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1、1 第第5章章5.4节节介介绍绍的的协协整整检检验验和和误误差差修修正正模模型型主主要要是是针针对对单单方方程程而而言言，本本节节将将推推广广到到VAR模模型型。而而且且前前面面所所介介绍绍的的协协整整检检验验是是基基于于回回归归的的残残差差序序列列进进行行检检验验，本本节节介介绍绍的的Johansen协协整整检检验验基基于于回回归归系系数数的的协协整整检检验验，有有时时也称为也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。检验。虽虽然然ADF检检验验比比较较容容易易实实现现，但但其其检检验验方方式式存存在在一一定定欠欠缺缺性性在在第第一一阶阶段段需需要要设设计计线线性性模模型型进进行行
2、OLS估估计计，应应用用不不方方便便。Johansen在在1988年年及及在在1990年年与与Juselius一一起起提提出出的的一一种种以以VAR模模型型为为基基础础的的检检验验回回归归系系数数的的方方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。9.6 9.6 JohansenJohansen协整检验协整检验协整检验协整检验 2 下面讨论下面讨论 k 个经济指标个经济指标 y1，y2，yk 之间是否具有协整关系。协整的之间是否具有协整关系。协整的定义如下：定义如下：设设 k 维向量时间序列维向量时间序列 yt=(y1t,y2t,ykt)(t=1,2,T)
3、的分量序列的分量序列间被称为间被称为d，b阶协整，记为阶协整，记为 yt CI(d，b)，如果满足：，如果满足：(1)yt I(d)，要求，要求 yt 的每个分量都是的每个分量都是 d 阶单整的阶单整的；(2)存在非零向量存在非零向量 ，使得，使得 yt I(d-b)，0 b d。简称简称 yt 是协整的，向量是协整的，向量 又称为协整向量。又称为协整向量。3 对对对对于于于于 k k 维维维维向向向向量量量量时时时时间间间间序序序序列列列列 yt 最最最最多多多多可可可可能能能能存存存存在在在在 k-k-1 1个个个个线线线线性性性性无无无无关关关关的的的的协协协协整整整整向向向向量量量量，
4、为为讨讨论论方方便便，先先考考虑虑最最简简单单的的二二维维情情形形，不不妨妨记记 yt =(y1t,y2t)，(t=1,2,T)，其其中中 y1，y2 都都是是I(1)时时间间序序列列。若若存存在在 c1，使使得得 y1-c1y2 I(0)；另另有有c2，也使得，也使得 y1-c2 y2 I(0)，则，则t=1,2,T 由由于于 y2 I(1)，所所以以只只能能有有 c1=c2，可可见见 y1，y2 协协整整时时，协协整整向向量量 =(1，c1)是是惟惟一一的的。一一般般地地，设设由由 yt 的的协协整整向向量量组组成成的的矩矩阵阵为为 B，则则矩阵矩阵 B 的秩为的秩为 r=r(B)，那么，
5、那么 0 r k 1。4其中其中(9.6.2)其其中中yt的的各各分分量量都都是是非非平平稳稳的的I(1)变变量量；xt 是是一一个个确确定定的的 d 维维的的外外生生向向量量，代代表表趋趋势势项项、常常数数项项等等确确定定性性项项；t 是是 k 维维扰扰动动向向量量。在在式式(9.6.1)两两端端减减去去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得下面的式子，通过添项和减项的方法，可得下面的式子 ，(9.6.3)下下面面将将上上述述讨讨论论扩扩展展到到多多指指标标的的情情形形，介介绍绍JJ检检验验的的基基本本思思想想。首首先先建建立一个立一个VAR(p)模型模型 t=1，2，T (9.6.1)5
6、由由于于I(1)过过程程经经过过差差分分变变换换将将变变成成I(0)过过程程，即即式式(9.6.2)中中的的yt,ytj(j=1,2,p)都都是是I(0)变变量量构构成成的的向向量量，那那么么只只要要 yt-1 是是I(0)的的向向量量，即即 yt-1的的各各分分量量之之间间具具有有协协整整关关系系，就就能能保保证证yt是是平平稳稳过过程程。yt-1的的各各分分量量之之间间是是否否具具有有协协整整关关系系主主要要依依赖赖于于矩矩阵阵 的的秩秩。设设 的的秩秩为为 r，则则存存在在 3 种种情情况况:r=k，r=0，0 r k：如如果果 r=k，显显然然只只有有当当 yt-1 的的各各分分量量都
7、都是是I(0)变变量量时时，才才能能保保证证 yt-1 是是 I(0)变变量量构构成成的的向向量量。而而这这与与已已知知的的 yt 为为 I(1)过过程程相相矛矛盾盾，所所以以必必然然有有 r k。6 如如果果 r=0，意意味味着着 =0，因因此此式式(9.6.2)仅仅仅仅是是个个差差分分方方程程，各各项项都都是是I(0)变量，不需要讨论变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。各分量之间是否具有协整关系。下面讨论下面讨论 0 r k 的情形：的情形：0 r k 表表示示存存在在 r 个个协协整整组组合合，其其余余 k r 个个关关系系仍仍为为 I(1)关关系系。在在这这种种情况下
8、，情况下，可以分解成两个可以分解成两个(k r)阶矩阵阶矩阵 和和 的乘积：的乘积：(9.6.4)其中其中rk()=r，rk()=r。7 如如果果 r=0，意意味味着着 =0，因因此此式式(9.6.2)仅仅仅仅是是个个差差分分方方程程，各各项项都都是是I(0)变量，不需要讨论变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。各分量之间是否具有协整关系。下面讨论下面讨论 0 r k 的情形：的情形：0 r k 表表示示存存在在 r 个个协协整整组组合合，其其余余 k r 个个关关系系仍仍为为 I(1)关关系系。在在这这种种情况下，情况下，可以分解成两个可以分解成两个(k r)阶矩阵阶矩阵 和
9、和 的乘积：的乘积：(9.6.4)其中其中rk()=r，rk()=r。8 如如果果 r=0，意意味味着着 =0，因因此此式式(9.6.2)仅仅仅仅是是个个差差分分方方程程，各各项项都都是是I(0)变量，不需要讨论变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。各分量之间是否具有协整关系。下面讨论下面讨论 0 r k 的情形：的情形：0 r k 表表示示存存在在 r 个个协协整整组组合合，其其余余 k r 个个关关系系仍仍为为 I(1)关关系系。在在这这种种情况下，情况下，可以分解成两个可以分解成两个(k r)阶矩阵阶矩阵 和和 的乘积：的乘积：(9.6.4)其中其中rk()=r，rk()
10、=r。9(9.6.5)上上式式要要求求 yt-1 的的每每一一行行为为一一个个 I(0)向向量量，其其每每一一行行都都是是 I(0)组组合合变变量量，即即 的的的的每每每每一一一一列列列列所所所所表表表表示示示示的的的的 y yt-t-1 1各各各各分分分分量量量量的的的的线线线线性性性性组组组组合合合合都都都都是是是是一一一一种种种种协协协协整整整整形形形形式式式式，所所以以矩矩阵阵 决决定定了了yt-1各各分分量量之之间间协协整整向向量量的的个个数数与与形形式式。因因此此称称为为协协整整向向量量矩矩阵阵，r 为为协协整整向向量量的个数。的个数。将式将式(9.6.4)代入式代入式(9.6.2
11、)，得：，得：10 矩矩阵阵 的的每每一一行行 i 是是出出现现在在第第 i 个个方方程程中中的的 r 个个协协整整组组合合的的一一组组权权重重，故故称称为为调调调调整整整整参参参参数数数数矩矩矩矩阵阵阵阵，与与前前面面介介绍绍的的误误差差修修正正模模型型的的调调整整系系数数的的含含义义一一样样。而而且且容容易易发发现现 和和 并并不不是是惟惟一一的的，因因为为对对于于任任何何非非奇奇异异 r r 矩矩阵阵 H，乘乘积积 和和 H(H 1 )都等于都等于 。将将 yt 的的协协整整检检验验变变成成对对矩矩阵阵 的的分分析析问问题题，这这就就是是Johansen协协整整检检验验的的基基本本原原理理。因因为为矩矩矩矩阵阵阵阵 的的的的秩秩秩秩等等等等于于于于它它它它的的的的非非非非零零零零特特特特征征征征根根根根的的的的个个个个数数数数，因因此此可可以以通通过过对对非非零零特特征征根根个个数数的的检检验验来来检检验验协协整整关关系系和和协协整整向向量量的的秩秩。略略去去关关于于 的的特特征征根根的的求求解方法，设矩阵解方法，设矩阵 的特征根为的特征根为 1 2 k。