26设z为己知,方程wn=z的根w称为z的n次根,如n为正整数,则一个复数的n次根不止有一个,而是有n个,这是很麻烦的事情.例如在几何上,z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边
9、形的n个顶点274 区域281.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|z-z0|M的所有点的集合,其中实数M0,称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心领域,也记作M|z|M30设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集31平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的,就是说D中任何两点都可
10、以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通32设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.C3C2zg1g2C333区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.xyDO34满足不等式r1|z-z0|0角形域:0arg zjjab带形域:aIm zb362.单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示
11、各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.37如果在区间atb上x(t)和y(t)都是连续的,且对于t的每一个值,有x(t)2+y(t)20这曲线称为光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线.连续不连续光滑不光滑38设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(
12、t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)39任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C40定义 复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为
13、单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域415 复变函数421.复变函数的定义定义 设G是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作w=f(z)如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的;否则就是多值的.集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合.43在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.由于给定了
14、一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.44例如,考察函数w=z2令z=x+iy,w=u+iw,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy452.映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G
15、*(函数值集合)的映射(或变换).这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射.如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.46设函数w=z,xyOuvOABCz1z2ABCw1w247设函数w=z2,xyOuvOz1z2w1w2z3w3a2a48假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点.按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w),它称为函数w=f(z)的反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知,对任意的wG
16、*,有w=fj(w),当反函数为单值函数时,也有z=jf(z),zG49今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的.506 复变函数的极限和连续性511.函数的极限定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0,相应地必有一正数d(e)(0d),使得当0|z-z0|d时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当zz0时,f(z)A52这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象
17、点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.xyOz0dzOuvAef(z)53极限示意xyOuvO54定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则55证 必要性:56充分性:57定理二582.函数的连续性定义则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.59定理四 1)在z0连续的两个函
18、数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续;2)如果函数h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续,则复合函数w=fg(z)在z0处连续.由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)w=P(z)=a0+a1z+a2z2+.+anzn对复平面内所有的z都是连续的,而有理分式函数其中P(z)和Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的60还应指出,所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的.即存在一正数M,在曲线上恒有|f(z)|M61作业 第一章习题 第31页第1,2,9,1116,26,31题62